杜月嬌

青春陽光、勤勤懇懇、平易親和，對(duì)科研、教學(xué)和人才培養(yǎng)充滿激情和熱愛——這是北京師范大學(xué)教授葛建全留給記者的第一印象。秋日的北京，記者走進(jìn)他位于北京師范大學(xué)的辦公室，聽他講述自己與數(shù)學(xué)的故事。

今年37歲的他，是北京師范大學(xué)的教授，也是我國80后科研工作者的優(yōu)秀代表。科研就像一場馬拉松，唯有初心不忘才能靜待花開，而他的狀態(tài)剛剛好。于科研堅(jiān)守中破解世界數(shù)學(xué)難題，于傳道授業(yè)中傳遞數(shù)學(xué)之美，他在枯燥漫長的科研旅途中找尋屬于自己的那一份怡然自得。

走進(jìn)微分幾何的神奇世界

葛建全是典型的高智商“學(xué)霸”。來自農(nóng)村的他在高考時(shí)，以超過北京大學(xué)錄取線的優(yōu)異成績作為提前批，被中國科技大學(xué)錄取。“當(dāng)時(shí)中科大來我們那兒招生，我看到數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的介紹，是首批全國理科人才培養(yǎng)基地、中國科學(xué)院博士生重點(diǎn)培養(yǎng)基地，其前身也是由著名數(shù)學(xué)家華羅庚院士親自創(chuàng)辦，我覺得綜合實(shí)力非常強(qiáng)?！?/p>

來到這所因少年班而備受關(guān)注的校園，走進(jìn)數(shù)學(xué)的神奇世界，葛建全總覺得自己離優(yōu)秀還差著距離。于是，大學(xué)四年，他勤奮上進(jìn)，取得計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)的雙學(xué)位。大三時(shí)，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)位列全系前三的他考慮到就業(yè)及前途發(fā)展，努力爭取保研的資格。

一切仿佛冥冥中注定。想在中國科學(xué)院攻讀熱門方向“金融數(shù)學(xué)”的他，卻因統(tǒng)一面試時(shí)間延后而被迫改變；準(zhǔn)備在清華大學(xué)和北京大學(xué)中擇其一讀研的他，因清華大學(xué)保研考試面試時(shí)間靠前而走進(jìn)清華大學(xué)。而更深的緣分，則是他與自己的導(dǎo)師唐梓洲教授?！扒迦A大學(xué)當(dāng)時(shí)在國慶前進(jìn)行面試考試，我就想著先來清華大學(xué)看看。一開始我聯(lián)系的是周堅(jiān)老師，他帶著很多學(xué)生。正巧，唐老師手下沒有學(xué)生，他表示愿意招一個(gè)，面試完，他就給我打電話了。我很高興地答應(yīng)了?！被貞浧鹋c恩師的第一次相見，葛建全依然記憶猶新。

2004年，他有幸進(jìn)入清華大學(xué)，投到清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師唐梓洲老師門下。自此，10多年飛逝而過，他依然追隨恩師的腳步，來到北京師范大學(xué)從教，并在微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)專業(yè)領(lǐng)域收獲了科研的碩果。

談及自己這些年在微分幾何方面的研究，他歸納為兩個(gè)方面。其一是“D D V V猜想的解決及其推廣和應(yīng)用”。他告訴記者，“D D V V猜想”是1999年由4位幾何學(xué)家共同提出的法數(shù)量曲率不等式猜想。這是子流形幾何的研究重點(diǎn)，由子流形基本方程，可轉(zhuǎn)化為代數(shù)版本，也稱為實(shí)對(duì)稱矩陣情形的DDVV不等式猜想。

數(shù)學(xué)的研究可謂“條條大路通羅馬”，不同的解答方法可以完美解答同一問題。2007年，兩個(gè)幾乎同時(shí)的、不同的獨(dú)立證明產(chǎn)生了——陸志勤教授在美國，葛建全和導(dǎo)師唐梓洲在中國，分別取得了D D V V猜想的完整證明。其后葛建全對(duì)此類不等式作了多項(xiàng)推廣和應(yīng)用，例如，推廣到反稱矩陣，應(yīng)用于黎曼浸沒幾何得到Simons型不等式。這一成果發(fā)表在Advance in Math.，“這把有關(guān)楊振寧—米爾斯場的能量間隙定理推廣到黎曼浸沒，揭示了對(duì)稱矩陣與反稱矩陣、子流形與黎曼浸沒的對(duì)偶性，揭示了極小子流形與Yang-Mills場的對(duì)偶性?！弊罱?，葛建全及其學(xué)生與陸志勤合作對(duì)DDVV不等式和另一類BW不等式進(jìn)行統(tǒng)一推廣，這將可能進(jìn)一步應(yīng)用于子流形幾何中的陳省身問題或物理中的測不準(zhǔn)原理。

