馮文選，吳大林，馬吉?jiǎng)伲?健

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050003；2.西京學(xué)院，陜西 西安 710123)

在車輛地面力學(xué)中，土壤作為一種材料，其力學(xué)性能是影響履帶式自行武器越野行駛性能的重要因素。履帶板對(duì)土壤施加垂直壓力，使土壤在壓力作用下產(chǎn)生沉陷，從而影響履帶式自行武器的行駛阻力、牽引力和履帶板滑轉(zhuǎn)率等性能。在軍事行動(dòng)中，還會(huì)影響履帶式裝備在特定區(qū)域的通過(guò)性能。因此，研究土壤在垂直壓力作用下的沉陷特性對(duì)提高武器裝備越野行駛性能和通過(guò)性意義重大。

由于土壤材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的復(fù)雜性，使得通過(guò)嚴(yán)格的力學(xué)推導(dǎo)來(lái)研究土壤承壓沉陷特性十分困難。因此，早期的土壤承壓沉陷特性研究方法主要以純經(jīng)驗(yàn)法和半經(jīng)驗(yàn)法為主[1]。20世紀(jì)70年代，Prumpral J V等首次用非線性彈性問(wèn)題有限元解法分析了土壤在拖拉機(jī)車輪作用下的變形和應(yīng)力分布。Wong J Y在專著中[2]闡述了土壤應(yīng)力與破壞的試驗(yàn)觀測(cè)與有限元法的研究。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展使車輛地面力學(xué)的研究方法更加豐富多樣，潘衛(wèi)東等對(duì)軟地面車輛系統(tǒng)的建模仿真方法進(jìn)行了研究[3]，呂唯唯等研究了快速加載條件下可變形土壤的特性[4]，趙家豐等研究了重塑土壤壓力沉陷特性[5]。

綜上所述，在研究方法上，雖然土壤承壓沉陷特性的研究手段不斷豐富，但以經(jīng)驗(yàn)法為主的經(jīng)典土壤承壓沉陷特性理論仍然是各國(guó)學(xué)者開展研究的理論基礎(chǔ)。工程實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)典土壤承壓沉陷特性理論需要以大型原位土壤承壓試驗(yàn)為依據(jù)，由于開展大型原位試驗(yàn)受試驗(yàn)環(huán)境、設(shè)備和資金等因素的影響，使其存在諸多困難。筆者利用有限元仿真的方法，基于數(shù)值擬合方法對(duì)土壤壓力沉陷特性進(jìn)行分析，并基于Kriging插值法建立土壤力學(xué)參數(shù)和加載條件與擬合函數(shù)參數(shù)之間的關(guān)系。

1 土壤本構(gòu)關(guān)系

土壤的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以用固體力學(xué)中的彈塑性理論來(lái)描述。土壤的力學(xué)行為可以分為彈性行為和塑性行為。彈性行為是土壤在彈性變形范圍內(nèi)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，可以用彈性本構(gòu)模型來(lái)描述。彈性模型主要包含兩個(gè)參數(shù)，彈性模量E和泊松比μ.常見的土壤彈性本構(gòu)模型包括線彈性模型、多孔介質(zhì)彈性模型和線粘彈性模型。筆者采用適用最廣泛的各向同性彈性模型描述土壤的彈性行為。

土壤的塑性行為主要包括屈服、硬化、剪脹和流動(dòng)性，可以用塑性本構(gòu)模型來(lái)描述。經(jīng)典的土壤塑性本構(gòu)模型主要有Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型和臨界狀態(tài)塑性模型[6]。筆者采用被廣泛應(yīng)用的Mohr-Coulomb模型描述土壤的塑性行為。Mohr-Coulomb模型中的剪切屈服函數(shù)為

F=Rmcq-ptanφ-c=0，

(1)

式中：φ為q-p平面上的摩擦角；c為黏聚力；Rmc為屈服函數(shù)在π平面上的形狀參數(shù)。

在ABAQUS軟件中，為了避免π平面上屈服面存在尖角導(dǎo)致流動(dòng)方向不唯一的現(xiàn)象，Mohr-Coulomb模型采用非相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)準(zhǔn)則。并通過(guò)指定黏聚力c與等效塑性應(yīng)變之間的關(guān)系，控制土壤的硬化規(guī)律。

