雒衛(wèi)廷

(呂梁學(xué)院 物理系，山西 呂梁 033000)

0 引言

可靠性是機械產(chǎn)品關(guān)鍵技術(shù)指標之一，其貫穿于產(chǎn)品設(shè)計、研制、維修保養(yǎng)的各個環(huán)節(jié)。機械可靠性優(yōu)化設(shè)計能夠有效提高產(chǎn)品質(zhì)量、降低生產(chǎn)成本，對提高機械產(chǎn)品競爭力意義重大[1]。

在工程設(shè)計中，若設(shè)計參數(shù)或變量具有隨機性，或約束條件中包含概率約束，則成為可靠性優(yōu)化設(shè)計。文獻[2-3]使用分布協(xié)同響應(yīng)面法建立了4種裝配結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化模型，并驗證了此方法可行性與使用條件；文獻[4]提出了可靠性優(yōu)化設(shè)計的均值-概率分解協(xié)調(diào)結(jié)合法，并將其應(yīng)用于柔性機械臂優(yōu)化設(shè)計中；文獻[5]基于各研究對象的響應(yīng)協(xié)同關(guān)系，建立了分布協(xié)同響應(yīng)面模型，以航空發(fā)動機可靠性為例驗證了方法可行性；文獻[6]提出多重響應(yīng)面的可靠性分析方法，并將其應(yīng)用于高壓渦輪葉間間隙的可靠性靈敏度分析。以上方法在一定程度上優(yōu)化了機械結(jié)構(gòu)，但是響應(yīng)面模型都是基于二次多項式函數(shù)建立，可靠性分析結(jié)果受多項式擬合精度影響，使機械可靠性優(yōu)化效率降低。

本文在研究極值響應(yīng)法基礎(chǔ)上，鑒于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對任意函數(shù)的無限極逼近能力，提出極值響應(yīng)法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的智能極值響應(yīng)法。使用智能極值響應(yīng)建立了機械臂可靠性優(yōu)化設(shè)計模型，使用分階層粒子群算法進行求解，減小了機械臂連桿橫截面積，節(jié)省了制造材料。

1 柔性機械臂可靠性分析方法

可靠性分析是可靠性優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)，提出有效的可靠性計算方法，才能在可靠性優(yōu)化設(shè)計中建立可靠性約束條件。柔性機械臂動力學(xué)方程具有嚴重的非線性、強耦合、時變等特點，可靠性分析極限狀態(tài)方程沒有解析形式。為了解決這一問題，提出了智能極值響應(yīng)的可靠性分析方法。

1.1 柔性機械臂彈性形變建模

雙連桿柔性機械臂主要失效模式為機械臂變形過大引起的失效，因此本文對變形做可靠新分析。雙連桿柔性機械臂簡易結(jié)構(gòu)如圖1所示，設(shè)定兩連桿為均質(zhì)歐拉梁，圖中m1、m2分別為連桿1、2端點質(zhì)量，θ1、θ2分別為兩連桿旋轉(zhuǎn)角，τ1、τ2分別為兩連桿加載力矩。為了方便描述彈性形變量，分別建立連桿1和連桿2局部坐標系如圖1所示。

圖1 雙連桿柔性機械臂

使用組合分析法建立機械臂彈性形變模型，連桿的形狀變形為：

(1)

式中，x為局部坐標系坐標，l為連桿長度。

連桿的彈性形變量隨時間而變化，記連桿1與連桿2在局部坐標系中的彈性形變量分別為y1(t,x1)、y2(t,x2)，則

(2)

式中，gi(t)為連桿1的第i個彈性坐標，ui(t)為連桿2的第i個彈性坐標，彈性坐標gi(t)、ui(t)由動力學(xué)方程解得，記q(t)=[θ1(t),g1(t),g2(t),θ2(t),u1(t),u2(t)]T，由拉格朗日方程得動力學(xué)方程為:

(3)

式中，Qk為總合成力矩，M為質(zhì)量矩陣，K剛度矩陣，Ug為系統(tǒng)重力勢能。

1.2 智能極值響應(yīng)面的提出

設(shè)定優(yōu)化量為隨機變量，符合正態(tài)分布，使用蒙特卡洛法進行抽樣，將抽樣輸入到式(3)給出的動力學(xué)方程，得到柔性機械臂在[0,T]時域內(nèi)的撓度響應(yīng)。

