夏乾冬

我們知道，函數(shù)有三種表示形式：表達(dá)式、表格、圖像。很多同學(xué)在解決相關(guān)給出表格類的二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)表達(dá)式，或者畫出圖像求解，反而忽視了表格的優(yōu)越性。下面我們舉例如何利用表格的特點(diǎn)解決“表格中的二次函數(shù)”問(wèn)題。

一、表格中的自變量間距相同

表格中自變量間距相同，保證了連續(xù)點(diǎn)的對(duì)稱性。可以根據(jù)表格中y的相同一組或多組值，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性，找到其他關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

[x … -1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … ]

則當(dāng)x=5時(shí)，y的值為。

【分析】根據(jù)表格的對(duì)稱性得出函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=2，找出函數(shù)圖像上的點(diǎn)（5，y）和點(diǎn)（-1，10）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，即可得出答案。

【解答】根據(jù)表格得出函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=2，所以函數(shù)圖像上的點(diǎn)（5，y）和點(diǎn)（-1，10）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，即當(dāng)x=5時(shí)，y=10，也可以根據(jù)表格的對(duì)稱性補(bǔ)全表格：

[x … -1 0 1 2 3 4 5 … y … 10 5 2 1 2 5 10 … ]

故答案為：10。

例2 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

[x … -4 -3 -2 -1 0 … y … 3 -2 -5 -6 -5 … ]

則方程ax2+bx+c=0（a≠0）的正數(shù)解x1的取值范圍是（）。

A.0

C.2

【分析】求方程ax2+bx+c=0的解，也就是當(dāng)y=0時(shí)x的值，在表格中很容易看出y=0介于3與-2之間，那么對(duì)應(yīng)的x的值在-4與-3之間，也就是負(fù)數(shù)解的范圍。根據(jù)表格中數(shù)據(jù)的對(duì)稱性，可以找出頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-6），從而找出正數(shù)解的范圍。

【解答】根據(jù)表格的對(duì)稱性補(bǔ)全表格：

[x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y … 3 -2 -5 -6 -5 -2 3 … ]

在表格中很容易看出y=0介于-2與3之間，那么對(duì)應(yīng)的x的正的值在1與2之間，也就是正數(shù)解的范圍是1

【點(diǎn)評(píng)】此題還可以利用一般式或頂點(diǎn)式先求出二次函數(shù)的解析式：y=x2+2x-5，然后解方程：x2+2x-5=0，求出方程的解：x1=[6]-1，x2=[-6]-1，然后判斷出[6]-1在1與2之間，從而得到答案B。對(duì)比兩種解法，我們可以看出利用表格特點(diǎn)解題的簡(jiǎn)便與快捷。

二、表格中的自變量間距不同

表格中自變量間距不同，破壞了連續(xù)點(diǎn)的對(duì)稱性，我們可以通過(guò)補(bǔ)充遺漏的自變量的值，使表格中自變量間距相同，利用表格的對(duì)稱關(guān)系，最大限度完善x和y的對(duì)應(yīng)值。

例3 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

[x … -3 -2 0 1 3 5 … y … 7 0 -8 -9 -5 7 … ]

則當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍是。

【分析】本題中可以發(fā)現(xiàn)自變量間距不同，可以補(bǔ)充遺漏的自變量的值，使表格中自變量間距相同。

[x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 7 0 -8 -9 -5 7 … ]

然后再根據(jù)表格的對(duì)稱性補(bǔ)全表格，從而得到答案。

【解答】補(bǔ)全表格如下：

[x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0 7 … ]

從而得到：當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍是-2≤x≤4。

例4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

[x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … ]

則下列判斷中正確的是（）。

A.拋物線開(kāi)口向上

B.拋物線與y軸交于負(fù)半軸

C.當(dāng)x=-1時(shí)，y>0

D.方程ax2+bx+c=0（a≠0）的負(fù)根在0與-1之間

【分析】自變量間距不同，補(bǔ)充遺漏的自變量的值，補(bǔ)全表格，然后根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)解決問(wèn)題。

【解答】補(bǔ)全表格如下：

[x … -1 0 1 2 3 4 … y … -2 2 4 4 2 -2 … ]

從表中可以看出：當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，y的值先變大后變小，可以發(fā)現(xiàn)拋物線開(kāi)口向下，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)x=0時(shí)，y=2，得到拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，2），在y軸正半軸，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2<0，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;y=0時(shí)介于-2與2之間，那么對(duì)應(yīng)的x的負(fù)值在-1與0之間，所以方程ax2+bx+c=0（a≠0）的負(fù)根在-1與0之間，D選項(xiàng)正確。故選：D。

【點(diǎn)評(píng)】本題可以通過(guò)求函數(shù)關(guān)系式來(lái)解決，但過(guò)程涉及多個(gè)運(yùn)算（代入求值、解方程組、解一元二次方程等），也可以通過(guò)畫圖像來(lái)解決，但由于點(diǎn)較少，很難準(zhǔn)確畫出，給準(zhǔn)確結(jié)論的得出帶來(lái)一些不確定因素，導(dǎo)致解題的效率和準(zhǔn)確率大大降低。

（作者單位：江蘇省南京江寧開(kāi)發(fā)區(qū)學(xué)校）