葛鎖良，盛 銳

（合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，合肥 230009）

0 引言

在非線性控制領(lǐng)域，自適應(yīng)抗擾解耦控制是一個具有挑戰(zhàn)性的課題。許多學(xué)者對這類問題進行了研究并取得了一些成果[1～5]。在自適應(yīng)控制上就出現(xiàn)了許多優(yōu)秀的控制算法。例如，具有跟蹤局部誤差的MIMO非線性系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)輸出反饋控制[6]，一類MIMO非線性系統(tǒng)的基于觀測器的自適應(yīng)模糊反演動態(tài)面控制[7]，具有未知控制方向和未知死區(qū)的MIMO隨機非線性系統(tǒng)的基于觀測器的自適應(yīng)模糊跟蹤控制[8]，基于命令濾波的MIMO切換非限制非線性反饋系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)控制設(shè)計[9]。自適應(yīng)解耦控制的研究也取得了突破。例如，文獻[10]給出了一種基于線性化技術(shù)的干擾解耦策略，文獻[11]提出了一種適用于強制循環(huán)蒸發(fā)系統(tǒng)的自適應(yīng)去耦開關(guān)控制，該控制策略包括線性自適應(yīng)去耦控制器、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性自適應(yīng)去耦控制器和切換機制,文獻[12]提出了一種具有未建模動力學(xué)的非線性不確定系統(tǒng)的有效自適應(yīng)切換控制策略，并給出了足夠的穩(wěn)定條件。然而上述文獻[6～12]的問題在于它們必須知道系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。

不同于上述文獻，以下所介紹的算法不需要知道被控對象的結(jié)構(gòu)。例如，受文獻[13]的啟發(fā)，文獻[14]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性動態(tài)解耦控制策略，該算法的思想是采用Taylor展開方法在平衡點處將被控對象模型線性化處理，在平衡點處可以取得較好的控制效果，當遠離平衡點時，控制效果較差甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。文獻[15]提出了一種用于風洞系統(tǒng)的基于多模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性多變量智能解耦控制，文獻[16]提出了一種基于虛擬未建模動態(tài)（VUD）和低階線性模型概念的新型多變量解耦設(shè)計框架，文獻[17]針對一種復(fù)雜工業(yè)過程提出了基于ANFIS的非模型動態(tài)補償?shù)姆蔷€性解耦控制算法。文獻[15～17]都用到了在平衡點附近將被控對象線性化的思想，類似于文獻[14]。文獻[18]針對一類不確定非線性隨機系統(tǒng)提出了模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制算法，文獻[19]針對一類非線性系統(tǒng)利用采樣數(shù)據(jù)輸出反饋對系統(tǒng)進行幾乎干擾解耦，文獻[20]針對一類可任意切換的平面切換系統(tǒng)提出了光滑輸出反饋控制算法。但是文獻[18～20]所提出的算法只適用于單輸入單輸出狀系統(tǒng)。

隨著技術(shù)的發(fā)展，一類數(shù)據(jù)驅(qū)動控制方案[21～23]在過去幾年得到了發(fā)展。例如，一種應(yīng)用于超精密運動階段的數(shù)據(jù)驅(qū)動迭代去耦前饋控制策略[21]，用于赤鐵礦研磨過程安全運行的數(shù)據(jù)驅(qū)動優(yōu)化控制策略[22]，一類具有高階學(xué)習(xí)規(guī)律的非線性離散時間多輸入多輸出系統(tǒng)的數(shù)據(jù)驅(qū)動終端迭代學(xué)習(xí)控制策略[23]。這類數(shù)據(jù)驅(qū)動的控制方案已經(jīng)取得了很好的解耦效果，但是該方法要求被控對象是時不變的。

傳統(tǒng)PID控制作為工業(yè)控制上重要的控制策略，由于其算法簡單、魯棒性好和可靠性高，被大量應(yīng)用于運動控制和過程控制上。但是在現(xiàn)代的工業(yè)控制中，存在著大量的多輸入、多輸出、非線性、強耦合的被控對象.傳統(tǒng)PID控制器已經(jīng)不能完美控制這些被控對象。如果將PID控制器分別加在MIMO非線性系統(tǒng)的n個輸入端，則很難消除由控制輸入引起的操縱耦合。怎么將PID的“利用誤差，消除誤差”的思想應(yīng)用在解耦控制上是一個值得考慮的問題。受文獻[24]的啟發(fā)，本文針對具有未知非線性函數(shù)的強耦合離散非線性對象，設(shè)計一個不依賴于被控對象的PID網(wǎng)絡(luò)（PIDN）控制器。該控制器針對n輸入n輸出系統(tǒng)，將n個PID控制器組合成網(wǎng)，然后定義一個與誤差相關(guān)的能量函數(shù)，利用梯度下降法修正PID參數(shù)對能量函數(shù)進行尋優(yōu)，以此達到對被控對象實現(xiàn)解耦抗擾控制的目的。本文的主要貢獻在于：

