陳炳泉

(福建省仙游縣華僑中學(xué) 351200)

隨著課程改革的理性推進(jìn)，高考數(shù)學(xué)試卷逐漸形成了穩(wěn)定、成熟的命題風(fēng)格.試題既圍繞主干內(nèi)容加強(qiáng)對基本概念、基本思想方法的考查，又立足于培育學(xué)生支撐終身發(fā)展和適應(yīng)時代要求的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，突出考查數(shù)學(xué)理性思維和創(chuàng)新意識. 試題以新穎的設(shè)計(jì)方式，增強(qiáng)了試題的靈活性和開放性，讓學(xué)生從不同角度認(rèn)識問題，鼓勵學(xué)生主動思考、發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生的想象力和思想的張力，其目的是把學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)答案中解放出來，降低題海戰(zhàn)術(shù)、“機(jī)械刷題”的收益.以此引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)遵循教育規(guī)律、回歸課堂，用好課本——國家教科書，避免超綱學(xué)、超量學(xué)，扎實(shí)推進(jìn)素質(zhì)教育.

源于教材，高于教材，是高考試題的真實(shí)寫照．高考依綱扣本、萬變不離其宗，其中的“本”指的就是數(shù)學(xué)課本，“宗”就是數(shù)學(xué)課本中數(shù)學(xué)核心概念以及概念形成與發(fā)展過程中反映出來的數(shù)學(xué)思想方法．近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中都有源自數(shù)學(xué)教科書的試題，是教科書上例、習(xí)題的重新組合與變式呈現(xiàn)．教科書中的題目大多都蘊(yùn)涵著豐富、深刻的背景，以此為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行變式研究是提高高考成績的一種有效途徑．

本文介紹筆者在高考復(fù)習(xí)時，對幾道教科書題目進(jìn)行變式研究的教學(xué)實(shí)踐與思考，供同仁參考.

1 通過逆向思考構(gòu)造新的命題

例1(高中數(shù)學(xué)人教A版教科書，選修2-1，第69頁，例4)斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

教科書對本題的解法進(jìn)行了抽絲剝繭般地分析，指出“直接由拋物線的方程和直線l的方程，求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求出|AB|”具有一般性，但是需要復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.緊接著教科書介紹了另外一種方法——數(shù)形結(jié)合的方法：

如圖1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由拋物線的定義可知，

圖1

|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離|AA′|.

設(shè)|AA′|=dA，

而dA=x1+1，于是|AF|=dA=x1+1.

同理，|BF|=|BB′|=dB=x2+1，

于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.

由此可見，只要求出點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)之和x1+x2，就可以求出|AB|=8．

在解后反思中，除了提煉具體方法與數(shù)學(xué)思想，還應(yīng)該從創(chuàng)新的視角啟發(fā)學(xué)生變式思考：你能根據(jù)題目的題設(shè)與結(jié)論構(gòu)造不同的命題嗎？

在本題的系統(tǒng)中，已知條件有：拋物線y2=4x及其焦點(diǎn)F，斜率為1的直線l，直線l經(jīng)過點(diǎn)F．結(jié)論是|AB|=8.

學(xué)生們獨(dú)立思考與相互交流后，分別得到如下命題：

(1)直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8.求直線l的斜率．(答案：±1)

(2)斜率為1的直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8.求證直線l經(jīng)過點(diǎn)(1，0)．

(3)斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F，與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8. 求p的值. (答案：p=±2)

高考試題鏈接

(2018年全國高考Ⅱ卷，文科第20題，理科第19題) 設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8．

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)(略)

數(shù)學(xué)命題有四種形式，即原命題、逆命題、否命題和逆否命題．根據(jù)命題的等效原理可知，原命題和其逆否命題同真同假，而否命題與逆命題是相互等效的，但原命題和其逆命題之間的真假無必然的聯(lián)系，因此可以通過逆向變式思考構(gòu)造逆命題并論證其真?zhèn)?，由此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維．

一個命題的題設(shè)和結(jié)論都可能包含若干要素，只要部分或整體地交換這些要素，便可構(gòu)造出原命題的變式命題，我們把它稱為原來命題的一個“逆向”命題．

學(xué)生常習(xí)慣于正向思考，而不善于反向考察．通過對原命題的變式思考來構(gòu)造新的逆向命題，既可檢驗(yàn)學(xué)生對已有的概念和命題是否真正的理解和掌握，又能促使他們發(fā)現(xiàn)一些有意義的新的數(shù)學(xué)命題，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力．

2 通過類比與歸納構(gòu)造新的命題

例2(高中數(shù)學(xué)人教A版教科書，選修2-1，第73頁習(xí)題A組，第6題)如圖2，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

圖2

本題的解答并不復(fù)雜，且有多種解法，但要啟發(fā)學(xué)生對不同的解法進(jìn)行思考與辨析，感悟它們共同的本質(zhì)：

即切入點(diǎn)可以不同，但最后都是借助代數(shù)方法，通過計(jì)算A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足x1x2+y1y2=0，得到幾何結(jié)論：OA⊥OB.讓學(xué)生體會解析幾何的學(xué)科特色——代數(shù)運(yùn)算表其外，幾何性質(zhì)蘊(yùn)其中.

