鄭振鈞，馬小舟，董國(guó)海

（大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

引言

港灣振蕩是發(fā)生在封閉或半封閉水域的一種很常見(jiàn)的駐波現(xiàn)象，當(dāng)外界擾動(dòng)頻率與水域本征頻率一樣或接近時(shí)會(huì)產(chǎn)生劇烈的水面振蕩和周期性流場(chǎng)，在港口、海灣等人類(lèi)活動(dòng)密集的水域造成危害[1-2]。港灣振蕩災(zāi)害的發(fā)生與否，要同時(shí)考慮港口的內(nèi)因和外因，即港口本身的振蕩特性和當(dāng)?shù)氐牟ɡ藯l件。港口建成后，平面形狀和水深不會(huì)輕易改變，因此振蕩特性就基本確定了。只有港口所在海域的波浪要素匹配上港口的本征頻率時(shí)才有可能引發(fā)共振。此外，港灣振蕩災(zāi)害的重要體現(xiàn)是船舶損壞，這與船舶運(yùn)動(dòng)特性密切相關(guān)，因此港口的設(shè)計(jì)船型也應(yīng)給予考慮。

港灣振蕩的研究多著手于單港池情形，而多港池（耦合港池）情形更符合實(shí)際，但獲得的研究相對(duì)較少。Lee和 Raichlen[3]使用邊界元法求解Helmholtz方程，進(jìn)行了大量的耦合港池?cái)?shù)值實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，整體上耦合港池相對(duì)于單港池有著更大的放大因子和更復(fù)雜的響應(yīng)曲線(xiàn)。Losada等[4]在水槽中做了雙側(cè)矩形港池模型實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，在能使單個(gè)港池產(chǎn)生共振的入射條件下，同時(shí)開(kāi)啟另一個(gè)港池，會(huì)使原來(lái)港池的共振減弱，但減弱程度與另一個(gè)港池的長(zhǎng)度并沒(méi)有明確的關(guān)系。Bellotti[5]通過(guò)線(xiàn)性長(zhǎng)波方程研究了理想港口在長(zhǎng)波作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，兩個(gè)小口門(mén)矩形港池相連情形的數(shù)值結(jié)果表明，外池的存在使內(nèi)池的本征頻率發(fā)生了偏移和個(gè)數(shù)的增減，同時(shí)使港口變得更加的封閉，一旦發(fā)生共振，能量很難疏散出去。Xing[6]基于緩坡方程探討了花蓮港的共振改善措施，包括港池分割、打斷或新增防波堤、增加消能邊界等，總結(jié)了減弱港灣振蕩的三種思路，第一種是改變港池形狀，使得共振頻率偏移，不與當(dāng)?shù)夭r和船舶響應(yīng)頻率匹配。第二種是采取減弱長(zhǎng)周期波動(dòng)的措施，但通常很難快速地消減長(zhǎng)周期波動(dòng)。第三種為前兩種的結(jié)合，改變港池形狀使共振峰平移到高頻區(qū)域，再采取對(duì)高頻區(qū)域更為有效的消除長(zhǎng)周期振蕩的措施。

綜上所述，耦合港池的振蕩十分復(fù)雜，規(guī)律難以探明。耦合港池往往形狀復(fù)雜、可調(diào)參數(shù)較多，因此多港池的研究主要關(guān)注于實(shí)際港口，其成果對(duì)該港口有很強(qiáng)的依賴(lài)性。如何進(jìn)行多港池的振蕩研究并找到其共性，使成果能較好地應(yīng)用于普遍的多港池港口，是耦合港池研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。矩形港池是最為常見(jiàn)的港池形狀，本文針對(duì)多種矩形港池組合展開(kāi)研究，主要關(guān)注兩個(gè)問(wèn)題，一是新建矩形港池對(duì)響應(yīng)曲線(xiàn)和模態(tài)有什么影響；二是港口會(huì)變得更安全或更危險(xiǎn)。

外海水深依據(jù)不同的實(shí)際情形會(huì)有巨大差異，在研究中難以選擇具有普適性的水深變化形式。同時(shí)，外海變化的水深主要導(dǎo)致波浪的折射和淺化，影響到達(dá)港口波浪的波向和波幅，對(duì)波長(zhǎng)的影響很小。就研究港口的內(nèi)因而言，外海水深的變化形式并不重要。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在多矩形港池耦合振蕩研究的起始階段，港內(nèi)外水深取為常水深。

