劉永平，廖福林

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050)

0 引言

非圓齒輪是將圓齒輪異形化、不規(guī)則化，齒輪的重要特征節(jié)曲線(xiàn)由圓形演化為異形[1]。非圓齒輪節(jié)曲線(xiàn)實(shí)際上是一對(duì)相互嚙合的齒輪在其嚙合過(guò)程中實(shí)現(xiàn)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)的共軛曲線(xiàn)，其誤差是影響齒輪副傳動(dòng)平穩(wěn)性和準(zhǔn)確性的重要指標(biāo)之一[2]。

目前，國(guó)內(nèi)外有很多專(zhuān)家學(xué)者針對(duì)節(jié)曲線(xiàn)及其誤差進(jìn)行了深入研究并取得了令人矚目的成就。曹寧慧提出基于齒頂離散點(diǎn)反求節(jié)曲線(xiàn)的數(shù)值計(jì)算方法，并設(shè)計(jì)非圓齒輪副[3]。李建剛等在Hermite三次參數(shù)曲線(xiàn)的基礎(chǔ)上提出一種只需要齒輪節(jié)曲線(xiàn)上的離散點(diǎn)，就可以用具有統(tǒng)一表達(dá)式的三次樣條曲線(xiàn)代替表達(dá)式各異的非圓齒輪節(jié)曲線(xiàn)[4]。趙加偉等基于雙面嚙合檢測(cè)原理，以標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪為檢測(cè)齒輪，對(duì)非圓齒輪的節(jié)曲線(xiàn)徑向綜合誤差進(jìn)行了定量研究，并開(kāi)發(fā)了雙面嚙合檢測(cè)裝置與自動(dòng)檢測(cè)系統(tǒng)[5]。曹鳳瓊利用B-spline

曲線(xiàn)重構(gòu)非圓齒輪節(jié)曲線(xiàn)，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了利用開(kāi)放分布均勻B-spline曲線(xiàn)重構(gòu)節(jié)曲線(xiàn)的可行性[6]。為了得到精確的節(jié)曲線(xiàn)誤差，使得齒輪傳動(dòng)更加平穩(wěn)、準(zhǔn)確、均勻，本文利用分段三次樣條擬合函數(shù)來(lái)擬合節(jié)曲線(xiàn)，并計(jì)算其誤差，為節(jié)曲線(xiàn)誤差的研究找到了一個(gè)新方法。

1 誤差模型的建立

圖1為根據(jù)雙面嚙合檢測(cè)原理建立的兩齒輪運(yùn)動(dòng)關(guān)系幾何模型[7]。標(biāo)準(zhǔn)圓齒輪的半徑為r1，O-xy為中心距變化曲線(xiàn)上的固定坐標(biāo)系，其原點(diǎn)與非圓齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)中心重合，O1-x1y1為隨動(dòng)坐標(biāo)系，其原點(diǎn)與標(biāo)準(zhǔn)圓齒輪重合，其y軸方向與中心距曲線(xiàn)的法向量m方向一致，x軸方向與中心距曲線(xiàn)的法向量n方向一致。固定坐標(biāo)系O2-x2y2的原點(diǎn)與圓柱齒輪運(yùn)動(dòng)中心重合，其x，y軸的方向與在初始嚙合位置時(shí)x，y軸的方向一致。

圖1 齒輪運(yùn)動(dòng)關(guān)系幾何模型

(1)

微分可得：

(2)

其中，

(3)

則向量m的模為：

(4)

則與向量m同向的單位向量m0為：

(5)

則單位法向量n0與單位切向量m0關(guān)系為：

n0·m0=0

(6)

向量OO1可以表示為：

OO1=r1n0

(7)

OP=OO1+O1P

(8)

聯(lián)立以上各式可得非圓齒輪節(jié)曲線(xiàn)參數(shù)方程為：

(9)

假設(shè)被測(cè)非圓齒輪的理論節(jié)曲線(xiàn)方程為：r=r(θ2)，則在轉(zhuǎn)角下極徑的理論值為：r理=r(θ2)，則節(jié)曲線(xiàn)誤差為：

Δr=r實(shí)-r理=r2(θ2)-r(θ2)

(10)

2 樣條函數(shù)與樣條擬合

2.1 樣條函數(shù)

若函數(shù)s(x)∈C2[a,b]并且在每個(gè)區(qū)間[xi,xi+1]上是三次多項(xiàng)式，其中a=x0

s(xi)=yi(i=0,1,…,n)

(11)

成立，則稱(chēng)s(x)三次樣條插值函數(shù)[8]。

2.2 分段三次樣條擬合

設(shè)所要求的非圓齒輪節(jié)曲線(xiàn)方程為r=r(θ)，它經(jīng)過(guò)n+1個(gè)離散坐標(biāo)點(diǎn)：P0(x0,y0)、P1(x1,y1)、…、Pn(xn,yn)，跟齒輪固聯(lián)的坐標(biāo)原點(diǎn)與齒輪回轉(zhuǎn)中心重合。

