王選擇, 洪 潭, 胡曉暉, 翟中生, 王淞略

(1.湖北工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院,湖北 武漢 430068；2.湖北省現(xiàn)代制造質(zhì)量工程重點實驗室,湖北 武漢 430068；3.武漢市康達電氣有限公司,湖北 武漢 430014)

0 引 言

調(diào)幅信號是指載波頻率固定，幅值隨被測對象狀態(tài)發(fā)生改變的信號，其包絡(luò)曲線實時反映被測對象的幅值變化。通常包絡(luò)曲線的獲取方法有硬件處理與軟件處理兩類方法，硬件處理一般采用二極管包絡(luò)檢波電路處理的方式，主要是運用二極管的單向?qū)ㄐ?，?gòu)造絕對值處理電路來獲取調(diào)幅信號的絕對大小。這種方法適合信號較大的單邊帶調(diào)幅信號，受噪聲影響較大，且元件參數(shù)選擇不當，容易出現(xiàn)惰性失真和負峰切割失真，一般不應(yīng)用于數(shù)字采樣處理的高頻載波的調(diào)幅信號之中[1,2]。軟件處理方法主要包括Hilbert幅值解調(diào)法和小波變換法，Hilbert幅 值解調(diào)法是通過Hilbert 變換獲取信號的幅值和相位，由于隨機噪聲的干擾，解調(diào)獲得的包絡(luò)輪廓較為粗糙[3]?；诰€性相位小波具有奇對稱實部與偶對稱虛部的性質(zhì)，小波變換法[4,5]利用小波分解并重構(gòu)一對幅值與頻率均相同的正交信號，再對調(diào)幅信號的幅值變化實現(xiàn)解調(diào)制，小波變換克服了Hilbert變換的不足，提高了包絡(luò)提取的精度，但需要根據(jù)不同的信號選擇相應(yīng)的小波基函數(shù)，且不適合嵌入式系統(tǒng)。

正弦擬合的幅相位算法具有很高的精度，但包絡(luò)計算的逐段擬合耗時長，且要求系統(tǒng)存儲空間大，不適合高速實時處理。為此，本文以最小二乘線性正弦擬合算法[6,7]為基礎(chǔ)，提出了一種數(shù)字式移動正弦擬合快速求解包絡(luò)曲線

的方法。

具體思路如下：對直接AD采樣的數(shù)字調(diào)幅信號在逐段正弦移動擬合過程中，首先對以起始點數(shù)據(jù)段進行完整的正弦擬合，然后結(jié)合前向遞推思想，利用上一次擬合的中間矩陣參數(shù)，在不需要重新擬合的條件下，計算下一點開始的數(shù)據(jù)段擬合結(jié)果，并得到新的中間矩陣參數(shù)，直到獲取移動過程中每一段的擬合結(jié)果，最后根據(jù)擬合參數(shù)與調(diào)制信號的關(guān)系，設(shè)計適合的計算公式，準確求取調(diào)幅信號的包絡(luò)曲線。由于算法充分利用遞推思想，極大降低了計算量與包絡(luò)曲線求解時間，且具有正弦擬合算法抗干擾能力強的特點，同時算法靈活，不僅適合整周期，也適合非整周期采樣數(shù)據(jù)的處理。另外，算法適應(yīng)性廣，對采樣信號是否帶直流偏置無要求。

1 線性正弦擬合算法

1.1 調(diào)幅信號的包絡(luò)解析與正弦擬合算法

調(diào)幅信號是頻率固定幅值隨時間變化的曲線，假設(shè)調(diào)幅信號的公式表達為

x(t)=u(t)cos(φ0+2πfct)+c

(1)

式中fc為載波頻率，u(t)為調(diào)制信號，代表被測對象的幅值，φ0為信號的初始相位，c為信號的直流偏置。調(diào)幅信號直接經(jīng)過滿足采樣定理的A/D轉(zhuǎn)換后，得到等間隔的離散采樣信號

xi=Aicos(φ0+2πifc/fs)+ci

(2)

式中fs為采樣頻率，一般要求fs>10fc，i為采樣序列，Ai為調(diào)幅信號幅值。為了得到調(diào)幅信號的包絡(luò)曲線，需求得式(2)中每個采樣序列對應(yīng)的正弦信號的幅值A(chǔ)i，由于單個數(shù)據(jù)點不能得到信號幅值和相位，需要選取一定區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)集進行正弦擬合。

