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        準(zhǔn)線之“準(zhǔn)”有深意

        2019-12-20 08:04:54吳江盛澤中學(xué)孫四周
        關(guān)鍵詞:拋物線

        吳江盛澤中學(xué) 孫四周

        問:“圓心是圓的一部分嗎?”

        答:“不,圓心不是圓的一部分.”

        問:“準(zhǔn)線是拋物線的一部分嗎?”

        答:“不,準(zhǔn)線不是拋物線的一部分.”

        雖然圓心是圓所固有的要素,但是它不能算是圓上的點(diǎn),因?yàn)樗环蠄A的定義,圓心到它自身的距離不等于半徑長(zhǎng)(它等于0).

        類似地,拋物線的準(zhǔn)線是其固有的一個(gè)要素.拋物線是用準(zhǔn)線和焦點(diǎn)來定義的,可以說它一刻也離不開準(zhǔn)線和焦點(diǎn),但準(zhǔn)線(以及焦點(diǎn))不算是拋物線的一部分.

        那么準(zhǔn)線“有實(shí)際意義”嗎?

        一、拋物線與“拋物”的關(guān)系

        畫出一條拋物線比畫出一個(gè)圓容易得多.撿起一塊小石頭斜向上拋出,它在空中翩然飛過又在不遠(yuǎn)處回歸地面,這條美麗的弧線就是拋物線.這個(gè)做法非常簡(jiǎn)單,這個(gè)說法非常直接,數(shù)學(xué)上為什么不用它來做拋物線的定義(即“斜拋物體所形成的軌跡叫做拋物線”)呢?因?yàn)檫@里要用到“斜”“拋”“物體”“(運(yùn)動(dòng))軌跡”等字眼,而物體在運(yùn)動(dòng)過程中還要考慮地球的引力、空氣阻力以及初速度大小等等,初速度過小和過大都不能形成拋物線(過小是橢圓,過大是雙曲線).?dāng)?shù)學(xué)需要抽象化,就像物理上抽象出“理想氣體”“理想彈簧”“理想真空”“理想電阻”一樣.“理想的斜拋運(yùn)動(dòng)”中,地球是無限大的(物體所受引力平行向下)、空氣是不存在的(沒有阻力),這在自然界中根本不可能存在,而其表述反而不如“平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l(F?l)距離相等的點(diǎn)的集合”更容易、更明確,所以數(shù)學(xué)上的定義采用了后者.

        斜拋物體的軌跡“真的”是拋物線嗎?

        設(shè)以仰角α,速率v0斜向上拋出一個(gè)物體,則該運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)運(yùn)動(dòng),一是豎直方向的勻減速運(yùn)動(dòng),二是水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)(豎直方向受地球引力,水平方向不受力).建立坐標(biāo)系如圖1,設(shè)在t時(shí)刻物體的坐標(biāo)為P(x,y),則

        圖1

        這是一個(gè)參數(shù)方程,消去參數(shù)t即得物體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為:

        這是一個(gè)二次函數(shù),其圖象我們稱之為拋物線.

        這里所說的“拋物線”是實(shí)際斜拋物體的軌跡嗎?可以說是的.只不過我們忽略了空氣阻力,而且認(rèn)為地球引力始終是向下的(也就是把地球想象成無窮大,地面是無限的水平平面),這就是高中教材的處理方法.

        它與解析幾何上所說的拋物線是同一個(gè)概念嗎?是的.只要我們重新建立一個(gè)坐標(biāo)系,把坐標(biāo)原點(diǎn)選在拋物線的頂點(diǎn),一條坐標(biāo)軸是拋物線的對(duì)稱軸所在的直線,就可以得到解析幾何上的“拋物線”標(biāo)準(zhǔn)方程.所有二次函數(shù)均可如此處理,因此二次函數(shù)的圖象與解析幾何中的拋物線確實(shí)是等價(jià)的.

        二、拋物線準(zhǔn)線的實(shí)際意義

        注意,這里不含有傾斜角α,只含有初速度v0(g是常數(shù)),是不是很神奇?拋物線的準(zhǔn)線與斜拋的角度無關(guān),只與初速度有關(guān).也就是說,初速度相同的一系列的拋物線,其最大高度以及水平跨度互不相同,但是它們有共同的準(zhǔn)線(圖2),這是我們當(dāng)初所沒有想到的.

        圖2

        三、特別的愛給特別的你

        ①中α≠90°,當(dāng)α=90°時(shí),正好是豎直上拋運(yùn)動(dòng),此時(shí)有:

        此式不是關(guān)于x的二次函數(shù),此過程中物體一直在y軸上,先上后下,軌跡是折線而不是拋物線.方程②描述的,是該物體的高度隨時(shí)間而變化的規(guī)律,由此很自然地想到計(jì)算它的最大高度.根據(jù)二次函數(shù)最大值公式,

        也就是說,如果以初速度v0把物體豎直上拋,它所能達(dá)到的最大高度恰好是準(zhǔn)線所在的位置.這就揭示了一個(gè)永恒的、也是冷酷的自然規(guī)律:調(diào)整斜拋的方向,固然可以使物體達(dá)到不同的高度,然而大自然為你設(shè)立了一個(gè)天花板,你永遠(yuǎn)突破不了.但是大自然同時(shí)給了我們希望,那就是:要想達(dá)到更大的高度,只要增加初速度就行了.有在,沒有什么不可以!這就是拋物線準(zhǔn)線的實(shí)際意義,它在限制我們的同時(shí)也給我們無盡的自由!橢圓和雙曲線的準(zhǔn)線,是否也有其特別的實(shí)際意義呢?應(yīng)該有吧.用《詩經(jīng)》中的一段結(jié)束本文:“蒹葭蒼蒼,白露為霜.所謂伊人,在水一方.溯洄從之,道阻且長(zhǎng).溯游從之,宛在水中央.”

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