劉炬　鐘銘　黃夢(mèng)思　陳江濤　張宇涵

摘要：

針對(duì)沿海地區(qū)燃料油供應(yīng)問(wèn)題，制定燃料油配送方案，設(shè)計(jì)配送航線和配送量使運(yùn)輸成本和庫(kù)存成本最小，同時(shí)考慮需求不確定的情況，使需求發(fā)生一定變動(dòng)時(shí)原方案依舊可行。與不考慮需求不確定的供應(yīng)方案相比，使用魯棒優(yōu)化方法得到的結(jié)果可靠性更強(qiáng)，發(fā)生缺貨的可能更小。由于需求不確定情況下存在的二次約束嚴(yán)重影響模型的求解效率，提出一種兩階段求解方法來(lái)分解問(wèn)題，使求解效率得到明顯提高。對(duì)于存在需求不確定情況的供應(yīng)系統(tǒng)，決策者使用該魯棒優(yōu)化模型時(shí)，可以根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)偏好并通過(guò)調(diào)整參數(shù)最大限度地提高供應(yīng)方案的可靠性。

關(guān)鍵詞：

沿海燃料油供應(yīng);?庫(kù)存路徑;?魯棒優(yōu)化;?需求不確定;?可靠性

中圖分類號(hào)：F550.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：?2018-09-29

修回日期：?2018-12-17

基金項(xiàng)目：

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（2017YFC0805309）;遼寧省交通科技項(xiàng)目（201704）;遼寧省高等學(xué)校教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（PI201527）

作者簡(jiǎn)介：

劉炬（1993—），男，湖北隨州人，碩士研究生，研究方向?yàn)榻煌ㄟ\(yùn)輸工程，（E-mail）lj_931025@126.com;

鐘銘（1965—），男，遼寧大連人，教授，博導(dǎo)，博士，研究方向?yàn)榻煌ㄟ\(yùn)輸規(guī)劃與管理、物流工程與管理，（E-mail）zhongming_dlmu@126.com

Robust?optimization?of?short?sea?fuel?oil?distribution

under?demand?uncertainty

LIU?Jua，?ZHONG?Minga，?HUANG?Mengsib，?CHEN?Jiangtaoa，?ZHANG?Yuhana

（

a.?College?of?Transportation?Engineering;?b.?School?of?Maritime?Economics?and?Management，

Dalian?Maritime?University，?Dalian?116026，?Liaoning，?China）

Abstract：

Aiming?at?a?fuel?oil?distribution?issue?in?short?sea，?the?fuel?oil?distribution?scheme?is?developed，?the?distribution?route?and?distribution?quantity?are?designed?to?minimize?the?transportation?cost?and?inventory?cost，?and?the?uncertain?demand?is?taken?into?account?in?order?that?the?scheme?is?able?to?stay?feasible?when?the?demand?uncertainty?happens.Comparing?with?the?scheme?under?deterministic?demand，?the?scheme?developed?by?the?robust?optimization?method?is?more?reliable?and?less?likely?to?occur?out?of?stock.?Because?the?quadratic?constrain?under?the?demand?uncertainty?makes?the?solving?efficiency?terrible，?a?two-stage?solving?method?is?proposed?to?decompose?the?problem，?which?improves?the?solving?efficiency?greatly.?For?the?distribution?system?under?demand?uncertainty，when?decision?makers?adopt?the?robust?optimization?model，?the?reliability?of?the?distribution?scheme?can?maximize?according?to?their?risk?preference?and?through?adjusting?the?parameters.

Key?words：

short?sea?fuel?oil?distribution;?inventory?routing;?robust?optimization;?demand?uncertainty;?reliability