土壤本構(gòu)參數(shù)可以通過(guò)土工試驗(yàn)來(lái)確定。土體抗剪強(qiáng)度試驗(yàn)是測(cè)定土體剪切特性的一種試驗(yàn)，分為室內(nèi)試驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)。室內(nèi)試驗(yàn)包括直剪試驗(yàn)和三軸剪切試驗(yàn)，直剪試驗(yàn)儀器設(shè)備簡(jiǎn)單、操作方便、試驗(yàn)用土少，可以測(cè)量土壤的抗剪強(qiáng)度參數(shù)粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ.三軸壓縮試驗(yàn)作為另一種常見的室內(nèi)土工試驗(yàn)，與直剪試驗(yàn)相比，除了可以測(cè)定抗剪強(qiáng)度指標(biāo)粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ，還可以測(cè)定土壤的彈性模量E、泊松比μ和壓縮系數(shù)等參數(shù)[7]。

采用上述兩種土工試驗(yàn)對(duì)起伏路面松軟土壤進(jìn)行參數(shù)測(cè)定[8]，得到土壤的力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 起伏路面土壤力學(xué)參數(shù)

2 土壤壓力沉陷關(guān)系非線性擬合

2.1 土壤承壓沉陷試驗(yàn)有限元建模

有限元仿真模型采取三維實(shí)體建模。載荷板為半徑R=0.1 m的圓板。為簡(jiǎn)化計(jì)算，載荷板采用剛體約束，并設(shè)置參考點(diǎn)。綜合考慮土體模型邊界對(duì)仿真結(jié)果的影響和仿真計(jì)算效率，土體采用1 m×1 m×1 m的正方體模型。建立材料分別為鋼和土壤的截面屬性，鋼的材料參數(shù)為：密度7 800 kg/m3、彈性模量E=207 GPa、泊松比μ=0.3；土壤本構(gòu)模型采用各向同性線彈性模型和Mohr-Coulomb模型，參數(shù)如表1所示。

約束土體模型4個(gè)側(cè)面水平方向位移自由度，底面設(shè)置為完全固定約束；約束載荷板參考點(diǎn)水平方向位移自由度和3個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。整個(gè)模型采用八節(jié)點(diǎn)線性六面體單元，設(shè)置減縮積分、沙漏控制和網(wǎng)格重劃分區(qū)域。土體網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)采用中間致密四周相對(duì)稀疏的方法。采用顯示動(dòng)態(tài)分析步，設(shè)置載荷板參考點(diǎn)豎直方向載荷，加載載荷為50 kN，模型裝配體如圖1所示。

2.2 加載速率對(duì)土壤壓力沉陷特性的影響

車輛越野行駛過(guò)程中，隨著車速的不斷提高，車輛對(duì)地面施加載荷的速率可以達(dá)到每秒幾兆帕。以美軍M4坦克為例，其最大行駛速度42 km/h，總重32 t，平均最大接地壓力Pmm=282.2 kPa[9].按照M4坦克履帶接地長(zhǎng)度為5 m，寬為0.25 m，計(jì)算不同行駛速度對(duì)應(yīng)的對(duì)地加載速率，如表2所示。

表2 M4坦克行駛速度、加載速率對(duì)比

以表2中4種行駛速度所對(duì)應(yīng)的平板加載速率為例，在2.1節(jié)建模的基礎(chǔ)上，采用表1中2#土壤參數(shù)，分別設(shè)置不同的加載速率，得到v1～v44種加載速率下的土壤壓力沉陷關(guān)系曲線，并與準(zhǔn)靜態(tài)加載時(shí)的土壤壓力沉陷曲線對(duì)比，如圖2所示。

從圖2中可以看出，動(dòng)態(tài)加載時(shí)的土壤壓力沉陷關(guān)系與準(zhǔn)靜態(tài)加載時(shí)存在明顯區(qū)別。對(duì)照表2中M4坦克行駛速度與加載速率的關(guān)系，可以得出：M4坦克行駛速度大于20 km/h時(shí)，同一沉陷深度，動(dòng)態(tài)加載條件下的土壤承載力明顯高于準(zhǔn)靜態(tài)條件下的土壤承載力。此外，4種加載速率對(duì)應(yīng)的土壤壓力沉陷關(guān)系之間也存在差異，土壤承載力隨著加載速率的增大呈現(xiàn)提高趨勢(shì)。

