鄭雪芳，林 意

(1．江蘇信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，江蘇 無錫 214153；2．江南大學(xué) 數(shù)字媒體學(xué)院，江蘇 無錫 214122)

0 引言

隨著機(jī)器人技術(shù)、人工智能、傳感器技術(shù)、電子信息技術(shù)的發(fā)展，工業(yè)機(jī)器人在智能裝備制造領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用。傳統(tǒng)的工業(yè)機(jī)器人已無法滿足更為精細(xì)、更為復(fù)雜的任務(wù)需求。作為一種擬人機(jī)械臂，冗余機(jī)器人具有較好的自運(yùn)動(dòng)特性，便于處理力矩優(yōu)化、避關(guān)節(jié)極限等問題，從而能更好地適應(yīng)復(fù)雜工況[1-3]。冗余機(jī)器人應(yīng)用的難點(diǎn)之一為如何通過軌跡規(guī)劃選擇一組合適的關(guān)節(jié)角完成特定的操作任務(wù)，并計(jì)及位置跟蹤精度、關(guān)節(jié)角位移與角速度等指標(biāo)[4]。

據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)報(bào)道，冗余機(jī)器人軌跡規(guī)劃的方法主要有數(shù)值迭代法[5]、幾何法[6]及代數(shù)解法[7]。其中，數(shù)值迭代法將機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題轉(zhuǎn)換成函數(shù)優(yōu)化問題，采用人工智能算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，該方法操作簡單，但運(yùn)算量大、速度慢。例如，Luo等[8]利用免疫遺傳算法的尋優(yōu)優(yōu)勢較好地獲得了冗余機(jī)器人在汽車引擎蓋焊接時(shí)的預(yù)期路徑。其次，幾何法通過推導(dǎo)末端執(zhí)行器位姿與各關(guān)節(jié)角的關(guān)系，獲得特定條件下的解析解，具有計(jì)算速度快，解算精度高的優(yōu)點(diǎn)，但數(shù)學(xué)建模過程繁鎖。針對(duì)一類具有廣泛適用性的七自由度冗余機(jī)器人，陳鵬等[9]提出了基于逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的幾何法，在仿真環(huán)境中實(shí)現(xiàn)了不錯(cuò)的軌跡規(guī)劃效果。最后，代數(shù)解法采用雅克比矩陣及其變形求解關(guān)節(jié)速度與末端執(zhí)行器線速度及角速度之間的微分關(guān)系，常見策略的有閉環(huán)偽逆法(Closed-loop pseudoinverse，CLP)、梯度下降法等，但求解過程中的累計(jì)誤差會(huì)影響軌跡跟蹤的精度?？紤]到代數(shù)解法通用性好、便于實(shí)時(shí)控制，本文擬采用該方法對(duì)冗余機(jī)器人實(shí)行軌跡規(guī)劃。

針對(duì)上述問題，本文提出采用改進(jìn)的螢火蟲算法(Improved Glowworm Swarm Algorithm，IGSO)來改進(jìn)CLP法的性能，進(jìn)而解決冗余機(jī)器人的軌跡規(guī)劃問題。另外，筆者采用廣義反向?qū)W習(xí)策略(Generalized Orientation Learning Strategies，GOBL)來提高原算法的收斂速度與魯棒性，并使算法能夠跳出局部最優(yōu)的束縛。最后，以模塊化肩腕關(guān)節(jié)偏置的SRS結(jié)構(gòu)的冗余機(jī)器人為對(duì)象，在Matlab仿真環(huán)境下對(duì)基于IGSO算法的CLP法在軌跡規(guī)劃上的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 問題描述

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)

假設(shè)冗余機(jī)器人有n個(gè)自由度，其關(guān)節(jié)變量為q=[q1,q2,…,qn]T；操作空間變量的數(shù)目為m，且m

x=f(q)

(1)

對(duì)式(1)求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可得微分運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