0?引?言

沿海燃料油供應(yīng)問(wèn)題屬于海運(yùn)庫(kù)存路徑問(wèn)題（maritime?inventory?routing?problem，MIRP）。在經(jīng)典的車輛路徑問(wèn)題（vehicle?routing?problem，VRP）中，供應(yīng)商使用不同的車輛將貨物配送到所有需求節(jié)點(diǎn)上，并返回供應(yīng)節(jié)點(diǎn)，要求成本最小化。庫(kù)存路徑問(wèn)題（inventory?routing?problem，?IRP）以VRP為基礎(chǔ)，是一類典型的運(yùn)輸問(wèn)題。VRP與IPR的區(qū)別在于：VRP只考慮運(yùn)輸，而IRP中供應(yīng)方既負(fù)責(zé)運(yùn)輸又負(fù)責(zé)庫(kù)存。庫(kù)存的引入更適用于研究多階段、長(zhǎng)周期運(yùn)輸問(wèn)題，而庫(kù)存成本與運(yùn)輸成本間的“二律悖反”效應(yīng)（即一種成本的降低必然導(dǎo)致另一種成本的增加）使得IRP的研究?jī)?nèi)容更加豐富。通常海上貨物運(yùn)輸中，承運(yùn)人只負(fù)責(zé)運(yùn)輸階段，貨交收貨人即責(zé)任終止，一般不會(huì)考慮庫(kù)存問(wèn)題。然而，燃料油、天然氣這類貨物的供應(yīng)方會(huì)同時(shí)負(fù)責(zé)運(yùn)輸和庫(kù)存成本，某些特殊貨物如水泥、化學(xué)品、瀝青等的運(yùn)輸也符合MIRP的特點(diǎn)。與傳統(tǒng)班輪和雜貨運(yùn)輸不同，MIRP中掛靠港數(shù)量通常是固定的，但運(yùn)輸路徑和掛靠港順序是變動(dòng)的。在研究?jī)?nèi)容上，MIRP與上述IRP相似，不同的是海運(yùn)中由于港口掛靠成本高并且泊位限制和靠泊過(guò)程較長(zhǎng)等問(wèn)題，一個(gè)需求港通常只允許被掛靠一次（即不能使用多條船為同一港口服務(wù)）。MIRP通常研究單貨種、多周期、一對(duì)多（一個(gè)供應(yīng)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)多個(gè)需求節(jié)點(diǎn)）的運(yùn)輸，路徑規(guī)劃建立在各節(jié)點(diǎn)的需求量已知和各種參數(shù)均為確定參數(shù)的基礎(chǔ)上，而不確定參數(shù)問(wèn)題近些年逐漸受到重視。最初MIRP主要以連續(xù)時(shí)間為主，后來(lái)離散時(shí)間被引入，AGRA等[1]研究了連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間下的沿海IRP，結(jié)果表明用離散時(shí)間容易取得更優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)邊界，而用連續(xù)時(shí)間的求解速度更快。若需求是固定的，則適合使用連續(xù)時(shí)間;若需求是浮動(dòng)的，則適合使用離散時(shí)間。對(duì)于需求確定的MIRP，船舶配置和航線選擇相對(duì)固定，適合研究多周期問(wèn)題[2]，而在需求不確定或難以預(yù)測(cè)的情況下更傾向于研究單周期或短周期問(wèn)題[3]。近年來(lái)多貨種MIRP逐漸顯現(xiàn)，主要以油品或化學(xué)品運(yùn)輸作為研究對(duì)象[4]，因?yàn)槎喾N液態(tài)貨物通常不能混合運(yùn)輸，所以會(huì)使用多艙室船舶，因此一個(gè)航次同一艙室要求只裝一種貨物，甚至同一個(gè)艙室相鄰兩個(gè)連續(xù)航次只能裝同一種貨物。MIRP中貨物來(lái)源于單一供應(yīng)港和多供應(yīng)港，CHRISTIANSEN等[5]對(duì)多年來(lái)各類海運(yùn)方面文獻(xiàn)做了總結(jié)和概述。