根據(jù)正弦信號周期性的特點，對整周期采樣點數(shù)的擬合具有更高的精度，因此，包絡(luò)信號的提取一般選擇一個周期的采樣長度進行逐段擬合。事實上，若載波周期不是采樣周期的整數(shù)倍，為減小計算的復(fù)雜度且保證包絡(luò)信號的準確性，則盡量選取與載波周期理論點數(shù)最相近的整數(shù)點數(shù)。

1.2 線性最小二乘正弦擬合算法思想

考慮到信號u(t)的變化頻率遠遠低于載波頻率，調(diào)幅信號的幅值變化緩慢，可認為fc在決定周期Tc內(nèi)幅值與直流偏置均為常數(shù)，故在一個較小的采樣時間段內(nèi)，則式(2)可以寫成

xi=Acos(φ0+iδ)+c+εi

(3)

式中δ=2πfc/fs，為采樣相移量，εi為采樣信號的誤差。實際逐段擬合計算過程中，可假設(shè)每小段采樣區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)i從0開始，即i=0,…,nT-1。為得到參數(shù)A，φ0，c的大小，按照最小二乘擬合的思想，滿足誤差平方和最小原則，令有

a=Acosφ0,b=-Asinφ0

(4)

則有線性化最小二乘擬合為

f(a,b,c)=∑(xi-acos (iδ)+bsin(iδ)-c)2

=min

(5)

因此，求解參數(shù)A，φ0，c轉(zhuǎn)變成求解最小二乘擬合值參數(shù)a，b，c的問題。為使最小二乘擬合誤差最小，滿足式(2)的條件為

(6)

將式(6)寫成矩陣形式，得到等式方程

(7)

令

(8)

則根據(jù)式(8)可以得到

(9)

求解出最小二乘擬合值參數(shù)a，b，c后，即可得到正弦信號幅值A(chǔ)和初始相位φ0。

一次正弦擬合只能得到調(diào)幅信號的一個包絡(luò)點，為了得到所有包絡(luò)點，形成一個包絡(luò)曲線，需要求解出包絡(luò)曲線上每一點對應(yīng)的包絡(luò)幅值，即需要對調(diào)幅信號進行逐段正弦擬合，但這會導(dǎo)致運算量較大，極大地增加了包絡(luò)曲線的求解時間,因而，需要一種能夠進行快速擬合的算法。

2 移動正弦擬合快速算法

2.1 調(diào)幅信號的包絡(luò)解析與正弦擬合算法

從線性最小二乘正弦擬合算法的計算過程可以看出，為了得到采樣數(shù)據(jù)某一點的信號幅值，需要對以該點為中心的一段區(qū)間數(shù)據(jù)進行正弦擬合。且隨著被擬合數(shù)據(jù)點的移動，擬合數(shù)據(jù)區(qū)間也對應(yīng)移動。移動正弦擬合的數(shù)據(jù)區(qū)間移動過程如圖1所示,當求解移動數(shù)據(jù)點T(m)，T(m+1)，T(m+2), …對應(yīng)的正弦幅值時，需要分別對區(qū)間m，m+1，m+2,…內(nèi)的數(shù)據(jù)進行正弦擬合。從圖中可以看出，在相鄰數(shù)據(jù)區(qū)間移動過程中，實際參與擬合的數(shù)據(jù)只是去掉首端值，尾端增加一個值，總數(shù)據(jù)量不變。移動擬合過程與移動平均[8]一樣，上一個數(shù)據(jù)擬合區(qū)間與下一個數(shù)據(jù)擬合區(qū)間存在大量重復(fù)數(shù)據(jù)點的處理。根據(jù)擬合算法的特點，可對重復(fù)點的數(shù)據(jù)進行適當?shù)膮^(qū)分處理，實現(xiàn)移動正弦擬合的快速算法。為此，這里引入向前遞推的算法，來降低擬合計算量，提高移動正弦擬合的計算速度。