拋物線的頂點(diǎn)對弦AB的張角竟然是直角！這是偶然的嗎？對此我們還有什么想法嗎？

生1：拋物線的頂點(diǎn)只對這一條弦的張角是直角嗎?也就是說還有其它的弦也具有這樣的性質(zhì)嗎？

生2：由拋物線的對稱性可知，直線AB關(guān)于x軸的對稱直線y=-x+2被該拋物線所截得的弦A1B1也具有這樣的性質(zhì)——OA1⊥OB1.

生3：這樣的弦有多少條? 它們有什么共性嗎?

生4：凡是過定點(diǎn)(2，0)的弦都具有這樣的性質(zhì).

即：過定點(diǎn)(2，0)的直線l與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，O是拋物線的頂點(diǎn)，則OA⊥OB．(證略)

生5：這個命題的逆命題也成立，所以可統(tǒng)一概括為：直線l與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A，B；O是拋物線的頂點(diǎn)，則OA⊥OB的充要條件是直線l過定點(diǎn)(2，0)．

師：在科學(xué)研究中“有目的地提出問題往往比解決問題更重要”．我們能從這個問題出發(fā)，再發(fā)現(xiàn)一些新的問題嗎？

生： ……

師：或者說題設(shè)中的某些數(shù)字可以改變嗎？能將上述特殊情形下的結(jié)論推廣到更一般情形嗎？

生6：(命題3)直線l與拋物線y2=2px相交于點(diǎn)A，B；O是拋物線的頂點(diǎn)，則OA⊥OB的充要條件是直線l恒過定點(diǎn)(2p，0)．

師：由特殊到一般是認(rèn)識事物(數(shù)學(xué))規(guī)律的重要思維方法，只有將問題中的具體數(shù)字變?yōu)樽帜负?，才能更深刻地揭示拋物線的這一性質(zhì)．

當(dāng)然，猜想不等于證明，在數(shù)學(xué)的探索性活動中，不能把“結(jié)論”僅停止于猜想階段，如有可能要給出它的邏輯證明或特例否定．

高考試題鏈接

(2017年全國高考Ⅲ卷理科第20題)已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)(2，0)的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．

(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；

(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，-2)，求直線l與圓M的方程.

類比與歸納是構(gòu)造新的問題命題的重要思維方法．所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也應(yīng)具有這種屬性的一種推理方法．所謂歸納就是從“考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合；或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮包含該較小集合的更大集合．” (波利亞語)拉普拉斯指出“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比．”“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進(jìn)．”(康德)無論是在初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)，還是其他領(lǐng)域，不通過類比與歸納這樣的思維活動而做出發(fā)現(xiàn)，是不可想象的．

3 通過開放性設(shè)計(jì)構(gòu)造新的命題

例3(高中數(shù)學(xué)人教A版教科書，選修2-1，第81頁復(fù)習(xí)參考題B組，第7題)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑畫圓，借助信息技術(shù)工具，觀察它與拋物線準(zhǔn)線l的關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？

圖3

本題結(jié)論：以AB為直徑圓與該拋物線的準(zhǔn)線l相切(如圖3).

我們知道，圓的直徑是圓的一條特殊的弦，如果將本題中的焦點(diǎn)弦AB看成是圓的一般弦，結(jié)論如何呢？即經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓還與該拋物線的準(zhǔn)線相切嗎？何時相切呢？

顯然，以焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓一定與該拋物線的準(zhǔn)線l相切，那么是否就這一種情況呢？對這個問題的深入探究是非常必要的.

高考試題鏈接

(2018年全國高考Ⅱ卷，文科第20題，理科第19題) 設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8．

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

解(Ⅰ)l的方程為y=x-1．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，

所以AB的垂直平分線方程為y= -x+5．

如圖4，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為O1(a，b)，則

即所求圓的圓心為O1(3，2) 或O1(11，-6)，

對應(yīng)的半徑為r=a+1=4或r=a+1=12.

圖4

因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

從構(gòu)成數(shù)學(xué)命題系統(tǒng)的四要素(條件、依據(jù)、方法、結(jié)論)出發(fā)，數(shù)學(xué)開放題可定性地分成四類：尋求條件——條件開放題；尋求解題依據(jù)或方法——策略開放題；尋求結(jié)論——結(jié)論開放題；如果數(shù)學(xué)題的條件、解題策略或結(jié)論都要求解題者在給定的情境中自行設(shè)定與尋找，則稱為綜合開放題．通過把一些教科書上的典型問題進(jìn)行開放性再設(shè)計(jì)，是構(gòu)造新的數(shù)學(xué)命題的一種重要方法．

教科書是幾代數(shù)學(xué)人集體智慧的結(jié)晶，具有很強(qiáng)的學(xué)術(shù)性、指導(dǎo)性、規(guī)范性.在平時教學(xué)中要用好教科書，到了高三復(fù)習(xí)階段，也要回歸教科書，教師在深入研究的基礎(chǔ)上充分感悟教科書的編寫意圖，積極開發(fā)教科書的潛在功能，創(chuàng)設(shè)問題鏈情境，通過改變問題的某一“屬性”，探索問題的引申、推廣、拓展、變通，扎實(shí)做好高考復(fù)習(xí)中的變式研究，努力從課本走向高考．這不僅能使學(xué)生跳出“題?！?，又能鞏固基礎(chǔ)知識，掌握數(shù)學(xué)思想方法，深化數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵，更為重要的是能激發(fā)學(xué)生的問題意識，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．