周艷

在八年級(jí)時(shí)，我們學(xué)習(xí)過(guò)“一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式”，同學(xué)們知道這三者雖然形式上有所差異，但卻存在一定的關(guān)系。尤其是借助一次函數(shù)的圖像來(lái)解決一元一次方程和一元一次不等式的某些問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)感嘆借助“形”來(lái)解決“數(shù)”的問(wèn)題是那么直觀便捷。沿襲類(lèi)似的研究思路，我們自然想到是不是借助二次函數(shù)的圖像也可以為解決一元二次方程和不等式的問(wèn)題同樣提供直觀便捷的解決方法。下面通過(guò)同一個(gè)二次函數(shù)圖像的不同例子，給大家展示它有哪些妙用。

例1 已知二次函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖像如圖1所示，則關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的另一解為x=。

圖1

【分析】同學(xué)們看到求方程的解的第一反應(yīng)往往都是解方程，但是這個(gè)方程中有一個(gè)字母m，下面就會(huì)集中“火力”去利用函數(shù)的圖像去求二次函數(shù)的解析式，想把m求出來(lái)。費(fèi)了九牛二虎之力后發(fā)現(xiàn)m求不出來(lái)，思維就此中斷。

咱不妨換個(gè)思路，只看圖像，看圖像能告訴我們什么？通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸是過(guò)點(diǎn)（1，0）且與y軸平行的一條直線(xiàn)，函數(shù)圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）。因此根據(jù)圖像的軸對(duì)稱(chēng)性可推斷出圖像與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)必為（-1，0）。這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的就是一元二次方程-x2+2x+m=0的兩個(gè)根，因此另一解為x=-1。

變式1 二次函數(shù)y=-x2+2x+m的圖像如圖2所示，那么關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m+2=0的根的情況是（）。

圖2

A.有兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【分析】同學(xué)們看到題目中要對(duì)一元二次方程的根的情況進(jìn)行判斷，總會(huì)條件反射地去請(qǐng)根的判別式“b2-4ac”來(lái)幫忙，照著此路一路向前，最后一定會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一條死胡同。

換個(gè)思路，咱們從圖像入手。我們可以利用例1中的結(jié)論將二次函數(shù)y=-x2+2x+m的圖像補(bǔ)全，并且在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中作出整個(gè)圖像沿著y軸向上平移2個(gè)單位后的圖像（圖3中最上方的圖像即為y=-x2+2x+m+2的圖像）。通過(guò)觀察，我們得到圖像此時(shí)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，并且這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是異號(hào)。因此對(duì)應(yīng)著一元二次方程-x2+2x+m+2=0也有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。

圖3

變式2 函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖像如圖4所示，則關(guān)于x的不等式-x2+2x+m<0的解集為。

圖4

【分析】這個(gè)關(guān)于x的且含有字母m的不等式，我們沒(méi)有學(xué)過(guò)它的解法，因此欲解此題就需另辟蹊徑——觀察圖像。

首先還是由例1中的圖像對(duì)稱(chēng)性出發(fā)，先把函數(shù)的圖像補(bǔ)全（圖5-2），然后將這個(gè)不等式y(tǒng)<0求解集問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖像中當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于0時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的范圍問(wèn)題。下面請(qǐng)同學(xué)們觀察圖5-2，可得當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于0時(shí)，符合條件的函數(shù)圖像在x軸的下方，即如圖5-3中的兩段實(shí)線(xiàn)部分，這兩段實(shí)線(xiàn)部分的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都滿(mǎn)足小于0，而這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件是x<-1或x>3。

圖5-1圖5-2圖5-3

變式3 求關(guān)于x的不等式-x2+2x+3>0的解集。

【分析】同學(xué)們不能被此題的提問(wèn)形式嚇倒，它的本質(zhì)就是一只“紙老虎”。戳破這層紙，你會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)就是上面的變式2擯棄了圖像的另一種問(wèn)法而已。此題仍然借助二次函數(shù)圖像來(lái)解決，將求y>0時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值范圍轉(zhuǎn)化為：圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于0時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足什么條件。我們可以發(fā)現(xiàn)符合條件的所有點(diǎn)在圖5-3中間虛線(xiàn)部分的圖像上，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件為-1

變式4 已知直線(xiàn)y=mx+n（m≠0）與拋物線(xiàn)y=-x2+2x+m交于A（-0.5，p），B（2，q）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式mx+n>-x2+2x+m的解集為。

圖6

【分析】這種不等式直接去求解集肯定是沒(méi)辦法解的。因此我們?nèi)匀灰柚瘮?shù)圖像，將mx+n>-x2+2x+m的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)在二次函數(shù)上方時(shí)所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)需滿(mǎn)足什么條件。我們結(jié)合圖像，通過(guò)A、B兩點(diǎn)向x軸作垂線(xiàn)，將圖像劃分為3個(gè)區(qū)域，如圖7，可見(jiàn)3個(gè)區(qū)域中只有①和③區(qū)域中的圖像滿(mǎn)足一次函數(shù)在二次函數(shù)上方的要求。下面只要寫(xiě)出①和③兩個(gè)區(qū)域中所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件即可，橫坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件對(duì)應(yīng)著不等式中x的取值范圍。

圖7

二次函數(shù)圖像與一元二次方程

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），因此當(dāng)y=0時(shí)，得到ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0），這正是一元二次方程的一般式。反映到函數(shù)圖像上，當(dāng)y=0時(shí)，意味著點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，這個(gè)點(diǎn)會(huì)落在x軸上。當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0）、（x2，0）時(shí)，對(duì)應(yīng)著ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）會(huì)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)著ax2+bx+c=0（a≠0）會(huì)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)著ax2+bx+c=0（a≠0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

二次函數(shù)圖像與不等式

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），其圖像的“形”為一條拋物線(xiàn)。通過(guò)變式2、變式3、變式4，我們可以看出：當(dāng)y>m（m為常數(shù)），求x的取值范圍，對(duì)應(yīng)到函數(shù)圖像上可理解為：當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿(mǎn)足一定的條件時(shí)，去求符合條件的所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)需要滿(mǎn)足什么條件。因此橫坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件與x的取值范圍是相互對(duì)應(yīng)的。

通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的圖像與一元二次方程、不等式的點(diǎn)滴探索，我們可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的圖像是解決相關(guān)問(wèn)題的有效手段，它直觀、便捷，可化繁為簡(jiǎn)。通過(guò)例題的展示，我們對(duì)它們之間的關(guān)系有了更深入的了解，同時(shí)也為日后高中的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提供了類(lèi)似的研究方法。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)淳化初級(jí)中學(xué)）