圖1 調(diào)幅信號移動正弦擬合區(qū)間

2.2 向前遞推算法與求解公式

假設(shè)當前移動擬合數(shù)據(jù)區(qū)間的數(shù)據(jù)組Xk=[xkxk+1…xk+nT-1]，則下一組為Xk+1=[xk+1xk+2…xk+nT]。根據(jù)式(9)可知，在區(qū)間擬合過程中，每一個區(qū)間都作為一組新的數(shù)據(jù)進行正弦擬合，而每組數(shù)據(jù)正弦擬合的關(guān)鍵在于中間矩陣B與Y的求解。由擬合參數(shù)的推導(dǎo)過程可以看出，參與計算的矩陣B僅與擬合數(shù)據(jù)量以及采樣相移量相關(guān)，因此在移動正弦擬合過程中，矩陣B與逆矩陣B-1是與采樣數(shù)據(jù)無關(guān)的常矩陣，可對其預(yù)先初始化。在實際移動擬合過程中，為得到區(qū)間長度為nT的擬合區(qū)間中間點的幅值與相位，式(8)中的矩陣B改造為如下形式

B=

其中,r=(nT-1)/2，并且由式(8)可知矩陣Y是隨著區(qū)間數(shù)據(jù)組的變化而發(fā)生改變的。假設(shè)數(shù)據(jù)組Xk對應(yīng)的矩陣為Yk，數(shù)據(jù)組Xk+1對應(yīng)的矩陣為Yk+1，那么分別有

應(yīng)用三角函數(shù)公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可以發(fā)現(xiàn)Yk+1與Yk之間存在如下的遞推關(guān)系

(10)

顯然在Yk已知的條件下，此遞推公式通過預(yù)存cosδ，sinδ，cos((nT-1)δ)與sin((nT-1)δ)四個常量，僅需要少許的計算量即可求得Yk+1的值，極大地降低了矩陣Yk+1的計算工作量，從而大大降低了整體正弦移動擬合的計算工作量。在得到矩陣B-1與Yk的基礎(chǔ)上，利用式(9)即可以快速得到擬合值ak，bk，ck。

值得指出的是，由于正弦擬合需要一定的數(shù)據(jù)量，因此在移動正弦擬合算法同移動平均一樣，出現(xiàn)邊沿損失現(xiàn)象，所獲得的包絡(luò)曲線數(shù)據(jù)量比采樣數(shù)據(jù)少一個正弦擬合數(shù)據(jù)量nT。

2.3 遞推算法的運算復(fù)雜度分析

結(jié)合Yk遞推計算量與正弦擬合公式(9)，計算得到遞推法與直接擬合的運算量對比圖如圖2所示。

圖2 遞推法與直接擬合的運算量對比

圖2中橫縱坐標均為對數(shù)坐標顯示，沒有采用遞推算法的每一次正弦擬合，需要2nT+9次浮點乘法運算，3(nT-1)+6次加法運算；而采用遞推算法后僅要求15次乘法運算與14次加法運算，與區(qū)間數(shù)據(jù)量nT大小無關(guān)。從預(yù)存函數(shù)值空間來看，非遞推算法要求預(yù)存2nT個正余弦函數(shù)值，而遞推算法僅需4個函數(shù)值，所占內(nèi)存空間少，易于單片機嵌入式系統(tǒng)的實現(xiàn)。由于非遞推擬合算法的運算復(fù)雜度正比于擬合數(shù)據(jù)量，遞推算法隨著nT的增加，速度優(yōu)勢更加明顯。假設(shè)1 000個采樣數(shù)據(jù)，不同周期采樣點的計算工作量比較。如每個周期達到100點以上的條件下，遞推移動正弦擬合運算相對于直接擬合算法乘法計算次數(shù)縮小1/15，加法次數(shù)縮小到1/20，這有利于高頻率采樣信號的處理，且總體計算量與采樣頻率無關(guān)。

3 包絡(luò)曲線的快速求解及實例

3.1 包絡(luò)曲線的求解方法

理論上,包絡(luò)曲線所求結(jié)果是調(diào)幅信號的幅值曲線。在得到正弦移動擬合結(jié)果ak，bk，ck后，可以按照如下公式(11)，直接計算幅值A(chǔ)k

(11)

嵌入式系統(tǒng)中是通過迭代運算求取平方根，為了減小計算量，可以采用對擬合值直接求絕對值的方法來計算包絡(luò)曲線。根據(jù)公式(4)，可知正弦參數(shù)擬合值得絕對值滿足