(2)

利用式(2)可以反求出關(guān)節(jié)速度[11]，即：

(3)

其中，J+為雅克比矩陣的廣義逆。其解可使關(guān)節(jié)速度的模取得局部最小值。

進(jìn)而，對(duì)于n自由度冗余機(jī)器人，其動(dòng)力學(xué)方程可描述為[12]：

(4)

1.2 軌跡規(guī)劃

對(duì)于冗余機(jī)器人任務(wù)空間內(nèi)的軌跡規(guī)劃，其實(shí)質(zhì)就是在末端執(zhí)行器的起始點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間找出一條光滑可行的路徑。

在CLP法中，關(guān)節(jié)角可通過對(duì)下式積分計(jì)算獲得[13]：

Δq=J+(q)(xref-x)

(5)

其中，xref為操作空間中末端執(zhí)行器位姿的參考值。根據(jù)文獻(xiàn)[13]研究可知CLP法在積分時(shí)容易產(chǎn)生累積誤差而導(dǎo)致逆解誤差增大。因此，本文擬引入IGSO算法來提升CLP法的性能，更好地解決冗余機(jī)器人的軌跡規(guī)劃問題。

1.3 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

在本文研究的冗余機(jī)器人軌跡規(guī)劃問題中，考慮了4種約束條件，即：

(1)通過目標(biāo)函數(shù)f1使得時(shí)域內(nèi)前后兩關(guān)節(jié)的最大關(guān)節(jié)變化最小化，即：

f1=max{[qn(k+1)-qn(k)]2}

(6)

(2)通過目標(biāo)函數(shù)f2使得時(shí)域內(nèi)前后兩關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角速度的平方和最小，即：

(7)

(3)通過目標(biāo)函數(shù)f3使得時(shí)域內(nèi)前后兩關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角加速度的平方和最小，即：

(8)

(4)通過目標(biāo)函數(shù)f4使得時(shí)域內(nèi)前后兩關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)力矩的平方和最小，即：

(9)

假設(shè)冗余機(jī)器人末端執(zhí)行器的當(dāng)前位置為Pc=(xc,yc,zc)，目標(biāo)位置為Pf=(xf,yf,zf)，則位置誤差Pe為：

(10)

因此，冗余機(jī)器人軌跡規(guī)劃中的總目標(biāo)函數(shù)為：

Fi=αPe+(1-α)fi,i=1,2,3,4

(11)

在本文中，α=0.5。

2 改進(jìn)的螢火蟲算法

2.1 傳統(tǒng)的螢火蟲算法

在GSO算法中[14]，每只螢火蟲個(gè)體i的位置xi(t)用一個(gè)目標(biāo)函數(shù)f(xi(t))評(píng)價(jià)，即機(jī)械臂軌跡規(guī)劃問題可轉(zhuǎn)換為求目標(biāo)函數(shù)的最小值問題。算法的詳細(xì)步驟描述如下：

步驟1：個(gè)體初始化。GSO算法通過式(12)隨機(jī)獲得螢火蟲i(i=1,…,M)的位置，即：

xi(t)=xL+rand(0,1)·(xU-xL)

(12)

式中，M為種群規(guī)模，rand為隨機(jī)函數(shù)，xU與xL分別為待搜索空間的閾值。

步驟2：決策域更新。每個(gè)螢火蟲根據(jù)決策域大小向其領(lǐng)域內(nèi)其他同伴傳遞信息。決策域范圍根據(jù)式(13)更新，即：

(13)

(14)

式中，li(t)當(dāng)期個(gè)體的熒光素值，xj(t)和lj(t)分別為鄰域個(gè)體j的位置和熒光素值。

步驟3：位置更新。若鄰域個(gè)體的熒光素值大于當(dāng)前個(gè)體，則種群向鄰域個(gè)體移動(dòng)。螢火蟲i向螢火蟲j移動(dòng)的概率為：

