(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

核心素養(yǎng)已成為教育界學(xué)者們關(guān)注的熱點，它是“人人都應(yīng)具備的適應(yīng)社會和自身發(fā)展的關(guān)鍵素養(yǎng)”。在此大背景下，數(shù)學(xué)教育亦從“知識為本”階段邁向了“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”階段。張奠宙認(rèn)為“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含三大部分：數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力以及通過數(shù)學(xué)活動塑造人格養(yǎng)成”[1]。核心素養(yǎng)的提出給數(shù)學(xué)教育制定了長遠(yuǎn)目標(biāo)，但如何實現(xiàn)目前尚無定論，如今是各抒己見。然而可以確定的是僅靠傳統(tǒng)的“注入式”教學(xué)是難以達(dá)成的，教師只有更新教育觀念、改革教學(xué)方法才能使發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的美好愿望落到實處。

“探究式教學(xué)讓學(xué)生圍繞一定的情境性材料，在教師的引領(lǐng)下以問題為起點，自主找尋探究路徑、方法，直到問題解決”[2]。它的本質(zhì)內(nèi)涵與以核心素養(yǎng)為“風(fēng)向標(biāo)”的教學(xué)改革相契合。正如趙德成所說“探究式教學(xué)符合青少年成長特征和需求，對促進(jìn)其核心素養(yǎng)培育具有重要的潛在價值”[3]?？梢娞骄渴浇虒W(xué)是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的一種行之有效的教學(xué)方式。反觀目前國內(nèi)中小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)狀，有些教師穿著“落實學(xué)生核心素養(yǎng)”的新鞋，卻走著“滿堂灌虐我千百遍，我待滿堂灌如初戀”的老路；有的教師打著“探究式教學(xué)”的旗號，但由于沒有掌握“探究”的本質(zhì)特征，未能準(zhǔn)確把握好探究式教學(xué)的度，導(dǎo)致“偽探究”“亂探究”現(xiàn)象頻頻發(fā)生。鑒于此，筆者將對如何把握探究式教學(xué)的度進(jìn)行探討。

1 探究內(nèi)容的適切度

目前國內(nèi)學(xué)者關(guān)于探究式教學(xué)的研究成果頗多，有對探究式教學(xué)內(nèi)涵、特征等理論層面的探討，也有對探究式教學(xué)原則、模式、策略等實踐層面的指導(dǎo)，但鮮有關(guān)注探究內(nèi)容選取是否合理的研究，甚至有些教師認(rèn)為只要是知識點都可以探究，也不思考這樣的探究有沒有必要，比如下面的真實教學(xué)片段可見一斑：

問題 能否將代數(shù)式a2-b2分解為兩個整式的乘積形式呢？

(1) 令b=1,先探究a2-1的情形。若a=1,那么a2-1=1-1=0,0=0×0,結(jié)論不明確；若a=2,那么a2-1=4-1=3,3=1×3,結(jié)論仍不明確；若a=3,那么a2-1=9-1=8,而8=2×4=(3-1)×(3+1)，結(jié)論有點明朗；若a=4,那么a2-1=16-1=15,而15=3×5=(4-1)×(4+1)；若a=5,那么a2-1=25-1=24,而24=4×6=(5-1)×(5+1)，結(jié)論更加明朗?？梢圆聹y:a2-1=(a-1)(a+1),并由此進(jìn)一步猜測:a2-b2=(a-b)(a+b)。

(2)探究當(dāng)b=2,3,4,5,6時,a2-b2=(a-b)(a+b)是否成立？

繼續(xù)試驗…(略)，綜合以上各種情況,我們猜測a2-b2=(a-b)(a+b)是成立的。

(3)證明 按照多項式乘法法則 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn取m=a,n=-b，就可以得到 (a+b)(a-b)=a2-b2，而多項式乘法法則是可以逆用的，從而a2-b2=(a-b)(a+b)。

筆者認(rèn)為該內(nèi)容用以上探究式教學(xué)方式有失偏頗，因為按照每個版本的教材編排順序，都是平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2在前，因式分解在后，由等式具有可逆性的本質(zhì)特征就可得到a2-b2=(a-b)(a+b),相信學(xué)生都能夠理解，沒必要大費周張的進(jìn)行探究。這種“花架子”探究耗時耗力，其實質(zhì)是一種“無效”探究。

由此可見,并不是所有知識都適合作為探究式教學(xué)內(nèi)容的，探究內(nèi)容選擇是否合適對探究式教學(xué)的順利開展至關(guān)重要，這就要求教師把握好探究內(nèi)容的適切度。度就是“把握分寸，恰到好處”[4]。探究內(nèi)容的選取可把握以下幾點：

1.1 探究內(nèi)容選擇應(yīng)以教材為本

學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上猜想分組討論后有學(xué)生提出異議：當(dāng)四邊形四邊相等時猜想不成立。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步討論，修正猜想，經(jīng)過多次合作探討，不斷修正后猜測：

