安徽省銅陵市第一中學(xué) (郵編：244031)

1 題目呈現(xiàn)

2019年合肥市包河區(qū)中考一模第23題為：

圖1

圖2

圖3

已知△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,∠ACB=2∠B,CD是∠ACB的角平分線.(1)如圖1，若∠A=∠B，則a、b、c之間的關(guān)系是；

(2)如圖2，求證：c2-b2=ab；

2 解法探究

2.1 第(1)小題

2.2 第(2)小題

第(2)小題的實(shí)質(zhì)就是證明“△ABC中，若∠C=2∠B,則c2-b2=ab”.這是三角形中由角度關(guān)系向邊長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化的經(jīng)典問題，我們可以從三角運(yùn)算和幾何方法兩個(gè)方面考慮.由于三角運(yùn)算，涉及邊角關(guān)系和正、余弦定理，屬于高中知識(shí)，這里不再展開.

以下從幾何關(guān)系方面展開探究.

方法一(母子相似)

評(píng)析本證法根據(jù)題目所給的角平分線尋找相似三角形，再利用比例性質(zhì)進(jìn)行變形到達(dá)證明目標(biāo)，與參考答案方法一致.

圖4

方法二(另一組母子相似)

如圖4，延長(zhǎng)AC至E,使得CE=CB.

由于∠E=∠CBE,

所以∠ACB=2∠E=2∠ABC=∠ABE.

整理得c2-b2=ab.

評(píng)析本證法是利用形外作輔助線尋找相似三角形，構(gòu)圖上另辟蹊徑，方法巧妙自然.

圖5

方法三(托勒密定理)

如圖5，構(gòu)造等腰梯形ACBE,則C、D、E三點(diǎn)共線.

由∠ACB=2∠CBA=∠CBE得∠CBA=∠ABE=∠BAE,所以AC=BE=AE=b.

由于等腰梯形ACBE是圓內(nèi)接四邊形，

所以根據(jù)托勒密定理得AB·CE=CB·AE+AC·BE,

即c2=ab+b2,移項(xiàng)得c2-b2=ab.

評(píng)析本方法先構(gòu)造一個(gè)等腰梯形ACBE,再利用托勒密定理完成證明，高效直接.

方法四(張角定理)

整理得c2=ab+b2,即c2-b2=ab.

評(píng)析本方法先利用張角定理的角平分線的特殊狀態(tài)，再引入邊長(zhǎng)關(guān)系運(yùn)算，體現(xiàn)了幾何法與代數(shù)法完美結(jié)合.

2.3 第(3)小題

評(píng)析①這里CD+BC=AC需要證明，方法可對(duì)AC截長(zhǎng)，也可以對(duì)BC補(bǔ)短，其細(xì)節(jié)留給讀者；②本方法通過三角形的相似比引入邊長(zhǎng)運(yùn)算，再結(jié)合邊的長(zhǎng)度之間的特殊關(guān)系CD+BC=AC代入完成證明.

方法二如圖6，在BC的延長(zhǎng)線上，取一點(diǎn)E,使得∠EAC=∠CAB,

容易證明∠E=∠ACE=3∠A,所以AC=AE=b.

在△ABE中，AC是角平分線，

圖6

評(píng)析本方法通過形外作圖由三角形內(nèi)角平分線定理引入邊長(zhǎng)運(yùn)算，再結(jié)合角的特殊性得出邊之間的相等關(guān)系代入完成證明.

方法三由∠ACB=2∠B得c2-b2=ab,即c2=b(a+b)；

又∠B=2∠C,同理可得b2-a2=ac,即ac=(a+b)(b-a).

評(píng)析本方法要求對(duì)已知條件作充分挖掘，深刻理解并靈活應(yīng)用第2題的結(jié)論.進(jìn)而得出兩個(gè)代數(shù)式，再對(duì)它們聯(lián)立進(jìn)行適當(dāng)變形完成證明.體現(xiàn)出邏輯推理、運(yùn)算求解、創(chuàng)新思維等多重?cái)?shù)學(xué)能力.