為了利用極角作為變量，通過(guò)反正切函數(shù)求極角并將離散點(diǎn)Pi直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)(ri,θi)，為了保證節(jié)曲線(xiàn)首尾光滑連接，形成封閉節(jié)曲線(xiàn)，在最后一個(gè)離散點(diǎn)后添加一個(gè)點(diǎn)Pn+1，使其與P0點(diǎn)重合，其極角θn+1=θ0+2π，用P1-Pn為端點(diǎn)處的切向量，因此，在[θi,θi+1]區(qū)間上的三次樣條節(jié)曲線(xiàn)方程為：

r(θ)=Fi0(θ)Pi+Fi1(θ)Pi+Gi0(θ)Ti+Gi1Ti+1

(12)

上式中，θ∈(θi,θi+1)，Pi為Pi處的切向量，Ti(i=1,2,…,n)可通過(guò)下式求出：

λiTi-1+2Ti+ξiTi+1=Bi

(13)

指定：T0=Tn+1=P1-Pn

上式中：

Fi0(θ)、Fi1(θ)、Gi0(θ)、Gi1(θ)是調(diào)和函數(shù)，分別為:

(14)

3 非圓齒輪數(shù)據(jù)采集與3D數(shù)字化檢測(cè)

3.1 數(shù)據(jù)采集

數(shù)據(jù)采集就是獲取非圓齒輪的三維點(diǎn)云，獲取齒輪三維點(diǎn)云的過(guò)程，是對(duì)其外形數(shù)字化的過(guò)程。

目前，獲取齒輪三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)主要有兩種方法：立體視覺(jué)法和激光掃描測(cè)量法。本文根據(jù)選取的研究對(duì)象的幾何特性采用非接觸式主動(dòng)激光測(cè)距系統(tǒng)獲取齒輪的三維點(diǎn)云。選用Creaform Metrascan掃描儀對(duì)非圓齒輪進(jìn)行數(shù)字化掃描，其掃描精度為0.064mm。圖2為掃描過(guò)程，圖3為掃描過(guò)程的計(jì)算機(jī)界面。

圖2 齒輪掃描過(guò)程

圖3 掃描過(guò)程的計(jì)算機(jī)界面

3.2 3D數(shù)字化檢測(cè)

3D數(shù)字化檢測(cè)的過(guò)程是將掃描得到的點(diǎn)云預(yù)處理后導(dǎo)入到逆向工程軟件，在軟件中將點(diǎn)云和非圓齒輪理論模型對(duì)齊并比較分析，然后通過(guò)注釋命令獲取齒廓與節(jié)曲線(xiàn)各交點(diǎn)的理論坐標(biāo)和實(shí)際坐標(biāo)，完成數(shù)據(jù)采集。為研究從不同截面進(jìn)行2D比較對(duì)誤差的影響，選取從不同兩個(gè)截面注釋?zhuān)@取點(diǎn)坐標(biāo)。截面A：距起始端面5mm，截面B：距起始端面15mm，記齒輪上端面為注釋的起始端面(圖4所示端面即為上端面)。圖4為與處理后的點(diǎn)云，表1為在截面A注釋得到的數(shù)據(jù)。

圖4 預(yù)處理后的點(diǎn)云

表1 在截面A注釋得到的數(shù)據(jù)

4 實(shí)例計(jì)算

(a) 截面A數(shù)據(jù)擬合而成的節(jié)曲線(xiàn)

(b) 截面B數(shù)據(jù)擬合而成的節(jié)曲線(xiàn) 圖5 節(jié)曲線(xiàn)

圖6 節(jié)曲線(xiàn)誤差

由圖5的整體圖與局部放大圖可知，理論節(jié)曲線(xiàn)與實(shí)際節(jié)曲線(xiàn)緊密貼合，差別小，具有較高的一致性。由圖6可知，從兩個(gè)截面計(jì)算出的節(jié)曲線(xiàn)誤差較小，誤差主要分布在0.025mm～0.20mm之間，最大誤差不超過(guò)0.4mm，誤差曲線(xiàn)大致相似。

5 結(jié)論

(1)通過(guò)本文算法得到的理論節(jié)曲線(xiàn)與實(shí)際節(jié)曲線(xiàn)緊密重合，差別小，具有很高的一致性，說(shuō)明該算法具有可行性。

(2)從兩個(gè)不同截面得到的數(shù)據(jù)計(jì)算出的節(jié)曲線(xiàn)誤差曲線(xiàn)基本一致，說(shuō)明該算法具有可重復(fù)性且節(jié)曲線(xiàn)誤差與從不同的截面進(jìn)行比較無(wú)關(guān)。