吉林大學(xué)法學(xué)院院長何志鵬贈(zèng)葛建全字帖“陳省身猜想”

美國數(shù)學(xué)會(huì)Math.Reviews給予評(píng)論：“The work on the DDVV conjecture generated considerable interest…”因關(guān)于D D V V不等式的系列研究，葛建全多次應(yīng)邀在國內(nèi)外會(huì)議作學(xué)術(shù)報(bào)告，同行在2008中美數(shù)學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)議，2012年復(fù)幾何國際會(huì)議、積分幾何國際會(huì)議、中國數(shù)學(xué)會(huì)年會(huì)上都看到了他自信的身影。

標(biāo)準(zhǔn)單位球面中等參理論起源自數(shù)學(xué)大師嘉當(dāng)（E.Cartan），至2016年5月，標(biāo)準(zhǔn)單位球面中等參超曲面已被完全分類。葛建全的另一項(xiàng)研究成果聚焦于此——“等參理論在怪球和4維流形等方面的發(fā)展及應(yīng)用”。這也同時(shí)是對(duì)一些數(shù)學(xué)猜想的有力佐證。“雖然沒有完成大的猜想，但是這些做起來還是很有成就感的。”談到這研究，他表示。

數(shù)學(xué)猜想，或者就是人們稱為的猜測、假設(shè)、問題等，不是一般的猜想或游戲。它是根據(jù)已知條件的數(shù)學(xué)原理對(duì)未知的量及其關(guān)系的似真推斷，既有邏輯的成分，又含有非邏輯的成分，因此它具有一定的科學(xué)性和很大程度的假定性。這樣的假定性命題是否正確，尚需通過驗(yàn)證和論證。

葛建全和導(dǎo)師唐梓洲在Crelle雜志共同發(fā)表的文章中，敘述了他們首次對(duì)怪球上的等參理論的研究。至今未解的一個(gè)世界難題光滑龐加萊（Poincaré）猜想：4維球面沒有怪球。“如果我們總能在拓?fù)淝蛎嫔险业揭粋€(gè)等參函數(shù)，就可以推理出4維球面沒有怪球，從而證明光滑龐加萊猜想”。這是因?yàn)樗麄冏C明了：4維“怪球”上不存在等參函數(shù)。這一論斷受到業(yè)界專家的高度肯定，該領(lǐng)域頂尖專家Miyaoka和Chi在多個(gè)場合介紹引用，被Cecil和Ryan，Berndt，Console和Olmos等人的著名專著中多次引用。

為了讓研究更深一步，葛建全和Radeschi研究了4維流形的奇異黎曼分層。等參是奇異黎曼分層的特殊情形，他們完全分類了帶奇異黎曼分層的4維單連通閉流形和其上的等參分層。這樣，4維“怪球”上不存在奇異黎曼分層的發(fā)現(xiàn)，實(shí)際推廣了上述“關(guān)于光滑龐加萊猜想”的進(jìn)展結(jié)果。4維單連通閉流形上的等參分層的完全分類，也是目前關(guān)于等參分類問題在固定維數(shù)時(shí)的最佳完整結(jié)果。另外，在下述意義下葛建全徹底解決了怪球中的等參分類問題，即他建立了怪球的等參分層與標(biāo)準(zhǔn)球的等參分層之間的一一對(duì)應(yīng)；并深入研究標(biāo)準(zhǔn)球在一般度量下的等參分類問題，構(gòu)造了許多新例子；應(yīng)用等參理論得到球面中超曲面上的許多微分結(jié)構(gòu)。2017年葛建全與導(dǎo)師唐梓洲及師妹彥文嬌教授合作，把自己的兩條研究主線——D D V V型不等式與等參理論結(jié)合起來，對(duì)等參焦流形的法數(shù)量曲率給了精致的估計(jì)，并對(duì)其中取到不等式等號(hào)的焦流形子集做了完整分類。上述相關(guān)成果都已發(fā)表在Math.Ann.、Advance in Math.和IMRN。2018年葛建全與導(dǎo)師唐梓洲合作，把等參理論應(yīng)用于研究廣義的Hilbert第17問題，完全解決了其在等參情形的非負(fù)多項(xiàng)式是否是多項(xiàng)式的平方和問題。

