熊 莉

（湖北交通職業(yè)技術學院，湖北 武漢 430079）

筆者在課余時間讀到了一些關于數學家華羅庚先生的生平及事跡的書籍，華羅庚先生是近代中國首位將數學理論研究應用于生產實踐，并推動經濟數學發(fā)展的數學家，他在晚年大力推廣統(tǒng)籌法和優(yōu)選法。

在平時生產中，安排生產的方式不同，效率會有很大區(qū)別，下面舉一個例子來說明。

設某工廠安排三個工人生產兩種不同的零件，在單位時間內工人甲可生產80個零件A或40個零件B，工人乙可生產30 個零件A 或90 個零件B，工人丙可生產15個零件A或60個零件B，每種零件各一個配成一套。那么，工廠應該怎么安排生產？

為了便于理解，我們將以上條件中的關鍵數據列表如下：

一、首先，假設工人各自為陣，每人自己生產可以配套的A,B兩種零件

假設單位時間為1，工人甲用于生產零件A 的時間為x，用于生產零件B 的時間為1-x，則：80x=40(1-x)，解得x=。此時，生產零件A，B 各件，構成27套。

同理，單位時間為1，工人乙用于生產零件A的時間為y，用于生產零件B 的時間為1-y，則：30y=90(1-y)，解得y=。此時，生產零件A,B 各件，構成23套。

對于工人丙，用于生產零件A的時間為z，用于生產零件B 的時間為1-z，則：15z=60(1-z)，解得z=。此時，生產零件A，B 各件，構成12套。

數據列表如下：

所以，生產零件的總套數為27+23+12=62套。

這種方式顯然并沒有發(fā)揮每個工人的特長，甲、乙、丙三人生產零件A，B 的快慢是不一樣的。在單位時間內，甲生產零件A 數量最多，乙生產零件B最多，如果安排生產零件數量最多的工人只生產該零件又有如下方式。

二、誰生產哪種零件多就安排誰生產哪種零件

工人甲在單位時間內生產零件A數量最大，安排工人甲生產零件A；工人乙單位時間內生產零件B的數量最大，安排工人乙生產零件B；為了零件A,B 配套，工人丙就需要生產兩種零件。設丙用于生產零件A的時間為x，則他生產零件B的時間為1-x，有：

解得x=，丙生產零件A 的數量為件，生產零件B的數量為件?？偟牧慵盗斜砣缦拢?/p>

所以，生產零件的總套數為80+14=90+4=94套。

可見，工人各自生產成套零件時，總的生產套數為62 套；考慮他們單位時間內生產哪種零件多時，生產方案做了調整后，總的生產套數為94套，生產套數多了一半，使得效率提高了50%。那么，是不是94套就是生產的最大值呢？

我們再來考慮，工人甲生產A,B 兩種零件的數值分別為80,40，在單位時間內生產兩種零件的效率比為80∶40=2∶1；同理，工人乙的效率比為30∶90=1∶3；工人丙的效率比為15∶60=1∶4。這說明甲生產零件A的效率最大，丙生產零件B的效率最大。

三、誰做哪種零件的效率最大就安排誰做該零件

我們調整一下生產方案，讓甲只生產零件A，丙只生產零件B，為了配套，乙既做零件A 也做零件B。設乙做零件A的時間為x，則他做零件B的時間為xx，零件A,B要配成套，有：

所以，生產零件的總套數為80+18=38+60=98套，比上一種方案又多了4套。

可見，在生產過程中，安排生產的方案不同得到的結果可能有很大差別。在上世紀的六七十年代，我們也似乎能夠體會到華羅庚先生在當時的情況下極力推廣統(tǒng)籌法和優(yōu)選法的作用，為國民經濟建設服務而作出的卓越貢獻了。

通過生產安排以提高效率的問題有時候也可以借助計算機來實現。例如在線性規(guī)劃中的下列問題：

某食品工廠用大米作為主要原料加工A,B兩種食品，一袋大米經過12小時加工可獲得3公斤A，每公斤A 可獲利24 元；也可以經過8 小時加工獲得4公斤B，每公斤B可獲利16元，現在每天的大米原料供應量是50 袋，勞動工時的控制量是480 小時，而且由于市場需求的控制，最多加工100公斤A。

工廠應該怎么安排生產才能使得銷售后獲得的利潤最大呢？最大值為多少？

我們分析該線性規(guī)劃問題的約束條件、決策變量和目標函數，設安排x1袋大米生產A，x2袋大米生產B，得到該問題的數學表述：

因為是兩個變量的線性規(guī)劃問題，用圖解法可得：x1=20,x2=30。

但是，如果要分析以下問題：（1）原料供應有控制，如果現在35 元可以購買一袋大米，買嗎？（2）加工工時有控制，如果工人可以臨時雇傭，付出工資最多每小時幾元？（3）如果產品A 的獲利增加到30元/公斤，原來的生產計劃是否需要調整？運用圖解法中都不能解決。現在是一個信息時代，計算機軟件的應用很廣泛，LINGO是一款解決規(guī)劃問題的數學軟件，界面簡潔、直觀、易懂，我們可以借助它來解決問題。

如圖1，在LINGO界面輸入：

從圖2 運行結果可知x1=20,x2=30，最大利潤值為：（元）。與圖解法結果一致。

圖1

圖2

此外，由上面結果中的影子價格可知，原料大米的剩余量為0，每增加一袋大米，利潤增加48元，由于一袋大米的成本35元，小于它帶來的利潤增加量48元。所以可以買。工時的剩余量為0，每增加一個單位的工時，利潤增加2 元，因此如果增加工時，臨時聘用工人的工資應該不多于2元/小時；對A的加工能力剩余40，而且加工能力的增加不會影響利潤，因此A 獲利增加到30 元/千克時不會改變生產計劃。

如果上例中變量增加的話就不能用圖解法來做了，但是LINGO 求解仍然可行，并且圖解法不能分析在經濟中重要的影子價格之類的信息以此為經濟決策做參考。而用LINGO求解，可以擴充到非線性的規(guī)劃問題，可謂一舉多得。