2.3 平板尺寸對(duì)土壤壓力沉陷關(guān)系的影響

土壤平板載荷實(shí)驗(yàn)中，由于bekker公式所依據(jù)的土壤平板載荷試驗(yàn)采用緩慢的加載方式，無(wú)法反映土壤在高速載荷作用下的承壓沉陷特性，因此有必要研究平板尺寸在高速加載條件下對(duì)土壤壓力沉陷關(guān)系的影響規(guī)律。

在2.1節(jié)建模的基礎(chǔ)上，采用表1中2#土壤參數(shù)和表2中v1加載速率，并分別設(shè)置平板半徑為0.05、0.10、0.15和0.20 m 4種尺寸，得到土壤壓力沉陷關(guān)系曲線，如圖3所示。

從圖3中可以看出，平板尺寸對(duì)土壤壓力沉陷特性有顯著的影響，同一沉陷深度時(shí)，土壤承載力隨著平板尺寸的增大而減小。且在尺寸越小時(shí)，承載力減小的趨勢(shì)越快。承載力與平板尺寸之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系，這一趨勢(shì)與bekker公式的平板寬度對(duì)土壤承載力的影響趨勢(shì)是一致的。

3 土壤壓力沉陷關(guān)系擬合

3.1 Prony級(jí)數(shù)逼近方法

Prony方法是以構(gòu)造形如式(2)的指數(shù)型函數(shù)為目的的一種非線性數(shù)值逼近算法[10]。

(2)

式中：A，s為待定參數(shù)；e為自然底數(shù)；t為自變量；f為函數(shù)。

Prony方法的主要原理為：令t=iT,使得式(3)成立。

f(iT)=fi，i=0,1,…,2n-1，

(3)

式中：T為步長(zhǎng)；{fi}為給定型值。

定義變量zj、αi，且分別滿足：

zj=esjT，j=1,…，n,

(4)

(5)

聯(lián)立式(2)～(5)可得

(6)

zn+αn-1zn-1+…+α1z+α0=0，

(7)

從而求出αi(i=0,1,…,n-1)和Aj.

3.2 數(shù)值擬合

以上研究可以得出，土壤的壓力沉陷關(guān)系屬于典型的非線性關(guān)系，不僅與土壤的力學(xué)性質(zhì)有關(guān)，而且與加載速率和平板尺寸有關(guān)。而Prony級(jí)數(shù)具有良好的非線性逼近能力，因此利用Prony級(jí)數(shù)，通過(guò)MATLAB軟件，對(duì)不同土壤力學(xué)參數(shù)和試驗(yàn)條件下的壓力沉陷曲線進(jìn)行擬合。以表1中1#土壤參數(shù)為例，在平板尺寸r=0.05 m，加載速率為1 254.22 kPa/s的條件下進(jìn)行有限元數(shù)值仿真，并采用Prony指數(shù)函數(shù)擬合，如圖4所示。

3.3 Kriging代理模型建立

由3.2節(jié)可見，Prony級(jí)數(shù)能夠?qū)Σ煌W(xué)性質(zhì)和試驗(yàn)條件下的土壤壓力沉陷曲線進(jìn)行良好的擬合，且n=2時(shí)已具有很高的擬合精度，R2均大于0.9.但是其擬合過(guò)程較為復(fù)雜，工程實(shí)際操作性不強(qiáng)。無(wú)法通過(guò)已知的土壤力學(xué)參數(shù)和加載條件直接預(yù)測(cè)出土壤的壓力沉陷特性曲線。而Kriging插值法[11]以變異函數(shù)理論與結(jié)構(gòu)分析為基礎(chǔ)，在無(wú)需確定輸入與輸出之間精確解析關(guān)系的條件下，可以較好的逼近輸入與輸出參數(shù)之間的非線性關(guān)系。

以彈性模量E、泊松比μ、內(nèi)摩擦角φ、黏聚力c、平板半徑r和加載速率v為輸入?yún)?shù)，以n=2時(shí)Prony級(jí)數(shù)P=aebz+cedz的參數(shù)a、b、c、d為輸出，建立Kriging代理模型。

