南京市第九中學 張榮彬

在空間直角坐標系O-xyz中，分別取與x軸、y軸、z軸方向相同的單位向量i，j，k作為基底，對于空間任意一個向量a，根據(jù)空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組（x，y，z），使a=xi+yj+zk，則稱（x，y，z）為向量a的坐標．空間向量的坐標化，為我們證明空間平行與垂直關系、探求空間角與距離的大小提供了新視野、開辟了新思路．

例1如圖1，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．

（1）證明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

圖1

圖2

圖3

分析直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠BAD=60°，可得DE⊥DA．以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖2所示的空間直角坐標系D-xyz，

（1）設k=（a，b，c）為平面C1DE的法向量，則取c=1得k=（4，0，1），由于，因MN?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE．

（2）設m=（x，y，z）為平面A1MA的法向量，n=（p，q，r）為平面A1MN的法向量

從上例可以看出，利用坐標法求解立體幾何問題由以下4個環(huán)節(jié)構成：

（1）建系：建立合適的空間直角坐標系；

（2）求坐標：求出相關點及向量的坐標；

（3）向量運算：利用有關公式進行論證、計算；

（4）結論：將上述運算結果轉化為幾何結論．

這個解題“四步曲”易被同學們接受，但具體到每個環(huán)節(jié)，似乎都有些要說的話．

話題1：如何建立空間坐標系？

當確定使用空間向量來解題時，建系就是解決問題的關鍵所在．建立空間直角坐標系的常用方法有：利用共頂點且相互垂直的三條棱建系、利用線面垂直建系、利用面面垂直建系、利用圖形中的對稱關系建系．不管何種情形，都是要利用、發(fā)現(xiàn)或構造圖形中“三垂直”的關系．

（1）題目的背景是長方體、正四棱柱、正方體、直角四面體時，建系無懸念；

（2）正棱錐可以利用底面中心及高所在的直線建系；底面是菱形的直四棱柱，如例1，可利用所給的菱形特征或利用菱形對角線性質(zhì)（如圖3）來建系；對于正三棱柱通?？梢詤⒄請D4或圖5來建系；

（3）除以上特殊圖形的常規(guī)建系方法外，常會出現(xiàn)一些新的變化．

圖4

圖5

圖7

例2如圖6，在四棱錐S-ABCD中，△BCD為等邊三角形，AD=AB=SD=SB，∠BAD=120°．若二面角S-BD-C為直二面角，求直線AC與平面SCD所成角的正弦值．

分析題中雖然沒有現(xiàn)成的三線垂直，但聚焦底面四邊形可以發(fā)現(xiàn)AC是BD的垂直平分線，設AC與BD交于O，又由SD=SB得SO⊥BD，又SO?面SBD，面SBD⊥面ABCD，面SBD∩面ABCD=BD，所以SO⊥平面ABCD．以O為坐標原點，OC，OB，OS所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖7所示的空間直角坐標系，……

本例坐標系的建立，使用了平面幾何知識，也使用了平面垂直的性質(zhì)定理．雖然說向量坐標化是將幾何問題代數(shù)化，但在代數(shù)化（建系）之前，還需要幾何性質(zhì)的支撐．這是復雜問題建系時的難點所在．

話題2：如何確定點或向量的坐標？

當成功地建立空間直角坐標系后，接下來便是寫出相關點的坐標，繼而求出有關向量的坐標．一般的方法是先寫出xOy平面內(nèi)點的坐標，然后加上一個“高度”坐標后就是該點正上方的點的坐標了．

（1）畫出xOy平面內(nèi)的真圖．

由于空間圖形是直觀圖，因此底面的平面圖形可能“失真”，這需要我們借助空間想象寫出各點的坐標，必要時也可在草稿紙上畫一個真圖，這樣可以更準確地表示出所求點的坐標．

如例1中的圖2、圖3及例2中圖7，其底面的平面圖分別為下面的圖8所示，各點坐標容易求得．

圖8

（2）利用向量相等求出點的坐標．

例3如圖9，在三棱柱ABC-A1BC1中，H是正方形AA1B1B的中心，C1H⊥平面AA1B1B，且試建立合適的坐標系，并寫出各點的坐標．

圖9

圖10

分析如圖10，以點H為坐標原點，分別以直線HA，HA1，HC1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，依題意得H（0，0，0），A（2，0，0），A1（0，2，0），B（0，-2，0），B1（-2，0，0），C1（0，0，），但點C的坐標如何求出？將它投影到xOy平面內(nèi)又落在何處？此時可以參考其他信息，比如，設C（x，y，），由向量相等可求出C的坐標．

話題3：判斷平行與垂直、求角與距離的大小有哪些向量工具？

直線的方向向量和平面的法向量在研究空間線面位置關系中起著關鍵作用：

（1）直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量判定方法，主要是借助直線的方向向量與平面的法向量的位置關系來完成；

（2）求異面直線所成的角：異面直線AC，BD的夾角β的余弦值為cosβ=

（3）求直線與平面所成的角：求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，其余角就是斜線和平面所成的角；

（4）求二面角：二面角的大小就是兩平面的法向量所成角（或其補角）；

（5）求點到面的距離（如圖11）

圖11

在此公式中，A為平面α內(nèi)任意一點，解題時只需選擇坐標便于計算的點即可，常稱為參考向量．這樣，我們可以寫出求點面距離的一個算法：①求平面的法向量；②選擇參考向量；③求參考向量在平面法向量上投影的絕對值．

在例3中，如求A到平面A1B1C1的距離d，可先求平面A1B1C1的法向量n，當確定為參考向量時，則當然用計算也是可行的．直線與平面的距離、平面與平面的距離，都可轉化為點到平面的距離．

話題4：怎樣用向量運算結果回答立體幾何的問題？

這是解題的最后環(huán)節(jié)，主要是要弄清向量結論與幾何問題的關系，如當直線的方向向量與平面的法向量垂直時，要交代線不在面內(nèi)才可有線面平行的結論；兩條異面直線所成的角不一定是兩直線的方向向量的夾角；二面角的大小也不一定是兩平面法向量的夾角等細節(jié)都不能忽視．