(15)

其中，螢火蟲i的位置根據(jù)下式更新：

(16)

式中，s為移動(dòng)步長。

步驟4：熒光素更新。熒光素值的大小取決于目標(biāo)函數(shù)f(xi(t))的值，其更新公式為：

li(t)=(1-ρ)li(t-1)+γf(xi(t))

(17)

式中，ρ∈(0,1)為熒光素?fù)]發(fā)值，γ為熒光素更新速度。

步驟5：跳出循環(huán)條件。螢火蟲i更新位置與熒光素值，直到算法迭代次數(shù)達(dá)到Tmax，記錄并輸出最優(yōu)解。

2.2 廣義反向?qū)W習(xí)機(jī)制

本文采用Wang[15]提出的廣義反向?qū)W習(xí)機(jī)制(Generalized opposite learning mechanism，GOLM)來克服傳統(tǒng)GSO算法中全局開采能力不足和容易陷入局部最優(yōu)值的問題。GOLM的思想是對(duì)于任意一個(gè)可行解，計(jì)算并評(píng)價(jià)其反向解，再從中選擇較優(yōu)解作為下一代個(gè)體。例如，在M維搜索空間中，xi為可行解，那么利用GOLM定義其反向解為：

(18)

在螢火蟲位置更新時(shí)，考慮到位置解的有界性xi∈[xL,xU]，令Δ=k(xU-xL)，則改進(jìn)算法中的GOLM搜索策略定義如下：

(19)

式中，k為0～1之間的隨機(jī)數(shù)。

3 仿真結(jié)果

通常冗余機(jī)器人的本體結(jié)構(gòu)主要表現(xiàn)為SRS、RSS、UUS-A和UUS-B這4種形式[16]。其中，SRS結(jié)構(gòu)更能接近人類手臂結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，故本文選用模塊化肩腕關(guān)節(jié)偏置的SRS結(jié)構(gòu)的冗余機(jī)器人為研究對(duì)象，如圖1所示,其改進(jìn)DH參數(shù)如表1所示。這里需指出，根據(jù)文獻(xiàn)[11]很容易獲得冗余機(jī)器人的雅克比矩陣及其偽逆矩陣，其過程就不再贅述。本節(jié)將通過3個(gè)仿真算例來驗(yàn)證基于IGSO算法的SRS結(jié)構(gòu)冗余機(jī)器人軌跡規(guī)劃方法的有效性。

圖1 SRS結(jié)構(gòu)的冗余機(jī)器人

表1 SRS結(jié)構(gòu)冗余機(jī)器人的改進(jìn)DH參數(shù)

3.1 仿真算例1

本算例中，選擇目標(biāo)函數(shù)為F4，目標(biāo)位置為xref=[-0.5,0.5,1]T，不考慮姿態(tài)影響，通過優(yōu)化算法來求解CLP法的解。仿真環(huán)境為Win 10 Intel(R) Core(TM) i7-4720HQ CPU@2.60GHz，Matlab 2018b軟件下。采用傳統(tǒng)的GSO算法與IABC(Improved artificial bee colony algorithm，IABC)算法[17]來與IGSO算法作比較分析。三種算法的參數(shù)設(shè)置如表2所示。每種算法各運(yùn)行10次，每次迭代50代，然后選取并記錄下最優(yōu)結(jié)果，如圖2和圖3所示。從圖中可以看出，三種算法均能使機(jī)器人末端執(zhí)行器較好地接近參考位置，其中IGSO算法獲得目標(biāo)函數(shù)值為0.00521，分別比GSO算法與IABC算法高出了83.50%和42.07%。同時(shí)，GSO算法的仿真時(shí)間為1.63s，IABC算法的仿真時(shí)間為0.98s，IGSO算法的仿真時(shí)間為0.70s。本文所提算法比其他兩種算法優(yōu)化速率分別提高57.06%與28.57%。這表明本文所提算法收斂速度快，信息挖掘能力強(qiáng)。