MIRP屬于NP難問(wèn)題，精確算法通常用來(lái)求解小規(guī)模問(wèn)題，分支定界法和分支切面法等精確算法[6]是求解混合整數(shù)規(guī)劃（mixed?integer?programming，?MIP）模型的主要方法，有效不等式和緊縮約束在模型改進(jìn)方面有很重要的應(yīng)用[7]。隨著模型規(guī)模的增加，精確算法很難在有限的時(shí)間內(nèi)取得令人滿意的結(jié)果，因此變量鄰域下降搜索法[8]、滾動(dòng)時(shí)域法[9]等啟發(fā)式算法的開(kāi)發(fā)意義重大。實(shí)際上，需求和運(yùn)輸時(shí)間兩個(gè)因素在特定的MIRP中具有很強(qiáng)的不確定性：需求沒(méi)有得到滿足容易產(chǎn)生很高的補(bǔ)貨成本;有的貨物需要在一定的期限內(nèi)送達(dá)，否則會(huì)延誤船期，而船舶的航行受很多種因素的影響致使運(yùn)輸時(shí)間往往難以保證。近年來(lái)，不確定性MIRP的研究逐漸受到關(guān)注，GUSTAVO等[10]使用魯棒優(yōu)化方法研究了航行時(shí)間不確定時(shí)的MIRP，使得在航行發(fā)生一定延誤的情況下原方案仍然具有很強(qiáng)的可行性，并且局部搜索啟發(fā)式算法對(duì)魯棒優(yōu)化問(wèn)題也有很好的效果。AGRA等[11]首次使用隨機(jī)規(guī)劃方法研究了航行時(shí)間和在港時(shí)間不確定時(shí)的MIRP。ADULYASAK等[12]在公路運(yùn)輸?shù)腣RP中針對(duì)運(yùn)輸時(shí)間不確定情況，使用隨機(jī)優(yōu)化和魯棒優(yōu)化方法得到魯棒性更強(qiáng)的配送方案。MAGGIONI等[13]研究了需求和租車價(jià)格不確定情況下的運(yùn)輸配車問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)優(yōu)化方法可以使成本更小，但魯棒優(yōu)化方法對(duì)不確定的控制能力更強(qiáng)。LI等[14]研究了考慮運(yùn)輸準(zhǔn)備時(shí)間的IRP，其中庫(kù)存水平不確定但未來(lái)概率分布已知，屬于隨機(jī)優(yōu)化的范疇。隨機(jī)優(yōu)化是研究不確定問(wèn)題的一種重要手段，但隨機(jī)參數(shù)需服從確定的概率分布，而現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中不確定因素往往不是嚴(yán)格服從某種分布發(fā)生的，因此很難得到分布函數(shù);魯棒優(yōu)化不需要知道參數(shù)的分布，更適合研究不確定性問(wèn)題。SOYSTER[15]最早提出魯棒優(yōu)化的概念，但由于所采取的盒式魯棒過(guò)于保守而被否定;BEN-TAL等[16]在SOYSTER的基礎(chǔ)上添加橢球約束，使得保守性大大降低，并且可以根據(jù)決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好選擇合適的參數(shù)加以調(diào)節(jié)。隨后結(jié)合范數(shù)的概念，魯棒不確定集被泛化成Norm-ball不確定集，上述兩種不確定集也被納入這個(gè)范疇，盒式不確定集屬于無(wú)窮范數(shù)，而B(niǎo)EN-TAL橢球不確定集為2范數(shù)。使用不同的范數(shù)，不確定集具有不同的形狀，Norm-ball不確定集中使用最多最具有代表性的是2范數(shù)即橢球不確定集。BERTSIMAS等[17]從另一個(gè)角度出發(fā)，設(shè)計(jì)了通過(guò)控制不確定參數(shù)個(gè)數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)保守性的魯棒優(yōu)化，成為魯棒優(yōu)化方法中具有代表性的一種。SOLYALI等[18]首次使用這種方法研究了需求不確定下的IRP，問(wèn)題設(shè)定為一對(duì)多、單貨種、多周期的供應(yīng)系統(tǒng)。這種魯棒形式只能考慮部分節(jié)點(diǎn)需求不確定性，而現(xiàn)實(shí)中所有節(jié)點(diǎn)的需求都具有不確定性。