1）針對一類具有未知非線性函數(shù)的被控對象，提出了一種基于PID和梯度下降法的新型控制算法。

2）利用李雅普諾夫函數(shù)分析了所提出控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3）相比于大多數(shù)文獻給出的兩輸入兩輸出非線性耦合系統(tǒng)的仿真結(jié)果，本文將所提出的控制算法應(yīng)用于三輸入三輸出系統(tǒng)上，且取得較好的解耦、跟蹤、抗擾控制效果。

1 PIDN控制器分析

由于PIDN控制器不依賴于被控對象，所以對于這類非線性被控對象不再贅述?，F(xiàn)在給出PIDN控制器的結(jié)構(gòu)圖。

圖1 PIDN控制器結(jié)構(gòu)圖

圖1中，α為可調(diào)節(jié)正數(shù)；n為并聯(lián)子網(wǎng)絡(luò)序號（n=1，2，…，h）；i為隱含層神經(jīng)元序號（i=1，2，…，3h）；win為隱含層至輸出層的連接權(quán)重值。

在PIDN控制器中，PID賦予了PIDN控制器“記憶”、“預(yù)測”等表達方式；梯度下降法賦予了PIDN控制器自適應(yīng)的功能；網(wǎng)絡(luò)化設(shè)計賦予了PIDN控制器抵消由控制輸入引起的操縱耦合的能力。

為了更方便的介紹PIDN，將PIDN分為三層結(jié)構(gòu)：輸入層，隱含層，輸出層。將PIDN控制過程分為兩個階段：工作信號正向傳遞過程和誤差信號反向修正過程。

工作信號正向傳遞過程

1）輸入層

輸入層有h個單元，第n個輸出數(shù)據(jù)en(k)為：

2）隱含層

隱含層中共有f=3h個單元，第n個PID子網(wǎng)三個單元的輸入值相同：

隱含層各單元的輸出：

比例（P）單元：

積分（I）單元：

微分（D）單元：

為了方便計算，將隱含層輸出寫成向量形式。

3）輸出層

輸出層有h個神經(jīng)元，輸出層的輸出為隱含層全部神經(jīng)元的輸出值加權(quán)和，計算公式如下：

式(7)中，qi代表向量q中第i個元素。

誤差信號反向修正過程

1）修正算法的選擇

將控制律un（k）代入被控對象，得出控制輸出yn（k）。定義誤差能量函數(shù)：

由式(8)可知，當J逐漸收斂至零時，yn（k）實現(xiàn)了對rn（k）的跟隨，PIDN控制器對被控對象的解耦、抗擾、跟蹤控制問題得到解決。為了使得J逐漸收斂至零，應(yīng)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)權(quán)重向量w，使得從一個初始值w（0）開始，產(chǎn)生一系列的權(quán)重向量序列w（1），w（2），…，讓誤差能量函數(shù)在每一次的迭代中都要下降，即：

本文采用的是一種以迭代下降思想為基礎(chǔ)的無約束最優(yōu)化方法—梯度下降法。在梯度下降法中，對網(wǎng)絡(luò)權(quán)值向量w連續(xù)調(diào)整是在最速下降方向進行的，與梯度向量J(w)方向相反。為了表示方便，記為：

因此，梯度下降法一般表示為：

證明：為了證明梯度下降法滿足式(9)的迭代下降條件，將w（k）附近的一階泰勒級數(shù)展開逼近J（w（k+1）），即：

2）誤差信號反向修正過程

根據(jù)式(11)修正隱含層與輸出層之間的權(quán)重值。

將式(15)中的偏導(dǎo)項展開：

為了解決對象參數(shù)未知帶來的計算麻煩，利用符號函數(shù)sgn(.)代替式(16)中的，則式(16)可表示為：

至此，PIDN控制過程介紹完畢。在控制過程中，需要注意以下問題。

注：1）α、βp、βi、βd為可調(diào)節(jié)的正數(shù)，可影響系統(tǒng)的動態(tài)性能，穩(wěn)定性。其中α為誤差因子，與PIDN的學(xué)習(xí)速度和系統(tǒng)的穩(wěn)定性有關(guān)。βp、βi、βd為PID因子，決定了隱含層輸出值的上限和下限。

2）在梯度下降法迭代尋優(yōu)時，出現(xiàn)了分數(shù)形式，當分母為零時，分母可加一足夠小正數(shù)來解決此問題。

3）網(wǎng)絡(luò)權(quán)值初始值的給定，可以在以零點為中心的小范圍內(nèi)隨機給定，也可以結(jié)合其他尋優(yōu)算法（遺傳算法、粒子群算法）進行整定。