1 數(shù)值模型及驗(yàn)證

本文采用 Chamberlain等[7]推導(dǎo)出的拓展型緩坡方程，相對(duì)于 Berkhoff[8]推導(dǎo)出的經(jīng)典橢圓形緩坡方程，添加了地形的曲率項(xiàng)和坡度平方項(xiàng)，可改善方程對(duì)快變水深的適用性，表達(dá)式為：

式中：f1和f2為kh的函數(shù)，k為波數(shù)；C和Cg為波浪相速度和群速度；φ為速度勢(shì)函數(shù)；g為重力加速度；?為平面微分算子。

上述緩坡方程屬于橢圓形偏微分方程，非常適合用有限元方法進(jìn)行求解。有限元方程的導(dǎo)出和數(shù)值求解可參考文獻(xiàn)[9]和[10]。模型的驗(yàn)證選擇 Wang等[11]基于線(xiàn)性長(zhǎng)波方程推導(dǎo)出的斜底細(xì)長(zhǎng)港解析式。港池布局見(jiàn)圖1(a)，實(shí)心圓為波高測(cè)點(diǎn)，固邊界為全反射直立壁面。水底坡度為1:40，外海水深0.75 m，內(nèi)墻水深0.25 m，見(jiàn)圖1(b)。港池特征長(zhǎng)度為20 m。響應(yīng)曲線(xiàn)對(duì)比見(jiàn)圖1(c)，結(jié)果吻合地很好。其中，縱坐標(biāo)稱(chēng)為比波高，橫坐標(biāo)為波數(shù)與特征長(zhǎng)度的乘積，與頻率類(lèi)似，橫坐標(biāo)越大代表周期越小。比波高隨著橫坐標(biāo)的變化稱(chēng)為響應(yīng)曲線(xiàn)，每個(gè)極值對(duì)應(yīng)一個(gè)本征頻率，本征頻率和相應(yīng)的比波高分布稱(chēng)為本征模態(tài)。

圖1 模型驗(yàn)證算例布局和結(jié)果對(duì)比

2 矩形港池組合

本節(jié)的組合矩形港池見(jiàn)圖 2，固邊界為全反射的直立壁面，波浪都以斜向45°入射，波向示意見(jiàn)圖2(a)，水深皆為10 m。圖中實(shí)心圓為測(cè)點(diǎn)，港池A的響應(yīng)曲線(xiàn)為三個(gè)測(cè)點(diǎn)的曲線(xiàn)包絡(luò)線(xiàn)，港池B和C同理。針對(duì)本文港池尺度，入射波頻率范圍選為0.00125～0.025 Hz，高于該頻率段的波浪，通常響應(yīng)較小，并有明顯的能量損耗，如底摩阻、渦動(dòng)損失、邊界部分反射等。低于該頻率段的波浪，只會(huì)形成正常駐波。因此該頻率段外的波浪不會(huì)造成嚴(yán)重的港灣振蕩災(zāi)害。

圖2 港池布局示意(單位：m)

2.1 組合一

響應(yīng)曲線(xiàn)對(duì)比見(jiàn)圖3，各本征頻率都用字母標(biāo)記。本文將圖中特別尖銳的峰稱(chēng)為極端模態(tài)，根據(jù)Bellotti[5]的研究結(jié)果，這類(lèi)本征模態(tài)發(fā)展歷時(shí)極長(zhǎng)，可認(rèn)為不具備實(shí)際的危險(xiǎn)性?？紤]前四個(gè)模態(tài)，組合一的本征頻率要小于單港池情形。模式(b)在單港池情形為正常模態(tài)，在耦合情形轉(zhuǎn)變?yōu)闃O端模態(tài)。模式(d)在耦合情形下更趨向于極端模態(tài)。在計(jì)算頻率范圍內(nèi)，考慮到極端模態(tài)不具備實(shí)際的危險(xiǎn)性，因此組合一的響應(yīng)要弱于單港池情形。

為考察更全面的規(guī)律，此處另外取 0.025～0.1 Hz的頻率段進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)圖3。兩條曲線(xiàn)幾乎沒(méi)有任何相似規(guī)律可循，但對(duì)于個(gè)別極端模態(tài)，兩個(gè)情形的本征頻率是完全一樣的，已在圖中用藍(lán)色直線(xiàn)標(biāo)注出來(lái)。選擇極端模態(tài)(1)和(2)的比波高分布見(jiàn)圖 4，不難發(fā)現(xiàn)，這幾個(gè)模態(tài)都屬于沿著港池A寬度方向（y向）的極端模態(tài)，對(duì)應(yīng)波節(jié)線(xiàn)數(shù)為1、3。極端模態(tài)(3)波節(jié)線(xiàn)數(shù)為4。由于頻率分辨率不足，因此沒(méi)有檢索出波節(jié)線(xiàn)為2的模態(tài)。