葛建全在學(xué)術(shù)界聲名鵲起，他因此應(yīng)邀在2014年、2015年第10屆、11屆中日幾何會(huì)議，2015年清華大學(xué)三亞青年幾何分析國際論壇、2015年微分幾何與微分方程國際會(huì)議、2018年子流形幾何拓?fù)淠陼?huì)、2019年巴西微分幾何國際會(huì)議、2019年幾何分析年會(huì)、2019年現(xiàn)代幾何潮流國際會(huì)議等國內(nèi)外大型學(xué)術(shù)會(huì)議上報(bào)告了這些等參理論相關(guān)的研究成果。

雖然數(shù)學(xué)猜想的結(jié)論不一定正確，但作為一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，這是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要方法。在這條孤寂的路上，無數(shù)數(shù)學(xué)家樂此不疲。

用數(shù)學(xué)的研究發(fā)現(xiàn)世界

數(shù)學(xué)不同于其他科學(xué)，范圍大、難題多。有人把數(shù)學(xué)比喻為一棵樹，樹上有很多分枝，就像代數(shù)、幾何等不同的學(xué)科。葛建全的研究領(lǐng)域是微分幾何，再往下細(xì)分就是“子流形的幾何與拓?fù)洹狈较颉?/p>

微分幾何學(xué)主要研究流形的幾何拓?fù)湫再|(zhì)。其中，黎曼流形最重要的內(nèi)蘊(yùn)幾何量就是其各種曲率，研究這些曲率對(duì)流形拓?fù)涞南拗剖俏⒎謳缀蔚闹攸c(diǎn)研究領(lǐng)域。葛建全說：“Hopf兩個(gè)著名的猜想就是關(guān)于截面曲率對(duì)拓?fù)涞南拗七@方面。”與此同時(shí)，子流形幾何是微分幾何的重要部分，其中幾何學(xué)家們研究更多的是一些特殊黎曼流形的特殊子流形，比如，單位球面。他特別提到，等參超曲面是單位球面中僅有的常數(shù)量曲率極小超曲面的例子，而這就是著名的陳省身猜想所斷言的。至今為止，許許多多的幾何學(xué)家致力于證明這個(gè)猜想，包括彭家貴、唐梓洲等都對(duì)此問題做出部分進(jìn)展，但目前仍遠(yuǎn)未解決。

另外，等參超曲面可以通過等參函數(shù)的概念定義在一般黎曼流形上。在這個(gè)意義上，單位球面中的等參理論及其研究方法已經(jīng)取得了成功的發(fā)展并獲得廣泛應(yīng)用。因而，近幾年來，研究一般流形上的等參理論及其應(yīng)用開始被人們所關(guān)注。

找準(zhǔn)方向就該鍥而不舍地研究下去。2019年9月，葛建全作為項(xiàng)目負(fù)責(zé)人，成功申報(bào)了北京市自然科學(xué)基金重點(diǎn)研究專項(xiàng)“子流形與亞歷山大空間的幾何與拓?fù)洹?。他表示，在隨后的4年里，北京師范大學(xué)、首都師范大學(xué)和清華大學(xué)幾何領(lǐng)域的教授們將攜手開展這一分支領(lǐng)域的研究。

在他看來，流形的幾何和拓?fù)涫俏⒎謳缀蔚暮诵?，而子流形與亞歷山大空間的幾何與拓?fù)淝∈腔谥麛?shù)學(xué)家嘉當(dāng)（幾何）和龐加萊猜想（拓?fù)洌┑谋尘跋隆Ａ硗?，“?shù)學(xué)王子”高斯、諾獎(jiǎng)獲得者納什、國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席Hopf、“數(shù)學(xué)怪才”Perelman、數(shù)學(xué)大師陳省身等都投身于這一方向。

沿著科研的思路，葛建全將這一項(xiàng)目分為兩個(gè)課題展開研究。其一是等參子流形的分類問題及其應(yīng)用，其二是曲率有下界流形和Alexandrov空間的幾何拓?fù)?。?duì)每個(gè)課題想解決的問題，他都了然于心。他告訴記者：“在第一個(gè)課題中，他們想解決3個(gè)問題：第一個(gè)是球面中等參分層結(jié)構(gòu)在一般度量下的分類問題，第二個(gè)是等參函數(shù)方程的可解性問題，第三個(gè)是等參理論的深入研究及其推廣和應(yīng)用。而對(duì)于第二個(gè)課題，同樣需要解決兩大難題，第一要研究Ricci曲率有下界流形的塌縮結(jié)構(gòu)，第二要研究Alexandrov幾何中靈魂猜想的高維情形。”