圖2 極值響應(yīng)面

當(dāng)前一般使用二次多項式函數(shù)擬合極值響應(yīng)面函數(shù)，但是二次多項式擬合精度有限，使計算精度難以滿足要求。鑒于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對連續(xù)非線性函數(shù)的無限逼近能力[7]，本文提出BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合極值響應(yīng)面函數(shù)法，將這種由智能算法和極值響應(yīng)面相結(jié)合的方法稱為智能極值響應(yīng)面法。

1.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡要分析

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隱含層、輸出層組成，每層含有若干個神經(jīng)元[8]，隱含層可以為多層，本文使用最簡單的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)擬合極值響應(yīng)面函數(shù)，如圖3所示。

圖3 三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的信號傳遞包括工作信號的正向傳播和誤差信號的反向傳播。記X=(x1,x2,…,xn)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入信號，Y為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的期望輸出，O為實際輸出，wij為從輸入層神經(jīng)元i到隱含層神經(jīng)元j的傳遞權(quán)值，隱含層節(jié)點閾值為θj；vj為從隱含層神經(jīng)元j到輸出層神經(jīng)元的傳遞權(quán)值，輸出層神經(jīng)元閾值為r；輸入層到隱含層傳遞函數(shù)記為f1(x)；隱含層到輸出層傳遞函數(shù)記為f2(x)，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出表達式為：

(4)

式中，n為輸入層節(jié)點數(shù)，m為隱含層節(jié)點數(shù)。

用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的樣本數(shù)量記為N，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局誤差為：

(5)

按照BP算法的梯度下降原則，利用誤差的反向傳播，不斷調(diào)整權(quán)值和閾值，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局誤差達到最小。訓(xùn)練完畢的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)即為智能極值響應(yīng)面函數(shù)。

1.4 機械系統(tǒng)可靠性計算

記柔性機械臂的第i個連桿的許用撓度為RYi，服從RYi～N(μRYi,σRYu)的正態(tài)分布，由智能極值響應(yīng)函數(shù)輸出第i個連桿的撓度響應(yīng)為yi，對Zi=RYi-yi做標準化變換，得：

(6)

式中，μRYi為連桿i的許用撓度均值，由設(shè)計標準確定，σRYi為許用撓度標準差，由測量誤差確定；μYi為連桿i撓度響應(yīng)均值，σYi為連桿i撓度響應(yīng)方差。

則連桿i的剛度可靠性為：

(7)

進行機械結(jié)構(gòu)設(shè)計時，一般提出機械系統(tǒng)可靠性，需要依據(jù)系統(tǒng)可靠性設(shè)計各構(gòu)件可靠性。對于含有n個連桿的柔性機械臂系統(tǒng)，按照等可靠性原則，得到每一連桿的給定可靠性為:

式中，PY為給定的機械臂系統(tǒng)可靠度，PYi′為由等可靠性原則計算出的連桿可靠度。則進行可靠性設(shè)計時，可靠性約束可描述為Pyi>PYi′。

2 機械可靠性優(yōu)化設(shè)計模型及求解

2.1 選擇優(yōu)化量

機械可靠性優(yōu)化設(shè)計在滿足機械系統(tǒng)可靠度前提下，達到減少用料的目的。機械系統(tǒng)中可選優(yōu)化變量較多，其中一些變量對可靠性影響很小，不具備優(yōu)化潛力，因此選擇對可靠性靈敏度較大的變量作為優(yōu)化量。

靈敏度反應(yīng)了不同輸入隨機變量的變化對機械失效概率的影響，文獻[9]使用MC數(shù)字模擬法計算失效概率，為:

(8)

式中，Pf為機械失效概率，μg為極限狀態(tài)函數(shù)均值矩陣，Dg為極限狀態(tài)函數(shù)方差矩陣，Φ(·)為標準正太分布函數(shù)。

第i個輸入隨機變量靈敏度定義為失效概率Pf對此輸入變量均值μi的偏導(dǎo)，即：

(9)

式中，μi為第i各輸入變量均值，E(·)表示取均值，μij表示第i個隨機變量的第j個取值，σi為第i個隨機變量方差，λ(·)函數(shù)定義為：

式中，[y]為許用變形量。

初步選擇連桿密度、彈性模量、截面長、街面寬為優(yōu)化量，計算各優(yōu)化量的靈敏度，結(jié)果顯示橫截面的長與寬對連桿可靠性影響最大，達到了99.9%以上，因此選擇連桿截面長與寬作為優(yōu)化量。

2.2 可靠性優(yōu)化設(shè)計模型

以連桿橫截面積最小為優(yōu)化目標，將橫截面的長寬比固定為4，則建立柔性機械臂可靠性優(yōu)化設(shè)計模型為：

(10)