本文聯(lián)系實(shí)際考慮燃料油供應(yīng)中各節(jié)點(diǎn)需求不確定性，從而基于橢球不確定集的魯棒優(yōu)化與隨機(jī)優(yōu)化相比更貼近實(shí)際。這是因?yàn)殡S機(jī)優(yōu)化建立在概率分布已知的基礎(chǔ)上，確定一種概率分布本身就具有很強(qiáng)的主觀因素?；谛枨蟀l(fā)生變動(dòng)的港口數(shù)量不確定的魯棒優(yōu)化（另一類魯棒思想）總會(huì)忽視部分港口需求不確定，相比之下橢球不確定性集可以兼顧所有港口需求不確定，更符合經(jīng)營(yíng)實(shí)際。在考慮不確性參數(shù)時(shí)使用橢球不確定集并針對(duì)其中的二次約束對(duì)模型進(jìn)行拆分，有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）避免模型過(guò)于保守，即過(guò)濾了所有港口需求都波動(dòng)過(guò)大的情況;（2）可以兼顧所有港口的需求不確定;（3）可以針對(duì)不同的決策方案，根據(jù)決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好或者保守程度，通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)θ的值控制模型的魯棒性。（4）求解中將原含有二次約束的混合模型拆分為一個(gè)線性模型和一個(gè)純二階錐優(yōu)化模型，采用兩階段求解方法使求解效率得到明顯提高。

1?確定性模型

1.1?問(wèn)題描述

燃料油公司有多個(gè)燃料油供應(yīng)基地，每個(gè)基地有若干船舶，定期將燃料油配送到需求港以滿足未來(lái)時(shí)期各地區(qū)燃料油需求。燃料油公司承擔(dān)需求港的燃料油庫(kù)存成本和運(yùn)輸成本，未來(lái)時(shí)期需求不確定，配送方案需要具有一定魯棒性，盡可能防止缺貨發(fā)生。由于需求不確定，本文進(jìn)行單周期研究，采用多供應(yīng)港對(duì)多需求港的供應(yīng)模式，貨種為單貨種。運(yùn)輸中每艘船從所屬供應(yīng)港出發(fā)完成多個(gè)港口供應(yīng)，并回到所屬港口，每個(gè)需求港只由一艘船服務(wù)，燃料油公司需要確定合適的船舶、配送量、運(yùn)輸航線以安排配送。需求港庫(kù)存成本按燃料油的勻速消耗計(jì)算，不考慮供應(yīng)港庫(kù)存量和成本，由于不考慮運(yùn)輸時(shí)間的不確定，且燃料油配送對(duì)船期要求不高，故忽略船舶航行時(shí)間問(wèn)題。

1.2?符號(hào)說(shuō)明

N為所有節(jié)點(diǎn)的集合，i，j∈N;NS={1，2，…，m}為供應(yīng)港集合，ND={1，2，…，n}為需求港集合，N=ND∪NS={1，2，…，m+n};Nv為由船舶v服務(wù)的港口集合，NvN;V為異構(gòu)船隊(duì)集合，船舶v∈V。

di為港口i的需求量;d*i為港口i的需求量均值;σi為港口i需求量所在區(qū)間半徑，即di∈d*i-σi，d*i+σi;Wv為船舶v的最大載重噸;cijv為船舶v在弧（i，j）上的航行成本，與航線距離和船舶有關(guān);Ii為港口i的最大庫(kù)存量，供應(yīng)港庫(kù)存無(wú)限制;Hi為港口i在規(guī)劃期初原有庫(kù)存量;Ci為港口i的單位庫(kù)存持有成本，港口庫(kù)存成本與庫(kù)存量成正比;gi為港口i因未滿足需求而產(chǎn)生的單位缺貨損失成本（懲罰成本）;Fv為船舶v一個(gè)航次的固定成本;ziv為0-1變量，若v是供應(yīng)港i的船舶則為1，否則為0;u（v，i）表示船舶v掛靠港i的序號(hào)（無(wú)實(shí)際意義僅用于消除子圈）。

xijv為0-1決策變量：若船舶v在有向?。╥，j）上航行，則為1，否則為0;i和j不能同時(shí)為供應(yīng)港。yiv為0-1決策變量：若船舶v在港口i裝卸燃料油，則為1，否則為0;i可以是供應(yīng)港也可以是需求港。ωjiv為供應(yīng)港j通過(guò)船舶v向需求港i運(yùn)輸?shù)娜剂嫌土俊?/p>

