王瑞

“二次函數(shù)”是各地中考考查的核心知識。如何在有限的考試時間內(nèi)準(zhǔn)確、快速地解題，是大家關(guān)注的焦點。下面結(jié)合幾個例子和同學(xué)們一起分享。

一、二次函數(shù)圖像的平移

例1 （2019·紹興）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=（x+5）（x-3）經(jīng)變換后得到拋物線y=（x+3）（x-5），則這個變換可以是（）。

A.向左平移2個單位

B.向右平移2個單位

C.向左平移8個單位

D.向右平移8個單位

【分析】方法1：可以將該二次函數(shù)的表達(dá)式化為頂點式，根據(jù)頂點坐標(biāo)的變化找出變換規(guī)律。方法2：由題給出的兩個表達(dá)式，都是“交點式”，即變換前后與x軸交點分別為：變換前（-5，0）、（3，0），變換后（-3，0）、（5，0），顯然這種解法較為簡便。

【答案】B。

二、二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征

例2 （2019·福建）若二次函數(shù)y=[a]x2+bx+c的圖像經(jīng)過A（m，n）、B（0，y1）、C（3-m，n）、D（[2]，y2）、E（2，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）。

A.y1

C.y3

【分析】由點A（m，n）、C（3-m，n）的對稱性，可求函數(shù)的對稱軸為x=[32]。注意二次項系數(shù)為[a]這個重要條件，可知該拋物線開口向上，可不必代入求值，由B（0，y1）、D（[2]，y2）、E（2，y3）與對稱軸的距離，即可快速判斷。

【答案】D。

三、二次函數(shù)與一元二次方程

例3 （2019·武漢）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（-3，0）、B（4，0）兩點，則關(guān)于x的一元二次方程a（x-1）2+c=b-bx的解是。

【分析】從一元二次方程a（x-1）2+c=b-bx出發(fā)，可化為a（x-1）2+b（x-1）+c=0。因A、B兩點是拋物線與x軸的交點，即令y=0代入得：ax2+bx+c=0。對比可發(fā)現(xiàn)，（x-1）是一個整體，可得x-1=-3，x-1=4。

【答案】x1=-2，x2=5。

四、二次函數(shù)的最值

例4 （2019·內(nèi)江）若x、y、z為實數(shù)，且[x+2y-z=4，x-y+2z=1，]則代數(shù)式x2-3y2+z2的最大值是。

【分析】從條件入手，發(fā)現(xiàn)此方程組解不出來。 但從問題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)求代數(shù)式x2-3y2+z2的最大值問題，可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題，將代數(shù)式化為用同一個字母表示的形式就可以構(gòu)造二次函數(shù)，解題思路得以打通。

【答案】26。

五、二次函數(shù)的綜合運用

例5 （2019·濰坊）如圖1，直線y=x+1與拋物線y=x2-4x+5交于A、B兩點，點P是y軸上的一個動點，當(dāng)△PAB的周長最小時，S△PAB= 。

圖1

【分析】因交點A、B兩點坐標(biāo)可求，得AB=[32]。再從未知出發(fā)分析，要求△PAB的周長最小值，即可轉(zhuǎn)化為求PA+PB的最小值，根據(jù)“將軍飲馬”模型，P點應(yīng)是點A關(guān)于y軸的對稱點A′與點B的連線與y軸的交點（如圖2），因此點P坐標(biāo)可求出為（0，[135]）。再根據(jù)y=x+1的圖像與x軸的夾角為45°這一特性，可過P作AB邊上的高，求出即可，本題迎刃而解。

圖2

【答案】[125]。

【點評】本題不僅考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了兩點間的距離計算、一次函數(shù)的性質(zhì)、軸對稱（最短路徑問題）。解決此類“小綜合題”的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)掘“線索”，結(jié)合圖形，正確計算。

考試是有時間限制的，對于二次函數(shù)考點中出現(xiàn)的選擇、填空這一類中檔題，除能正確解題外，同學(xué)們還應(yīng)追求更靈活、快速的解決方法，這樣可以給解決后面的難題留下更多的時間。 認(rèn)真審題，在已知和未知中充分挖掘特殊的信息，找到解題的“關(guān)鍵因素”是考試成功的前提。

（作者單位：江蘇省南京市天景山中學(xué)）