兩個(gè)課題都是圍繞流形的幾何拓?fù)溥@一總體研究方向，課題一通過研究等參理論及其應(yīng)用來實(shí)現(xiàn)，課題二通過研究Ricci曲率有下界流形的體積熵和基本群及其塌縮現(xiàn)象和Alexandrov幾何版本的Sole猜想來展開。在葛建全看來，部分內(nèi)容有交叉應(yīng)用，比如，課題一中的等參理論可以用來研究課題二中Sole猜想的緊致版本G ro ve猜想，兩個(gè)課題都需要用到幾何分析的一些方法，如幾何流等。他表示：“這3所學(xué)校的數(shù)學(xué)都是國家雙一流學(xué)科，定期開展討論進(jìn)行合作研究并在組織年度會(huì)議交流課題進(jìn)展是不會(huì)少的。最近，在北京大學(xué)田剛院士和首都師范大學(xué)方復(fù)全院士倡議下，4所高校定期（每兩個(gè)月）舉辦聯(lián)合討論班系列會(huì)議?！?/p>

提及項(xiàng)目組的各位老師，葛建全更是胸有成竹。他介紹說，課題一有北京師范大學(xué)在等參理論方面專長的兩位教授參加，他們都是國家優(yōu)青。還有兩位在微分拓?fù)?、幾何流與代數(shù)幾何方面專長的講師以及幾何流方面的清華大學(xué)的長聘副教授。課題二有北京師范大學(xué)亞歷山大幾何專長的教授們和首都師范大學(xué)“千人計(jì)劃”戎小春等教授。團(tuán)隊(duì)成員互相熟悉了解并曾多次合作，知識(shí)結(jié)構(gòu)互補(bǔ)性很強(qiáng)，這樣可以在主要研究領(lǐng)域中親密合作，形成合力。

這個(gè)項(xiàng)目涉及微分幾何、微分拓?fù)?、幾何分析、度量幾何與代數(shù)幾何，在各團(tuán)隊(duì)成員之前研究的基礎(chǔ)上，這一項(xiàng)目不但需要將度量幾何中的成熟工具和Ricci流等幾何分析里的技術(shù)相結(jié)合，還需要發(fā)展新的想法和工具。對(duì)未來的工作，葛建全充滿信心。

用數(shù)學(xué)的思維教學(xué)生

老師是知識(shí)的傳遞者，同時(shí)也是師德師風(fēng)的傳承者。葛建全的科研之路曾得到博士生導(dǎo)師唐梓洲教授的提攜和栽培，生活中也曾得到恩師的百般照顧和呵護(hù)。對(duì)此，葛建全的點(diǎn)滴感激之情溢于言表。導(dǎo)師的一言一行也因此影響到了他人生中的重大抉擇。“在清華大學(xué)讀研究生時(shí)，第二年唐老師就離開清華大學(xué)去北京師范大學(xué)了。當(dāng)時(shí)，學(xué)校老師找我談話，告訴我可以換導(dǎo)師轉(zhuǎn)方向，我都沒想過，只想著都在北京，大不了兩個(gè)地方跑。”包括在博士畢業(yè)就業(yè)選擇時(shí)，他都二話沒說就跟隨導(dǎo)師選擇了到北京師范大學(xué)任教?！拔矣X得可能是我個(gè)人比較執(zhí)著，有些傳統(tǒng)，俗稱的執(zhí)拗吧?！?/p>

三尺講臺(tái)育桃李，葛建全將恩師對(duì)自己的好，潛移默化地傳承了下去。對(duì)自己的學(xué)生，他費(fèi)盡心血。近些年來，他培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新研究計(jì)劃（國家級(jí)、北京市級(jí)和校級(jí)）9個(gè)團(tuán)隊(duì)，含2個(gè)優(yōu)秀項(xiàng)目，并合作2篇文章（已發(fā)表1篇S C I）；擔(dān)任近20位大學(xué)新生的新生導(dǎo)師，指導(dǎo)7位研究生（含2位博士生），連續(xù)教授研究生學(xué)位基礎(chǔ)課《微分幾何》，獲得北京師范大學(xué)研究生優(yōu)質(zhì)課程2015年優(yōu)秀獎(jiǎng)和2018年特等獎(jiǎng)?；叵肫鹱约旱慕虒W(xué)經(jīng)歷，他提到，自己從大二開始，為了減輕家庭的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)開始勤工儉學(xué)，研究生時(shí)也常常作為助教來教課，教學(xué)方面還是積累了一些經(jīng)驗(yàn)。不僅教學(xué)，他還曾擔(dān)任數(shù)學(xué)學(xué)院研究生年級(jí)輔導(dǎo)員，并因此獲得2011年北京師范大學(xué)“優(yōu)秀輔導(dǎo)員”稱號(hào)。