3 本質(zhì)探索

3.1 圖形生成過程

本題的本質(zhì)核心是△ABC中，∠ACB=2∠B這一幾何關(guān)系與c2-b2=ab的代數(shù)形式等價(jià).要想處理好這里面的推理關(guān)系，充分探索滿足∠ACB=2∠B的△ABC的幾何構(gòu)型成為關(guān)鍵.從角的關(guān)系來(lái)看，可以從平分∠ACB或者加倍∠B從而產(chǎn)生等角這兩個(gè)思路下手.

方法一(作角平分線)

作∠ACB的平分線交AB于D,

由∠ACB=2∠B得∠ACD=∠DCB=∠B,于是∠ACD=∠DCB且DC=DB.

所以我們可以這樣理解原題圖形的形成過程：

圖7

如圖7，先在以D為圓心，DB為半徑的圓上取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C形成等腰△DCB.再以CD為對(duì)稱軸，作出CB的對(duì)稱直線CA交BD的延長(zhǎng)線于A.

注意①由上即可得出原題的第1和第3小題是動(dòng)點(diǎn)C在圓上的不同特殊位置形成，其中第1題最為特殊，此時(shí)∠CDB為直角，△ACB為等腰直角三角形；②按照這個(gè)思路不變，圖形也可以換個(gè)生成的方式，在∠ACB的角平分線上取一點(diǎn)D,再以D為圓心，DC為半徑作圓交BC于B,BD的延長(zhǎng)線交CA于A；③CA也可以看做是等腰△DCB外接圓在點(diǎn)C處的切線.

方法二(以AB為軸作軸對(duì)稱)

作BC的垂直平分線，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于垂直平分線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,AD、BC的中點(diǎn)分別記為M、N.易得:ADBC為等腰梯形且AC=AD=DB.

圖8

所以我們也可以這樣理解圖形的形成過程：

如圖8，先作一個(gè)等腰梯形ADBC且AC=AD=DB(作法略)，而△ACB就是等腰梯形ADBC除去兩條相等的鄰邊AD、DB形成△ADB所留下來(lái)的圖形.

評(píng)述第2題解法六中構(gòu)造等腰梯形的做法就是基于這樣的圖形理解.

方法三(以BC為軸作軸對(duì)稱)以BC為對(duì)稱軸，作出BA的對(duì)稱直線BE交AC于E.

由于∠ACB=2∠ABC=2∠CBE,所以∠EBC=∠CBE.

所以我們還可以這樣理解圖形的形成過程：

圖9

如圖9，先作∠XBy的角平分線，以角平分線上一點(diǎn)C為圓心，CB為半徑畫圓交By于E,EC與Bx的交點(diǎn)設(shè)為A.

評(píng)述①第2題解法二形外作輔助線就是基于這樣的圖形理解；②注意方法三與方法一形成的關(guān)系，他們的本質(zhì)是相通的.

3.2 等價(jià)條件分析

通過以上的探究可以得出：在△ABC中，以下條件任意兩個(gè)等價(jià)①∠C=2∠B,②c=2bcosB,③b=a-2bcosC,④c2-b2=ab.

值得注意的是，上述4個(gè)條件都是關(guān)注三角形的基本元素.其中條件①是純粹角的倍數(shù)關(guān)系，條件④是純粹邊的關(guān)系，條件②、③是邊和角的混合關(guān)系，它們雖然形態(tài)各異，但是都簡(jiǎn)潔直觀，體現(xiàn)出聯(lián)系的本質(zhì).除此以外，筆者還以∠C=2∠B這一條件得出一些幾何關(guān)系，前提是引進(jìn)一些新的點(diǎn)或線段，具體的有(圖略)：

(1)若AE是∠A的內(nèi)角平分線，E在BC上，則AB=CE+AC；

(2)若AF是∠A的外角平分線，F(xiàn)在BC延長(zhǎng)線上，則AB=CF-AC；

(3)若AH是BC邊上的高線，點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)，

則①AC=2HM,②當(dāng)∠C≤90°時(shí)，BH=AC+CH,

③當(dāng)90°<∠C≤120°時(shí)，BH=AC-CH；

(4)過A作∠C的內(nèi)角平分線的垂線，垂足為G,則AB=2CG.