綜上所述，拓展港池B后，港池A沿長(zhǎng)度方向（x向）的模態(tài)會(huì)發(fā)生改變，只有沿寬度方向（y向）的模態(tài)是不變的，但這些不變的又屬于極端模態(tài)，實(shí)際意義不大。因此，只要拓展了港池，我們需要關(guān)心的模態(tài)都會(huì)發(fā)生變化。

圖3 組合一港池A響應(yīng)曲線(xiàn)

圖4 組合一中的極端模態(tài)

2.2 組合二

組合一和組合二可以看作港池B在不同位置的情形，對(duì)比圖5，兩者在低頻區(qū)域（0.01 Hz之前）結(jié)果差異很小，本文認(rèn)為是因?yàn)榈皖l區(qū)域的波長(zhǎng)較長(zhǎng)。高頻區(qū)域（0.02 Hz之后），共振峰有一定區(qū)別。對(duì)于模態(tài)(e)，共振峰減弱了很多（組合二雖然很平緩但仍存在一個(gè)極點(diǎn)）。可以初步定性地認(rèn)為，新建港池在不同位置的影響的區(qū)別主要體現(xiàn)在高頻區(qū)域。

港池 A于組合一和組合二的平均放大因子分別為 0.89和0.95（表1），基本持平。結(jié)合外海波況考慮，如果能量主要集中在本征頻率(d)附近，那么組合一更安全。若集中在本征頻率(e)附近，則組合二更安全。若兩者都不集中，那這兩個(gè)組合情形沒(méi)有明顯區(qū)別，若將港池B的平均放大因子也考慮進(jìn)來(lái)，此時(shí)組合一更安全（僅從內(nèi)因考慮）。

圖5 組合二響應(yīng)曲線(xiàn)

2.3 組合四&組合三

在組合三的基礎(chǔ)上新增港池C，見(jiàn)圖2(d)～(f)，考慮港池C位置的不同對(duì)港池A和B的影響。觀察港池A的響應(yīng)曲線(xiàn)（圖6），低頻區(qū)域影響不大，只因?yàn)槌叨仍黾佣菊黝l率左偏，峰的形狀改變了一點(diǎn)。港池A中第三個(gè)峰是往右移的，與設(shè)想的不一樣。但同時(shí)觀察港池B的響應(yīng)曲線(xiàn)，第三個(gè)峰為極端模態(tài)，如果把港池A、B的曲線(xiàn)疊加的話(huà)，所有峰仍然是左移的，因此測(cè)點(diǎn)取的不夠廣泛便不能全面地反映所有的本征頻率。

觀察圖6(b)中0.017～0.024(Hz)頻率段，添加港池 C后，港池 B的響應(yīng)提升了不少。組合四于0.02 Hz附近的共振峰的周期為50.04 s，在10 m水深下波長(zhǎng)約為500 m，正好是BC向長(zhǎng)度的一半，按一維封閉水槽理論，港池BC區(qū)域應(yīng)有4根波節(jié)線(xiàn)，恰好與本文計(jì)算結(jié)果吻合（圖7），即在這段頻率，區(qū)域BC發(fā)生了明顯的沿BC向的振蕩（圖2e紅線(xiàn)所注），相當(dāng)一部分能量在B港池和C港池之間循環(huán)。

圖6 組合四&組合三響應(yīng)曲線(xiàn)對(duì)比

圖7 組合四比波高分布（T=50.04 s）

2.4 組合五&組合三

此時(shí)港池A、B成正對(duì)著的聯(lián)通港池，應(yīng)有類(lèi)似組合四中沿BC方向的振蕩。觀察港池A響應(yīng)（圖8），在 0.02～0.024 Hz頻率段，組合五港池A的響應(yīng)增強(qiáng)，但與組合四有兩點(diǎn)不同，一是響應(yīng)增強(qiáng)的程度較小，二是共振峰周期變?yōu)?45.46 s，波長(zhǎng)為449 m，并不是很接近500 m（AC向長(zhǎng)度的一半）。本文認(rèn)為，這是因?yàn)榻M合四中區(qū)域BC與其他區(qū)域只有一條公共邊界（圖2e藍(lán)色虛線(xiàn)所注），而組合五中區(qū)域AC與其他區(qū)域有兩條公共邊界（圖2f藍(lán)色虛線(xiàn)所注），對(duì)封閉性的影響更大。