最后學(xué)生運用正弦和余弦定理證明了該猜想是成立的。這就是著名的婆羅摩笈多公式。

1.2 探究內(nèi)容選擇應(yīng)體現(xiàn)核心數(shù)學(xué)知識的形成過程

核心數(shù)學(xué)知識包括“基本原理、基本關(guān)系、基本方法和基本問題”[5]。它是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基石。因此，在探究式教學(xué)中可選取核心數(shù)學(xué)概念或核心數(shù)學(xué)命題以及具有重要數(shù)學(xué)思想方法滲透的素材來作為探究內(nèi)容，以幫助學(xué)生更深透地理解數(shù)學(xué)知識。例如三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、向量的概念、圓錐曲線等都是探究式教學(xué)的極好素材。

1.3 探究內(nèi)容選擇應(yīng)把握難易度

探究內(nèi)容的選擇要符合學(xué)生原有的認(rèn)知水平，應(yīng)選擇在教師的指導(dǎo)和同學(xué)合作交流中能夠解決或能基本解決的問題。如果問題過易，學(xué)生僅憑已有的認(rèn)知就能夠解決的則不需要探究，如前所述的因式分解公式a2-b2=(a-b)(a+b)；如果問題過難，超出學(xué)生目前的能力水平，那么這個問題就不適宜選擇。如在高中階段要求學(xué)生從理論上探究證明函數(shù)的單調(diào)性判定定理是不切實際的，因為該定理的證明要依據(jù)微分中值定理，這是大學(xué)“數(shù)學(xué)分析”課程的內(nèi)容。中學(xué)教師只能從導(dǎo)數(shù)的幾何意義的視角來引導(dǎo)學(xué)生直觀地探索導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系。也就是說探究內(nèi)容應(yīng)選擇難易適中且在學(xué)生最近發(fā)展期內(nèi)的知識點比較合適。

2 探究過程的扶放度

核心素養(yǎng)的提出呼吁學(xué)生改變被動的學(xué)習(xí)方式，提倡學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的自主、合作與探究。探究式教學(xué)包含兩個要點：一是探究過程必須有教師的引導(dǎo)，給學(xué)生的探究道路排除障礙、指明方向；二是探究要以學(xué)生為主體，讓其自主思考、探索，而不是被老師“牽著鼻子”走[6]。如何引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí)，又不越俎代庖？這就要求教師把握好“扶”與“放”的度，即“把握分寸，恰到好處”。

探究式教學(xué)有不同的類型，教師在其中扮演的角色、所承擔(dān)的任務(wù)也不盡相同。有學(xué)者將探究式教學(xué)分成三種類型：定向型探究(初級水平)；指導(dǎo)型探究(中級水平)；開放型探究(高級水平)[7](見表1)。

表1 探究式教學(xué)類型與特征

由表1可知水平越低，其開放性就越低；反之，水平越高，其開放性就越高。學(xué)生探究能力的發(fā)展不是一蹴而就的，應(yīng)歷經(jīng)由低級到高級的螺旋式上升過程。無論是哪種類型的探究教師都不能撒手不管、放任自流，對學(xué)生的引導(dǎo)必須有一個由“扶”到“放”的過程。究竟什么時候“扶”，什么時候“放”，這就要求教師對教學(xué)內(nèi)容、目標(biāo)、重難點熟練于心，成竹在胸；對學(xué)生的認(rèn)知水平、學(xué)情了如指掌。一般來說，若探究的問題有一定的深度和難度，則應(yīng)“扶一扶”，給學(xué)生多鋪墊“腳手架”，設(shè)計較小的探究空間，把復(fù)雜的問題細(xì)化成一組有層次、有梯度的問題，以降低探究的難度；若探究問題比較簡單，正好處于學(xué)生的最近發(fā)展期內(nèi)，教師則可以給學(xué)生設(shè)計較大的探究空間，提供較少的“腳手架”或撤去“腳手架”，放手讓其自主探究。例如教學(xué)完全平方公式、矩形的判定定理、橢圓的性質(zhì)等內(nèi)容時就可由學(xué)生自主合作探究，達(dá)到讓他們“掂掂腳”能自己摘到果子的目的。

又如，目前高中數(shù)學(xué)教材納入了部分有關(guān)微積分學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生對這些知識點的學(xué)習(xí)頗感困難，教師在教學(xué)時可采取“扶”著學(xué)生走的方式，進(jìn)行誘導(dǎo)式、漸進(jìn)式探究教學(xué)。比如牛頓—萊布尼茲公式的推導(dǎo)可作如下教學(xué)設(shè)計：

問題1 若把可導(dǎo)函數(shù)G(x)的導(dǎo)函數(shù)記為h(x)，G(x)在區(qū)間[a,b]上的“高差”記為G(b)-G(a)， 當(dāng)我們把區(qū)間n等分后，G(x)在每個小區(qū)間的“高差”可以如何表示？

學(xué)生猜想：G(xi)-G(xi-1)