在外人看來，數(shù)學(xué)是枯燥而不能得到及時(shí)應(yīng)用的，特別是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。他特別談到數(shù)學(xué)的興趣和作用?！昂芏鄬W(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中未必能堅(jiān)持下來，如果堅(jiān)持不下來，在研究中就不可能有突破。這一情況下，我一般會(huì)勸他們轉(zhuǎn)方向，像如今數(shù)學(xué)交叉新興領(lǐng)域非常多，會(huì)更適合個(gè)人的發(fā)展?！?/p>

在他的課堂，授課主要以啟發(fā)引導(dǎo)為主，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和視野，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程中的“自知之明”，強(qiáng)調(diào)主動(dòng)、“自學(xué)”的重要性。他也會(huì)從數(shù)學(xué)大問題中分解一些小問題給學(xué)生來做，激發(fā)他們的數(shù)學(xué)思維和靈感。這種做法在培養(yǎng)學(xué)生中取得了很好的效果，多篇學(xué)生與他合作共同發(fā)表的成果文章發(fā)表在國際刊物上。

中國科學(xué)院院士張偉平（左1）給葛建全頒發(fā)2018年度《中國科學(xué)數(shù)學(xué)》雜志優(yōu)秀審稿人獎(jiǎng)

培根說，數(shù)學(xué)是開啟科學(xué)大門的鑰匙?；A(chǔ)數(shù)學(xué)研究在此時(shí)此刻無用，但是50年、100年后，誰也無法預(yù)測它的作用?；A(chǔ)學(xué)科的核心優(yōu)越感也正在這里——很多時(shí)候，技術(shù)應(yīng)用不過是它的副產(chǎn)品而已。非歐幾何的創(chuàng)始人之一、俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基曾說：“沒有哪個(gè)數(shù)學(xué)分支有一天會(huì)不被用于解決現(xiàn)實(shí)世界的問題，不管它是多么抽象?！痹诋?dāng)時(shí)非歐幾何還只是抽象的數(shù)學(xué)游戲，后來卻被愛因斯坦用在了廣義相對(duì)論，羅巴切夫斯基的預(yù)言至少在他開創(chuàng)的領(lǐng)域應(yīng)驗(yàn)了。當(dāng)初，純之又純的數(shù)論，在密碼學(xué)中獲得應(yīng)用；歐氏幾何在2000年前備受質(zhì)疑，認(rèn)為歐氏幾何的作用就是丈量土地，后來被證實(shí)如果沒有歐氏幾何，微積分不可能誕生。葛建全告訴記者，很多我們所熟知的科學(xué)發(fā)現(xiàn)都是數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造的。

他給自己定的近期目標(biāo)是，培養(yǎng)本科生鉆研微分幾何的興趣，指導(dǎo)本科生完成大學(xué)生科研項(xiàng)目；培養(yǎng)研究生在微分幾何領(lǐng)域扎實(shí)的研究基礎(chǔ)，指導(dǎo)7～10名研究生，努力完成科研項(xiàng)目的研究，完成1篇以上國際頂尖雜志文章；積極學(xué)術(shù)交流，訪問美國伯克利、普林斯頓高等研究所等頂尖研究機(jī)構(gòu)開展合作；組織微分幾何青年論壇、等參理論國際會(huì)議、北京幾何分析天等學(xué)術(shù)會(huì)議，切實(shí)發(fā)揮學(xué)科交叉重點(diǎn)項(xiàng)目的優(yōu)勢作用，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。

數(shù)學(xué)的重大發(fā)現(xiàn)也許就是某一時(shí)刻的“靈光乍現(xiàn)”，而等待這一時(shí)刻卻是要花費(fèi)在數(shù)學(xué)上的勤奮努力和鍥而不舍，終其一生。不忘初心，腳踏實(shí)地，向著既定的目標(biāo)進(jìn)發(fā)，在對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的無盡探索中，葛建全正和一群投身數(shù)學(xué)研究的科研工作者，沉浸其中，感受數(shù)學(xué)的永恒之美。