圖8 組合五&組合三響應(yīng)曲線(xiàn)

港池B（圖8）中0.017～0.024 Hz頻率段響應(yīng)很弱，取周期為52.61 s情形進(jìn)行計(jì)算，波浪斜向和正向入射下的比波高分布見(jiàn)圖 9，幾乎沒(méi)有波浪進(jìn)入當(dāng)港池B。嘗試使用開(kāi)邊界條件來(lái)判斷哪條直墻的影響最大，選擇4處作為開(kāi)邊界的組合（圖10），沒(méi)被選中則仍為全反射，各種組合及結(jié)果見(jiàn)圖11。當(dāng)開(kāi)啟港池B的直墻為開(kāi)邊界時(shí)，對(duì)結(jié)果幾乎沒(méi)有影響（圖11a），說(shuō)明波浪始終只有微小的一部分進(jìn)入了B港池；當(dāng)開(kāi)啟AC區(qū)域兩端為開(kāi)邊界時(shí)，結(jié)果有了明顯不同（圖11c），說(shuō)明恰巧是AC趨于兩端的反射波造成特殊的波浪分布，只有少量波浪得以進(jìn)入港池B。港口尺度會(huì)決定入射波從進(jìn)入港口到經(jīng)港內(nèi)邊壁反射離開(kāi)港口的傳播距離，當(dāng)入射波波長(zhǎng)與這一傳播距離達(dá)到特定關(guān)系時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生港口共振[2]。波向?qū)θ蹴憫?yīng)頻率結(jié)果的影響很小，可以把其看作港口共振的相反情形。只要入射波波長(zhǎng)與港口尺度達(dá)到特定關(guān)系，港內(nèi)局部區(qū)域的響應(yīng)就會(huì)非常弱。

圖9 弱響應(yīng)頻率相對(duì)波高分布（T=52.61 s）

圖10 組合五開(kāi)邊界位置示意

圖11 不同開(kāi)邊界段的組合結(jié)果

組合四、五是基于組合三拓展的，從平均放大因子看（0），組合四、五都變得更小。只對(duì)比組合四、五，組合四的港池A響應(yīng)強(qiáng)于港池B，組合五則相反。從內(nèi)因上無(wú)法分辨哪個(gè)更安全，必須結(jié)合當(dāng)?shù)夭r進(jìn)行考慮。

表1 斜向入射下平均響應(yīng)

3 總結(jié)

本文基于緩坡方程有限元模型研究了矩形港池組合的振蕩特性，重點(diǎn)探討了新建矩形港池后響應(yīng)曲線(xiàn)和模態(tài)發(fā)生什么變化、港口會(huì)變得更安全或更危險(xiǎn)等問(wèn)題，簡(jiǎn)要總結(jié)如下：

1）基于組合一的結(jié)果，拓展港池后，響應(yīng)曲線(xiàn)和振蕩模態(tài)都會(huì)發(fā)生變化。拓展港池使得港口特征尺度變大，沿著主尺度振蕩的模態(tài)的本征頻率會(huì)變?。l域上往左偏移），正常模態(tài)可能會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)闃O端模態(tài)，反之亦然。但有少部分極端模態(tài)不會(huì)受到影響，因?yàn)樗鼈冋袷幏较虻母鄢爻叨葲](méi)有發(fā)生改變；

2）當(dāng)?shù)夭ɡ艘貙?duì)評(píng)估港口共振危險(xiǎn)程度有重要作用。由于極端模態(tài)不具備實(shí)際危險(xiǎn)性，因此新增港池后，正常模態(tài)轉(zhuǎn)化為極端模態(tài)，是有利的影響。反之，極端模態(tài)轉(zhuǎn)化為正常模態(tài)，是不利的影響。響應(yīng)曲線(xiàn)均值可以作為港灣振蕩強(qiáng)度的內(nèi)在指標(biāo)，但想要合理地評(píng)估港灣振蕩的實(shí)際危害，必須以加權(quán)形式考慮當(dāng)?shù)厝肷洳ɡ瞬艿念l率分布；

3）基于組合五和組合三的對(duì)比知，與港灣共振類(lèi)似，弱響應(yīng)頻率（局部區(qū)域響應(yīng)很弱）的出現(xiàn)也是因?yàn)槿肷洳úㄩL(zhǎng)與港口尺度在數(shù)值上達(dá)到了特定關(guān)系。通過(guò)調(diào)整布局，使弱響應(yīng)頻率段與當(dāng)?shù)夭ㄒ叵嗥ヅ?，可以很好地改善港?nèi)泊穩(wěn)條件。