問題2 上述“小微元”G(xi)-G(xi-1)可以近似地表示成h(x)的有關(guān)形式嗎？

學(xué)生猜想 ：G(xi)-G(xi-1)≈h(xi)Δx，其中Δx表示小區(qū)間的長度。

問題3 此時“高差”G(b)-G(a)可以近似地表示成怎樣形式的和式？

問題4 如何能得到“高差”的精確值？

經(jīng)過討論得出當(dāng)n趨于無窮大時，和式的極限就是“高差”的精確值，即：

以上的探究設(shè)計讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下逐步解決問題，使學(xué)生在探究中領(lǐng)會到微積分學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想方法，即“劃分找近似、求和取極限”，為后續(xù)大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

這樣由淺入深、有梯度的展開問題的研究，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！胺觥迸c“放”決定了探究教學(xué)的成與敗?！胺拧庇诖嬉少|(zhì)疑間，“扶”于能力尚未達(dá)到時[8]。

3 探究式與接受式教學(xué)的融合度

探究式教學(xué)面向全體學(xué)生，注重學(xué)生的情感，提倡其在充滿開放民主的氛圍中主動參與、積極思考、探索研究，體會知識生成的過程。然而任何一種教學(xué)形式都不是完美無缺的，探究式教學(xué)存在步驟多、操作繁及耗時長等不足，導(dǎo)致有些教師“望探興嘆”，仍然癡迷于“滿堂灌”教學(xué)中不能自拔，造成“教者辛勞”“學(xué)者無趣”的被動局面。

事實上學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是在知識不斷積累中發(fā)展的，接受式教學(xué)可有效幫助學(xué)生積累知識，增加知識儲備。探究式教學(xué)要以一定知識為基礎(chǔ)，這些知識主要是通過接受式教學(xué)得到積累，探究的過程可以將接受式教學(xué)獲得的知識加以深化。在實際教學(xué)中，二者之間并非水火不容，而是相互補充完善、交融滲透的。教師在教學(xué)中若能精心高效地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計、合理組織實施，把兩種教學(xué)方式結(jié)合使用，形成優(yōu)勢互補，定可提高教和學(xué)的有效性，發(fā)揮出一加一大于二的效度。

如何在課堂教學(xué)中將探究式教學(xué)與接受式教學(xué)相融合，這也需要掌握好度，即“把握分寸，恰到好處”。我們認(rèn)為在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中實施“微型探究教學(xué)”能有效地使兩種教學(xué)方式完美結(jié)合。

微型探究其本質(zhì)內(nèi)涵與探究式教學(xué)一致，它是把探究式教學(xué)與接受式教學(xué)相整合的一種新型教學(xué)方式?！拔⑿吞骄坑址Q局部探究，它是課堂教學(xué)中教師針對某一個知識點引導(dǎo)學(xué)生在較短時間內(nèi)開展的探究活動，時長大約不超過十五分鐘，通常不需要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、猜想與假設(shè)、分析與推理、獲得結(jié)論的完整探究環(huán)節(jié)，只需完成其中的一個或幾個步驟，其它則以教師講解來輔助”[9]。微型探究具有“短”(耗時短)、“小”(切口小，圍繞某個特定的小問題探究)、“實”(探究可落到實處)、“活”(教學(xué)設(shè)計靈活)等特點[10]。這樣的探究易操作、活動好開展、教師可調(diào)控。它將探究式與接受式教學(xué)有機結(jié)合，取長補短，致使探究式活動得以持續(xù)、深入地開展。

在實際教學(xué)時，教師可把探究活動當(dāng)作日常教學(xué)中的一個環(huán)節(jié)，將探究內(nèi)容經(jīng)過細(xì)化，篩選成微型課題，使其穿插在課堂教學(xué)之中。這樣不必花費較長時間單獨實施，提高了探究活動的可操作性。值得注意的是在實施微型探究教學(xué)時亦必須把握好探究內(nèi)容的適切度及探究過程的扶放度。

案例 橢圓的離心率教學(xué)片段[11]

問題1 我們剛才研究了橢圓的性質(zhì)，那么橢圓形狀有什么特征呢?

生：橢圓的圓扁程度不同。

問題2 橢圓的圓扁程度可以引入什么量來刻畫呢？為什么可以用這個量？

問題3 還可用其它量來刻畫嗎？

師：借助幾何畫板演示一下，請仔細(xì)觀察。

該案例對橢圓的離心率這一核心概念采用了微型探究方式，耗時大約十分鐘。上述逐步遞進(jìn)的探究步驟，使學(xué)生對概念的形成過程有了深刻的體會，加深了他們對概念的理解,有助于學(xué)生探究能力培養(yǎng)及核心素養(yǎng)的生成。

4 結(jié)語

綜上所述，探究式教學(xué)成敗的關(guān)鍵取決于度的把握是否恰當(dāng)?！岸仁鞘挛锇l(fā)展的節(jié)點，它能使處于對立關(guān)系的個體保持相對平衡，把握適當(dāng)?shù)亩仁翘岣哒n堂教學(xué)質(zhì)量的有效方式”[12]。教師把握好度，就不會偏激、不走極端，就能在教育教學(xué)中不斷調(diào)控、修正自身的行為，就可使自己在教學(xué)改革的大潮中應(yīng)對自如，游刃有余。