在載波采樣周期nT內(nèi)，幅值A(chǔ)k近似滿足如下關(guān)系

(12)

因此，可直接通過求解擬合參數(shù)的絕對值，來求取包絡(luò)幅值曲線，將平方運算轉(zhuǎn)換成加法與乘法運算，可以顯著降低移動擬合后包絡(luò)曲線的計算量。

如圖3所示為某包絡(luò)信號正弦擬合參數(shù)擬合值ak與bk的絕對值及移動平均曲線圖。

圖3 擬合參數(shù)的絕對值及其移動平均結(jié)果

圖3中所顯示的是采樣信號第750～850個采樣點的處理結(jié)果，故結(jié)果中不包括移動擬合和移動平均所導(dǎo)致的邊沿效應(yīng)。從圖中局部放大的絕對值移動平均曲線來看，兩參數(shù)的ak,bk絕對值移動平均存在較大的周期波動起伏，進一步觀察可以看出，兩者的波動大小正好相反，可以互相彌補，兩者的絕對值均值的移動平均更能反映實際的包絡(luò)曲線。故包絡(luò)幅值的計算公式修正如下

(13)

3.2 超聲測距解包絡(luò)實例

在超聲解調(diào)測距系統(tǒng)中，控制輸出激勵信號，返回的超聲波回波放大信號如圖4所示。

圖4 超聲波回波采集信號

其中超聲波發(fā)射探頭輸出頻率fc為40 kHz的方波激勵信號，回波放大信號直接采用STM32單片機內(nèi)部的12位A/D轉(zhuǎn)換器，并設(shè)置為其最高采樣頻率6/7 MHz，即采樣相位間隔δ為7π/75，則一個信號周期內(nèi)的采樣點數(shù)為21.43，采樣序列總長度為2 000。圖中的回波曲線不同于常規(guī)的回波曲線，原因在于系統(tǒng)的超聲發(fā)射采用了正反向反復(fù)激勵的輸出方式[9,10]。

在超聲回波移動正弦擬合過程中，首先選取21個采樣點作為固定擬合長度進行移動正弦擬合(非整周期擬合)并計算出常數(shù)矩陣B與B-1，再根據(jù)采樣信號獲得3個初始正弦擬合參數(shù)，運用遞推算法得到所有區(qū)間段的擬合參數(shù)值，最后根據(jù)式(13)得到移動正弦擬合過程中的第500～1 000數(shù)據(jù)點的擬合相位、擬合信號以及擬合誤差的如圖5所示.從圖5 (a)可以看出采樣信號的波谷對應(yīng)的擬合相位為0，波峰對應(yīng)的擬合相位為π (或-π)，從圖5(b)可以看出:原始信號與擬合信號基本重合，圖5 (c)顯示出擬合誤差較小且為白噪聲，與預(yù)期結(jié)果一致。

圖5 移動正弦擬合結(jié)果

快速移動正弦擬合求解后，對擬合求解參數(shù)ak，bk的絕對值和進行移動平均，利用包絡(luò)曲線的求解公式(13)就能夠快速計算出調(diào)幅信號的上包絡(luò)。圖6顯示了有效部分采樣點的原始信號及根據(jù)移動正弦擬合計算得到的包絡(luò)曲線圖。

圖6 超聲測距輸出信號解包絡(luò)

圖6中為了更加清晰顯示包絡(luò)曲線的求解效果，包絡(luò)曲線由包絡(luò)幅值A(chǔ)k與直流偏置ck之和替代，可以看出移動正弦擬合能夠較為準確地獲取調(diào)幅信號的包絡(luò)曲線。

4 結(jié) 論

分析對比了直接正弦擬合與遞推正弦擬合求解包絡(luò)曲線的算法復(fù)雜度，表明該方法在高頻采樣中運算量與存儲

空間量都具有明顯的優(yōu)勢。提出利用擬合參數(shù)絕對值均值的移動平均方法代替幅值公式求解調(diào)幅信號的包絡(luò)線，進一步降低了計算量，且適宜嵌入式系統(tǒng)的算法設(shè)計。同時該算法適用于非整周期采樣擬合，應(yīng)用于超聲波信號的包絡(luò)曲線解調(diào)實驗中，能快速有效獲取采樣信號的包絡(luò)曲線。