(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 ，江西 上饒 334001)

本文研究以下遷移方程的初值問(wèn)題:

(1)

式中，H為正有界線(xiàn)性算子，即平行板的左右面上的周期邊界算子，即

(2)

近年來(lái)，對(duì)方程(1)的研究工作較多[1-5]。板幾何中，在L1空間，具均勻介質(zhì)、各向異性、非連續(xù)能量的遷移方程相應(yīng)的n階余項(xiàng)Rn(t)(n≥1)的弱緊性怎樣？這是一未解難題，但它的弱緊性能精確的表述遷移方程解的漸近行為。其中K.Latrach在文獻(xiàn)[1]中，在L2空間，對(duì)具連續(xù)能量、各向同性的反射邊界條件的遷移方程討論了R2(t)的緊性。王勝華對(duì)具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群中遷移半群余項(xiàng)的弱緊性問(wèn)題進(jìn)行了討論[2-3],文獻(xiàn)[4]證明了這類(lèi)細(xì)菌種群生成的R9(t)在L1空間上是弱緊的。上述結(jié)果在表示方程(1) 解的漸近行為時(shí)都要求初值條件滿(mǎn)足：φ0∈D(A2)，且遷移半群本質(zhì)譜型的一致性和本質(zhì)譜的穩(wěn)定性如何？這一難題沒(méi)有解答。 受文獻(xiàn) [5] 的啟發(fā),本文應(yīng)用比較算子方法，通過(guò)構(gòu)造算子及相關(guān)半群方法,將文獻(xiàn)[1]的條件和結(jié)果都進(jìn)行了推廣,即證明了該遷移方程生成的正C0半群的n階余項(xiàng)Rn(t)(n≥1)的弱緊性，從而獲得該遷移半群本質(zhì)譜型的一致性，本質(zhì)譜的穩(wěn)定性及遷移方程解的漸近穩(wěn)定性等結(jié)果。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

令X=L1(D)(D=[-a,a]×E×[-1,1])表相域D上有界可測(cè)函數(shù)全體按范數(shù)

構(gòu)成的Banach空間，定義D的飛入和飛出的邊界分別為：

={-a}×E×[-1,0]∪{a}×E×[0,1]

引入邊界空間和范數(shù)分別為：

其中，～表示這些空間的自然恒等，周期邊界條件(2)可表示成：

(3)

在X上定義算子

(4)

(5)

由式(1)-(5)，則遷移算子AH可定義為：AH=B+K,D(AH)=D(B)

(6)

對(duì)φ∈X，考慮方程：(λ-B)φ=ψ

(7)

經(jīng)過(guò)復(fù)雜計(jì)算可得，?ψ∈X，B產(chǎn)生一個(gè)正C0半群

(8)

(9)

In(t)φ=φ(sgn(μ)2na+x-μt,v,μ)in(t)

(10)

2 主要結(jié)果

先引入本文主要結(jié)果證明所依據(jù)的主要引理。

引理1 令(Ω,Σ,v)是一正可測(cè)空間，Y=Lp(Ω,Σ,v)(1≤p<+)，N和M是L(Y)中兩算子，滿(mǎn)足0≤N≤M，則

1)當(dāng)p=1時(shí)，若M是一弱緊算子，則N亦然。

2)當(dāng)1

定理2 若算子K為正則算子，則半群U(t)和V(t)具有一致的本質(zhì)譜型和相同的本質(zhì)譜。

證明由文獻(xiàn)[7]，定理2.6知U1(t)與R1(t)具有相同的弱緊性。故下面僅需證明

下證F1,n,m緊，定義

In,(t):L1[R×E×(-1,1)]→L1[R×E×(-1,1)]φ→e-σ(v，μ)tφ(sgn(μ)2na+x-μt,v,μ)

其中E:X→L1[R×E×(-1,1)]，R:L1[R×E×(-1,1)]→X

利用Fubini定理知：

作變換，令y=y(s)=x+s(μ-μ′)-μt+sgn(μ)2na+sgn(μ′)2ma

其中

易知：Gt=Ot·E是一正算子， 其中