4 特色分析

每一道優(yōu)秀的把關(guān)試題的產(chǎn)生，一定是經(jīng)歷了命題組專家辛苦的思考，凝聚了集體的心血與智慧.下面我們來(lái)分析這道把關(guān)題的特色.

本題立足基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)解決問題的通性通法.《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》指出，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在知識(shí)的應(yīng)用中不斷鞏固和深化.試卷既然選擇讓平面幾何題作為把關(guān)題，就應(yīng)該立足于初中的基本圖形，著眼于解幾何題的基本方法，注重考查邏輯推理、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸等基本能力. 本題涉及的知識(shí)點(diǎn)、幾何圖形與解決辦法都是基本的，突出了對(duì)通性通法的重點(diǎn)考查，同時(shí)在思維的考查上又分量十足，充分體現(xiàn)出把關(guān)題的功能.

本題綜合適當(dāng)，準(zhǔn)確考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).作為初三畢業(yè)班模考的把關(guān)題，必須要具有適當(dāng)?shù)木C合性，綜合性稍強(qiáng)的試題不僅可以考查學(xué)生對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，更可以考查學(xué)生分析問題解決問題的關(guān)鍵能力. 當(dāng)然把關(guān)題的綜合性要自然、得體，過輕達(dá)不到考查效果，過重則增加考生負(fù)擔(dān)，都會(huì)影響試題的效度.本題綜合了相似三角形的判定和性質(zhì)、代數(shù)式的變形等多個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生方法、能力的考查也恰如其份、適中得體，能準(zhǔn)確地達(dá)成考查的目標(biāo).

本題屬于老題新編，精心設(shè)計(jì)富有探索性的問題. 由于中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的局限，考試中不可能也沒必要全面回避經(jīng)典問題，然而我們關(guān)注是的如何用專業(yè)的命題技術(shù)，使得這些老問題為今所用，起到預(yù)期的考查效果.筆者查閱相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)上個(gè)世紀(jì)八十年代的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中就有很多類似的試題，收集如下：

①(1980年上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)賽)在△ABC中，最大角A是最小角C的二倍，夾角兩邊b=5,c=4,求第三邊a和三角形面積.

②(1985年新加坡中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)設(shè)ABC是一個(gè)三角形，∠A=4∠C,∠B=2∠C,求證：(BC+AC)·AB=BC·AC.

③(1985年中國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若角A、B、C的大小成等比數(shù)列，且b2-a2=ac,則角B的弧度數(shù)等于.

④(第10屆IMO)證明：邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形有且只有一個(gè).

本題的設(shè)計(jì)中，第一問是一種特殊狀態(tài)，同時(shí)也為證法二的討論提供素材支持，引發(fā)學(xué)生對(duì)特殊性的關(guān)注.第二問中角平分線能進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生從幾何的角度分析試題，實(shí)屬點(diǎn)睛之筆.第三問的本質(zhì)是倍角的嵌套，如果學(xué)生有很好的發(fā)現(xiàn)思維與分析問題的能力，就不必另起爐灶，立即從代數(shù)的方向利用2的結(jié)論就能乘勢(shì)而上，勢(shì)如破竹般解決問題.

由此可見，整個(gè)試題設(shè)計(jì)巧妙，特色鮮明，特殊與一般、幾何與代數(shù)相互交融. 而且富有層次性、探究性、綜合性. 引導(dǎo)學(xué)生探尋自然的思考方法，追求對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)與核心素養(yǎng)、關(guān)鍵能力的考查，對(duì)一線的課堂教學(xué)也起到了很好的導(dǎo)向作用.