表2 三種算法的參數(shù)設(shè)置

圖2 三種算法的求解結(jié)果

圖3 三種算法的求解結(jié)果

進(jìn)一步地，分別在三種算法上來比較四種目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化效果。仿真條件同前面一樣，結(jié)果如圖4所示。從圖可以看出，不管采用何種目標(biāo)函數(shù)，IGSO算法均能幫助CLP法獲得最好的優(yōu)化結(jié)果。這說明了本文所提算法具有較好的魯棒性。

圖4 不同目標(biāo)函數(shù)的對(duì)比

3.2 仿真算例2

本算例中，冗余機(jī)器人末端執(zhí)行器的起始點(diǎn)為[0,-1,0]T，目標(biāo)點(diǎn)為[-1,0,1]T。結(jié)合IGSO算法與CLP法對(duì)機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃，使末端執(zhí)行器走一條直線，中間共有20個(gè)路徑點(diǎn)，仿真時(shí)間為2s。為了保證機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中的關(guān)節(jié)角變化連續(xù)，選擇目標(biāo)函數(shù)為F1，軌跡規(guī)劃的結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，冗余機(jī)器人能夠?qū)崿F(xiàn)點(diǎn)到點(diǎn)的平滑運(yùn)動(dòng)。圖6～圖8給出了各關(guān)節(jié)的角位移、角速度及角加速度的在時(shí)域內(nèi)的響應(yīng)，變化過程均平坦連續(xù)。

圖5 軌跡規(guī)劃的結(jié)果

圖6 關(guān)節(jié)角的角位移變化

圖7 關(guān)節(jié)角的角速度變化

圖8 關(guān)節(jié)角的角加速度變化

3.3 仿真算例3

本算例中，冗余機(jī)器人末端執(zhí)行器的起始點(diǎn)為[0.8,0.6,0.4]T，目標(biāo)點(diǎn)為[1,0,0.4]T，采用目標(biāo)函數(shù)F3，對(duì)其進(jìn)行圓弧軌跡規(guī)劃。在Robotics Toolbox對(duì)本文所提方法進(jìn)行可視化仿真，仿真時(shí)間為2s，結(jié)果如圖9所示。從圖中可以看出，在本文方法的幫助下，SRS結(jié)構(gòu)的冗余機(jī)器人能夠走出一條較為光滑連續(xù)的軌跡。同時(shí)，表3給出了規(guī)劃的圓弧軌跡在X、Y與Z軸上的誤差。這些誤差指標(biāo)均在機(jī)器人實(shí)際操作的許可誤差范圍內(nèi)[18]。

圖9 圓弧軌跡規(guī)劃

表3 圓弧軌跡的誤差

4 結(jié)論

(1)本文提出了一種基于改進(jìn)螢火蟲算法的閉環(huán)偽逆法，用于處理SRS結(jié)構(gòu)的冗余機(jī)器人的點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、直線軌跡規(guī)劃及圓弧軌跡規(guī)劃。仿真結(jié)果證明，該方法具有較好的魯棒性與準(zhǔn)確性。

(2)用本文所提方法對(duì)SRS結(jié)構(gòu)的冗余機(jī)器人進(jìn)行直線插補(bǔ)與圓弧插補(bǔ)，均能獲得光滑連續(xù)的軌跡，對(duì)實(shí)際操作具有一定的參考性。

(3)用廣義反向?qū)W習(xí)機(jī)制來改進(jìn)傳統(tǒng)螢火蟲算法，增強(qiáng)其搜索性能。仿真結(jié)果證明，本文所提算法的優(yōu)化能力要強(qiáng)于GSO算法與IABC算法。

(4)在今后的研究中，將本文所提方法用于實(shí)際的冗余機(jī)器人軌跡規(guī)劃中，驗(yàn)證其實(shí)時(shí)性與有效性。