式中，hi、bi分別為連桿i的長與寬。約束條件第一式為可靠性約束，第二式為長寬等式約束，第3式和第4式為截面寬的上下限約束。

2.3 分階層粒子群算法求解方法

為了求解雙連桿機械臂的可靠性設(shè)計模型，提出了分階層粒子群算法。對于雙連桿柔性機械臂，優(yōu)化量為每個連桿的截面長與寬，由于將連桿橫截面的長寬比固定為4，所以優(yōu)化量為2維，即粒子位置編碼為2維。

在傳統(tǒng)粒子群算法基礎(chǔ)上，依據(jù)粒子適應(yīng)度劃分階層。記粒子種群規(guī)模為M，算法迭代一次后全體粒子按照適應(yīng)度由大到小排序為{z1,z2,…,zM}，記重新排序后第i個粒子的序列號為NXi，則粒子分階層與各階層速度更新方法為：

(11)

(12)

式中，c2為種群學(xué)習(xí)因子，r2為(0,1)間的隨機數(shù)，gj為全局最優(yōu)粒子在第j維上的位置。

(13)

(4)算法迭代過程中，粒子群容易失去種群多樣性而陷入局部極值，為了解決這一問題，在速度更新中引入隨機擾動速度，幫助粒子跳出局部極值。粒子間距標準差為：

(14)

將以上4點改進嵌入到傳統(tǒng)粒子群算法中，得到分階層粒子群算法。

3 實驗驗證

柔性機械臂許用撓度均值設(shè)置為0.018m，方差為0.00036m；機械臂系統(tǒng)的可靠度要求為不小于0.953。分階層粒子群算法參數(shù)為：粒子維度為2，種群規(guī)模設(shè)置為40，算法最大迭代次數(shù)為100。驗證實驗分為兩個部分，一是驗證智能極值響應(yīng)面法優(yōu)于二次多項式極值響應(yīng)面，二是驗證分階層粒子群算法解算結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)粒子群算法。

3.1 對智能極值響應(yīng)面的驗證

為了對比智能極值響應(yīng)法與二次多項式極值響應(yīng)法應(yīng)用于可靠性優(yōu)化設(shè)計的性能，分別使用智能極值響應(yīng)法與二次多項式響應(yīng)法計算機械可靠度，使用分階層粒子群算法進行模型求解，雙連桿機械臂傳統(tǒng)設(shè)計尺寸為優(yōu)化初值。優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 不同方法優(yōu)化結(jié)果

由表1可以看出，智能極值面可靠性設(shè)計方法使構(gòu)件截面積減少了2.5%，而二次多項式極值面方法使構(gòu)件截面積減少了0.21%，這是因為智能極值面方法中，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的無限逼近和擬合能力，使可靠性計算精度更高，設(shè)計時可以考慮的優(yōu)化空間更大。

3.2 對分階層粒子群算法的驗證

為了驗證分階層粒子群算法與傳統(tǒng)算法對可靠性優(yōu)化設(shè)計模型的求解精度，分別使用兩種算法對模型求解100次，最優(yōu)粒子的目標函數(shù)變化過程如圖4所示。

(a) 分階層粒子群算法優(yōu)化結(jié)果

(b) 傳統(tǒng)粒子群算法優(yōu)化結(jié)果 圖4 兩種粒子群算法優(yōu)化結(jié)果

經(jīng)計算，使用分階層粒子群算法優(yōu)化后截面總面積為1267.42mm2，使構(gòu)件面積減小了2.5%，傳統(tǒng)粒子群算法優(yōu)化后截面總面積為1269.72mm2，使構(gòu)件面積減小了2.3%。說明分階層粒子群算法優(yōu)化結(jié)果更好，這是因為分階層粒子群算法針對不同粒子特點給出了不同的速度更新方法，速度更新方法更加科學(xué)，另外分階層粒子群算法給出了跳出局部極值的評判標準和方法，可以使此算法及時跳出局部極值陷阱。

4 結(jié)論

本文研究了柔性機械臂可靠性優(yōu)化設(shè)計問題，經(jīng)過分析和結(jié)果驗證 ，可以得出以下結(jié)論：①智能極值響應(yīng)法能夠精確計算機械可靠性，為機械可靠性優(yōu)化設(shè)計提供更大的優(yōu)化空間；②分階層粒子群算法按照不同粒子特點制定不同的速度更新方法，可以提高算法尋優(yōu)精度。