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

將式(15)寫成一般形式：

PIDN控制系統(tǒng)的收斂性取決于學(xué)習(xí)率的選擇，以下利用Lyapunov函數(shù)確定保證系統(tǒng)收斂的學(xué)習(xí)率范圍。

定理2.在PIDN控制系統(tǒng)中，當利用梯度下降法迭代尋優(yōu)時，學(xué)習(xí)率滿足：

可保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明：定義Lyapunov函數(shù)：

式(19)中，J即為誤差能量函數(shù)。

L在迭代過程中的變化量為：

由式(17)可知：

將式(21)、式(22)代入式(20)可得：

定理2證畢。

3 實驗仿真

為了驗證本文所提出的PIDN控制器的控制效果，本文將對PIDN控制系統(tǒng)和文獻[24]所提出的PIDNN控制器進行跟蹤和抗擾對比實驗。1）分別用方波信號、速度信號、加速度信號等輸入信號進行解耦跟蹤控制實驗仿真。2）分別在被控對象輸入端和輸出端加入階躍信號進行解耦抗擾控制實驗仿真。針對上述仿真實驗，本文對PIDN控制系統(tǒng)做了大量的參數(shù)調(diào)試工作。最終將參數(shù)選定為α=0.5、βp=3、βi=3、βd=1、網(wǎng)絡(luò)權(quán)重值初始值在零點附近隨機給定。

考慮以下三輸入三輸出、強耦合、非線性離散系統(tǒng)。

其中未知的非線性部分：

假定控制目標r1為方波信號，r2、r3為階躍信號時，即：

仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 在方波信號下的輸出

假定控制目標r1為速度信號，r2、r3為階躍信號時，即：

仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 在速度信號下的輸出

假定控制目標r1為加速度信號，r2、r3為階躍信號時，即：

仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 在加速度信號下的輸出

假定控制目標r1為方波信號，r2、r3為階躍信號。在1.5s時，被控對象三個輸入端分別加入幅值為0.1的階躍信號作為干擾信號。仿真結(jié)果如圖5所示。

假定控制目標r1為方波信號，r2、r3為階躍信號。在1.5s時，被控對象三個輸出端分別加入幅值為0.1的階躍信號作為干擾信號。仿真結(jié)果如圖6所示。

圖5 在輸入端加擾動下的輸出

圖6 在輸出端加擾動下的輸出

由圖2～圖4可知，無論控制目標是方波信號、速度信號、還是加速度信號。文獻[26]所提出的PIDNN控制器不能有效對被控對象進行解耦，不能對控制目標進行跟隨，仿真效果較差；本文所提出的PIDN控制器可以對被控對象實現(xiàn)解耦且對控制目標進行跟隨。特別是在圖2中，PIDN控制系統(tǒng)由于網(wǎng)絡(luò)權(quán)值是隨機給定的，所以在開始時動態(tài)性能受到了影響，但是在PIDN學(xué)習(xí)一段時間后，動態(tài)性能得到了改善。說明PIDN控制器具有較強的學(xué)習(xí)能力。由圖5、圖6可知，無論在被控對象輸入端加入擾動還是在被控對象輸出端加入擾動，PIDNN控制器在被控對象加入擾動后控制效果變差，而PIDNN控制器可以快速的消除擾動對控制系統(tǒng)的影響，表現(xiàn)出了較強的魯棒性。

4 結(jié)語

本文繼承了PID控制器利用誤差的過去、現(xiàn)在和趨勢變化來消除誤差與不依賴被控對象的優(yōu)點，將PID控制器進行網(wǎng)絡(luò)化設(shè)計，提出了一種針對多輸入多輸出強耦合非線性離散系統(tǒng)的PIDN控制器。該控制器也可以看做是PID控制器與感知機相結(jié)合的產(chǎn)物，PID賦予了感知機“記憶”、“預(yù)測”的功能，使得感知機在激勵函數(shù)為線性函數(shù)且只具有單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的的情況下?lián)碛辛朔蔷€性表達的能力?；谔荻认陆捣ㄐ拚母兄獧C賦予了PID控制器自調(diào)整參數(shù)的能力。PIDN控制器既是PID應(yīng)用的拓展，也是以感知機為代表的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的拓展。

解耦是手段，控制是目的。PIDN控制器將解耦、控制化為一個問題，大大提高了控制效率，節(jié)省了控制成本。目前，PIDN只是在理論上給出了穩(wěn)定條件，但尚未應(yīng)用于工業(yè)控制上。所以本文的下一步工作是將PIDN控制器應(yīng)用于以球磨機、蒸餾塔為代表的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)上，檢驗其控制效果。