[WTHX]x[WTBX]、

[WTHX]y[WTBX]、[WTHX]ω[WTBX]為以上3個(gè)決策變量的矩陣形式。

1.3?模型建立

先建立需求確定情況下的燃料油庫(kù)存路徑成本數(shù)學(xué)模型，其中除

特殊說(shuō)明外，i∈N，j∈N，v∈V。目標(biāo)函數(shù)為

式（1）為目標(biāo)函數(shù)，為規(guī)劃期內(nèi)總成本最小，包括規(guī)劃期內(nèi)總運(yùn)輸成本、總庫(kù)存成本。式（2）保證?。╥，j）上的兩港口不能同時(shí)為供應(yīng)港。式（3）、（4）表示船舶v在?。╥，j）上航行的前提是船舶v在港口i、j都掛靠。式（5）～（7）為船舶流量平衡。式（8）為艙容限制。式（9）表示一個(gè)港口只能由一艘船服務(wù)。式（10）保證需求被滿足。式（11）表示供應(yīng)港的船必須掛靠該船所屬供應(yīng)港。式（12）表示船舶向港口供貨必掛靠港口，且掛靠必供貨。式（13）表示供應(yīng)港的貨物必須由該供應(yīng)港的船運(yùn)輸。式（14）、（15）表示消除子圈。式（16）～（19）為0-1約束和非負(fù)約束。式（11）～（14）為一對(duì)多模型泛化到多對(duì)多模型的關(guān)鍵。

1.4?不確定性魯棒優(yōu)化模型

由于每個(gè)港口的需求是未知的，但根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)營(yíng)得來(lái)的數(shù)據(jù)可知，需求的變動(dòng)并不是任意的，而是在一定范圍內(nèi)變動(dòng)的。假設(shè)需求以

在集合中存在十分極端的需求組合，如所有需求都波動(dòng)到最大可能取值，但事實(shí)上即便從概率角度考慮，這種情形是極不可能出現(xiàn)的。如果將這個(gè)集合作為不確定集，則過(guò)于保守，因此需要通過(guò)約束去除保守組合。橢球不確定集[19]

[WTHX]d[WTBX]構(gòu)成的n維橢球體，σi是港口i需求量所在區(qū)間半徑也是橢球體對(duì)應(yīng)軸的半徑，θ2θ≥0用來(lái)控制橢圓大小，是調(diào)節(jié)保守性的參數(shù)。當(dāng)θ=0時(shí)，不確定集縮小到一點(diǎn)，成為確定性問(wèn)題;當(dāng)0<θ<1時(shí)，

2?模型分解與轉(zhuǎn)化

上述模型中存在二次約束，這使得求解現(xiàn)實(shí)的小規(guī)模問(wèn)題的時(shí)間依然很長(zhǎng)，因此需要加以改進(jìn)。式（10）和目標(biāo)函數(shù)中都含有不確定參數(shù)，不利于計(jì)算，可以利用拉格朗日乘子法將約束以懲罰成本的形式轉(zhuǎn)移到目標(biāo)函數(shù)中，同時(shí)懲罰成本允許缺貨的發(fā)生，但必須接受一定的懲罰，使模型更加靈活。寫成如下形式：

z

當(dāng)約束被破壞即g（x）<0時(shí)，d，u無(wú)窮小，其中u>0為懲罰因子。算法步驟如下：（1）初始化懲罰因子u（0）>0，取接近于0的閾值e;（2）令k=0，在定義域內(nèi)取初始值，計(jì)算*d（0），u（0）;（3）k=k+1，u（k）=cu（k-1），0

通過(guò)內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法求解式（25）得到worst-case下的需求量

[WTHX]d[WTBX]#，將其代入z得到z1的魯棒解。分解之后模型求解效率比直接求解效率高很多，對(duì)于求解現(xiàn)實(shí)規(guī)模大小的問(wèn)題，效果明顯。

3?算例分析

3.1?算例介紹

選擇18個(gè)港口，其中2個(gè)供應(yīng)港，16個(gè)需求港，其中{1，2，…，16}為需求港集合，{17，18}為供應(yīng)港集合。共有供油船5艘，相關(guān)固定成本信息見(jiàn)表1。港口需求量和規(guī)劃期初庫(kù)存量見(jiàn)表2。假設(shè)港口不確定需求半徑為需求水平的25%（即

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（編輯?趙勉）