李小雪，陳國慧

(1.西安航空學(xué)院 理學(xué)院，西安 710077；2.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，?？?571158)

0 引言

對任意正整數(shù)n≥0，著名的Fibonacci多項式Fn(x)由F0(x)=1，F(xiàn)1(x)=x及二階線性遞推式

Fn+1(x)=xFn(x)+Fn-1(x),n≥2

定義。

如果令x=1，那么Fn(1)=Fn+1是Fibonacci數(shù)，它的初值為F0=0，F(xiàn)1=1，且Fn+1=Fn+Fn-1，n≥1。

由于Fibonacci多項式Fn(x)及Fibonacci數(shù)Fn在數(shù)學(xué)的理論及應(yīng)用方面都具有重要作用，因此，很多專家學(xué)者對它們的性質(zhì)進行了研究，并得到了一系列重要結(jié)果[1-9]。

2018年，馬元魁和張文鵬[10]研究了卷積和

的計算問題，這里的求和是對滿足a1+a2+…+ah+1=n的h+1維非負整數(shù)數(shù)組(a1，a2，…，ah+1)求和。他們利用初等及組合的方法給出了關(guān)于Fn(x)的一個有意義的恒等式，即下面的結(jié)論：

設(shè)h是一個正整數(shù)，那么對任意整數(shù)n≥0，有恒等式

這里S(h,j)是由S(h,0)=0，S(h,h)=1 和S(h+1,i+1)=2·(2h-1-i)·S(h,i+1) +S(h,i)定義的二階非線性遞推序列，1≤i≤h-1是正整數(shù)。

本文作為文獻[10]的一個注記，將對該文獻中的結(jié)論進一步改進和完善。

1 主要結(jié)果

為了進一步理解S(h,i)的性質(zhì)，本文列出了S(h,i)的一些值，如表1所示。

表1 S(h,i)的值

對于(2)式的應(yīng)用，馬元魁和張文鵬[10]證明了對任意素數(shù)p和滿足0≤i≤p-1的整數(shù)i，有同余式

S(p,i)≡0 modp(p-1)。

經(jīng)過大量的數(shù)據(jù)計算，可以發(fā)現(xiàn)序列S(h,i)具有簡潔的精確表達式，也就是有下面的結(jié)論：

定理設(shè)h是一個正整數(shù)，對任意滿足0≤i≤h的整數(shù)i，有恒等式

那么對h=k+1，當(dāng)i=k時，由S(h,i)的定義，有S(k+1,k+1)=1，因此定理正確。如果0≤i≤k-1，那么由遞推式

S(h+1,i+1)=2·(2k-1-i)·S(k,i+1)+S(k,i)

及推斷假設(shè)(4)式，有

S(h+1,i+1)=2·(2h-1-i)·S(h,i+1)+S(h,i)

這意味著對h=k+1，定理成立。這就完成了定理的證明。

結(jié)合(3)式及文獻[10]中的定理1，可推出下列結(jié)論：

推論1 設(shè)h是一個正整數(shù)，對滿足0≤i≤h-1的任意整數(shù)i，有同余式

S(h,i)≡0 modh(h-1)。

推論2 對任意正整數(shù)h≥1，有恒等式

推論3 對任意正整數(shù)h≥1 ，有恒等式

2 結(jié)論

作為文獻[10]的注記，本文研究了序列S(h,i)的性質(zhì)，并得到了關(guān)于該序列的一個簡潔精確的表達式。該結(jié)果不僅將S(h,i)復(fù)雜的遞推式表達成簡單的組合數(shù)從而便于計算，而且揭示了Fibonacci多項式和Fibonacci數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。也就是說，(2)式的卷積是由Fi(x)和一類組合數(shù)構(gòu)成。此外，推論1進一步改進并推廣了文獻[10]的定理2，這意味著對于任意的正整數(shù)h，同余式成立且不受素數(shù)p的限制。

顯然，本文結(jié)果可以進一步簡化文獻[10]的結(jié)論，文中的推論2和推論3就是對該文獻相關(guān)結(jié)果的簡化。