南京市大廠高級中學 余建國

基本不等式的應用是高考的“必考點”．由于不斷地改編和創(chuàng)新，這類問題看上去越來越復雜，但條件和目標的本質結構沒有變化．本文通過一個問題的多角度求解，幫助同學們從結構的角度尋找解題的入口，掌握這類問題本質和求解的通法．

若干高考試題或模擬試題的“創(chuàng)作”思路都是源于下列問題：

題根已知x＞0，y＞0，x+y=1，求的最小值．

這道題是一個“題根”，對應的“乘1法”是眾多方法中用起來比較利索的方法，只要條件和目標的結構符合這樣的要求，就可以“套用”，系數不為1也是如此．

例已知正數x，y滿足的最小值為_______．

分析一注意到互為倒數關系，湊一湊的倒數以及它們的關系，將條件向目標方向配湊．

解法一由題意得

分析二反過來想，將目標向條件看齊，對這種形式分離常數，出現后，對化整式后因式分解，形成基本模式．

解法二由題設可得（x-1）（y-1）=1．

分析三由，得這樣目標就可以簡化為4y+9x了，故問題轉化為：已知正數x，y滿足，則4y+9x的最小值為______．利用條件對目標變形，轉化到最原始、最基本的題型上來了．由此可見，解題時不能隔離條件和目標，“用聯系的觀點看問題”是一種哲學高度．

分析四對照題根，令則已知條件為a+b=1，目標問題轉化為：已知正數a，b滿足a+b=1，則的最小值為_______．試試換元！通過換元，可以化陌生為熟悉．換個角度說，命題老師就是在題根的基礎上將字母換復雜而已．另外，對照分析三，可知分析四與分析三的結構是一樣的．

分析五由于，所以y可以用x表示，即將目標消去y，化為關于x的一元函數求解，這種方法體現了函數思想，是以不變應萬變的通法．

解法五由已知得

分析六除基本不等式外，如果我們掌握更多的重要不等式，如柯西不等式，那么解決這類問題時渠道就更多，過程更簡單明了．如解法一用柯西不等式證明為：

又如：已知a，b是正數，x，y是任意實數，則當且僅當時取“=”．其證明：左邊-右邊=注意到它的結構，利用這個結論，可有如下解法．

解法六令則a+b=1，

這是將分析四證了，但不是題根中的“乘1法”．類似地，如解法七．

解法七因為

總之，基本不等式結構簡單，均勻對稱，兩個正數通過加法、乘法、除法和開方四種運算，產生了它們算術平均數與幾何平均數的內在規(guī)律．這種內在規(guī)律有嚴謹的結構，解題的入口就是分析結構，對條件、目標作適當變形、換元和轉化．