王筠

摘 要：函數(shù)貫穿整個高中數(shù)學(xué)，并在高考中占據(jù)重要地位，所以高一新生對于函數(shù)的掌握至關(guān)重要。而分段函數(shù)作為一類重要的函數(shù)，能有效的考察函數(shù)的概念以及性質(zhì)，同時體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想。本文旨在整理分段函數(shù)中不同題型的解題方法，以期更好的提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：分段函數(shù);求值;不等式;單調(diào)性;奇偶性

一、分段函數(shù)求值問題

解題方法：確定變量在哪個范圍內(nèi)，代入相應(yīng)解析式求解。

例1 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?，若f（f（a））=2，則a=

分析：已知函數(shù)值為2，所以先求出分段函數(shù)的值域，確定f（a）和a所在的范圍。

當x≤0時，f（x）=（x+1）2+1在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，0）上單調(diào)遞增

二、分段函數(shù)中不等式的求解

解題方法：分段求解。注意在各段求解中求交集，最后求解集時求各段解集的并集。

例2 設(shè)函數(shù) ? ? ?，求滿足

三、分段函數(shù)的單調(diào)性問題

解題方法：要確定分段函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)首先確定每段函數(shù)的單調(diào)性，其次求解分段點處的函數(shù)值大小，最后確定分段函數(shù)再整個定義域上的單調(diào)性.

例3 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?，若對任意x1、x2∈R，且x1≠x2，有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））<0成立，則實數(shù)a的值是（ ?）

A. 2 ? ? B. ? ?C. ? ? D.1

分析：由（x1-x2）（f（x1）-f（x2））<0可以確定函數(shù)f（x）在定義域R上為減函數(shù)，∴f（x）在每一段上均為減函數(shù)，且在分段點處滿足右側(cè)圖像在左側(cè)圖像的下方.

解：由題意 可得

四、分段函數(shù)的奇偶性問題

解題方法：先求分段函數(shù)的定義域，再分段判斷.若每一段都滿足f（x）=f（-x），則f（x）為偶函數(shù);若每一段都滿足f（-x）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù).

例4.判斷 ? ? ? ? ?的奇偶性.

解：當x>0時，-x<0，∴f（-x）=（-x）+1=f（x）

當x<0時，-x>0，∴f（-x）=-（-x）+1=x+1=f（x）

∴f（x）為偶函數(shù).

分段函數(shù)中還有一些常見的題型，比如分段函數(shù)與函數(shù)的零點問題時巧妙的運用數(shù)形結(jié)合的方法來解決這類問題，“以形助數(shù)”，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化來解決問題。希望本文能給大家?guī)硪稽c啟示。