輸入?yún)?shù)取值范圍如表3所示，其中土壤力學(xué)參數(shù)以起伏路面為參考，平板半徑采用小尺寸平板，加載速率以M4坦克20 km/h以上的行駛速度為參考。

表3 輸入?yún)?shù)范圍

為使得試驗(yàn)樣本盡可能覆蓋整個(gè)樣本空間，采用最優(yōu)拉丁超立方的方法在樣本空間內(nèi)抽取80組試驗(yàn)樣本?；贗sight-Abaqus聯(lián)合仿真，建立輸入?yún)?shù)與輸出參數(shù)之間的Kriging代理模型。并利用交叉驗(yàn)證的方法對(duì)代理模型進(jìn)行誤差分析，得到每個(gè)輸出參數(shù)響應(yīng)擬合，如圖5所示。

從圖5中可得，誤差分析樣本點(diǎn)對(duì)每個(gè)輸出參數(shù)的預(yù)測(cè)值與真值之間擬合精度良好。通過(guò)復(fù)相關(guān)系數(shù)計(jì)算，得出各輸出參數(shù)R2依次為0.96、0.98、0.94、0.99.

3.4 模型測(cè)試

利用上述代理模型對(duì)起伏路土壤壓力沉陷特性進(jìn)行預(yù)測(cè)。選取典型試驗(yàn)條件如表4所示。

表4 典型土壤壓力沉陷試驗(yàn)參數(shù)

以表4中3種試驗(yàn)條件為輸入?yún)?shù)，得到每種試驗(yàn)條件下的Kriging代理模型輸出結(jié)果，并把仿真結(jié)果和Prony函數(shù)擬合結(jié)果對(duì)比，如圖6所示。

從圖6中可得，Kriging代理模型對(duì)Prony指數(shù)函數(shù)具有良好的逼近效果，并且能夠很好地對(duì)不同土壤力學(xué)參數(shù)和加載條件下的土壤壓力沉陷曲線進(jìn)行擬合。其擬合復(fù)相關(guān)系數(shù)均在0.96以上。

綜上所述，Prony指數(shù)函數(shù)能夠?qū)Σ煌虞d速率和平板尺寸的土壤壓力沉陷特性曲線進(jìn)行擬合，且擬合精度較高，但是Prony函數(shù)在土壤壓力沉陷關(guān)系擬合中的應(yīng)用較為繁瑣，擬合過(guò)程需要依據(jù)土壤壓力沉陷仿真結(jié)果或原位試驗(yàn)結(jié)果。以土壤力學(xué)參數(shù)、加載速率和平板尺寸為輸入，以Prony指數(shù)函數(shù)參數(shù)為響應(yīng)，建立輸入與輸出之間的Kriging代理模型，可以在不需要仿真和試驗(yàn)的條件下，建立不同土壤力學(xué)參數(shù)和加載條件下的土壤壓力沉陷特性模型，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)有限元仿真，研究了加載速率和平板尺寸對(duì)土壤壓力沉陷特性關(guān)系的影響。加載速率的提高會(huì)增大同一沉陷深度時(shí)的土壤承載力，而在仿真范圍內(nèi)，平板半徑的增大會(huì)導(dǎo)致土壤單位面積承載力的減小。從數(shù)值逼近的角度對(duì)土壤壓力沉陷特性曲線進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)Prony指數(shù)函數(shù)擬合方法可以對(duì)不同加載速率和平板尺寸條件下的土壤壓力沉陷特性曲線進(jìn)行擬合，且擬合精度較高。從實(shí)際應(yīng)用的角度出發(fā)，采用Kriging插值法建立了土壤力學(xué)參數(shù)、加載速率和平板尺寸與Prony指數(shù)函數(shù)參數(shù)之間的代理模型，通過(guò)輸入土壤參數(shù)和加載條件可以直接預(yù)測(cè)特定條件下的土壤壓力沉陷特性關(guān)系，避免了進(jìn)行高精度數(shù)值仿真和原位試驗(yàn)的過(guò)程。對(duì)研究土壤承壓沉陷特性具有一定的借鑒意義。