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        例談“皮克定理”在高考中的考查
        ——數(shù)學文化原創(chuàng)題(四)

        2019-12-20 08:04:46揚州市新華中學常國慶
        新世紀智能(數(shù)學備考) 2019年12期
        關鍵詞:數(shù)學

        揚州市新華中學 常國慶

        近些年來,以數(shù)學文化為背景的高考題不斷呈現(xiàn),逐步形成了“依托數(shù)學史料,嵌入數(shù)學命題,彰顯數(shù)學文化”的高考命題特色和亮點.

        數(shù)學文化怎么考?數(shù)學文化題怎么解?這是同學們普遍關心的問題.

        根據(jù)近些年的高考數(shù)學試卷分析,數(shù)學文化題是另一種形態(tài)下的常規(guī)題,同學們不必害怕,將它當作一道應用題來解就行了.如果了解試題的文化背景,將會縮短你的思維過程,解題也會更簡潔.下面以“皮克定理”為例,說說數(shù)學文化在高考中的呈現(xiàn)方式.

        問題1:圖1中的每個小正方形面積都是1,那么圖中S△ABC=?

        圖1

        問題2:如果給你一個不規(guī)則的任意多邊形呢?割補起來就不那么簡單了!

        早在1899年,奧地利數(shù)學家喬治·亞歷山大·皮克(GeorgAlexanderPick)發(fā)現(xiàn),對于平面上的任意一個多邊形,只要它的每一個頂點都在單位正方形網(wǎng)格的“格點”上,它的面積都有類似的巧算方法.皮克沿著這個思路進一步推導得到了一個超級簡單的面積計算公式:記多邊形內(nèi)部所含的格點數(shù)為I,多邊形邊界上的格點數(shù)為B,則多邊形面積這就是皮克定理.

        一、皮克定理的證明

        皮克定理的證明比較麻煩,這里先證明特殊情形(格點矩形、格點三角形)下的皮克定理,然后用歸納法證明一般情形(格點多邊形)下的皮克定理.

        1.格點矩形的皮克定理

        證明:設矩形ABCD的長和寬分別是m和n,容易從圖2上看出S=mn,I=(m-1)·(n-1),B=2(m+n),因為(n-1)+(m+n)-1=mn,所以

        圖2

        2.格點三角形的皮克定理

        證明:將三角形放置在矩形中,并使得矩形至少一個頂點與三角形的一個頂點重合.這樣,格點三角形在矩形中有五種不同的情形,如圖3:

        圖3

        (1)證第①情形

        如圖3①設AB,BC,CA內(nèi)含有的格點數(shù)分別為a,b,c,且因△ABC中有I個內(nèi)格點,則矩形ABCD就有2I+c個內(nèi)格點.故有

        類似可證明②③④⑤情形.

        3.格點多邊形的皮克定理

        證明:對于一個有k(k>3)條邊的格點多邊形.首先證明這樣的多邊形必有一條含于其內(nèi)部的對角線.事實上,如果是凸多邊形,則其結論是顯然的;如果不是凸多邊形,我們假定在某一頂點處P的內(nèi)角大于180°,這時從P點出發(fā)的一條射線,讓它掃過多邊形內(nèi)部時,必定會碰到另一個頂點(否則,多邊形將會包圍了一個面積為無窮大的區(qū)域),而這就決定了一條以P為端點位于多邊形的對角線l.

        現(xiàn)設格點多邊形M有I個內(nèi)格點和B個邊界格點,而對角線l把M分成兩個簡單的格點多邊形M1和M2,它們分別有I1和I2個內(nèi)格點,B1和B2個邊界格點,假定在l上除端點外有x個格點,則B=B1+B2-2-2x,I=I1+I2+x.

        令S,S1,S2分別表示M,M1,M2的面積,則

        二、皮克定理的應用

        1.高考試題中的皮克定理

        例1(2013湖北文科卷)在平面直角坐標系中,若點P(x,y)的坐標x,y均為整數(shù),則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點,則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點數(shù)記為N,邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖4中△ABC是格點三角形,對應的S=1,N=0,L=4.

        (1)圖中格點四邊形DEFG對應的S,N,L分別是_______;

        (2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點多邊形對應的N=71,L=18,則S=_______.

        圖4

        例2(2011北京理科卷)設A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).記N(t)為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點個數(shù),其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點,則函數(shù)N(t)的值域為( ).

        A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12}

        2.皮克定理的原創(chuàng)題

        下面是新編的2道題,供大家練習.這兩道題我們用常規(guī)方法都可以解決.相信你弄懂皮克定理內(nèi)容后,可以有一個新的思路.畢竟多嘗試一題多解,可以拓寬我們的思路??!試一試用多種方法解決吧!

        題1.不等式2x-3<y<3表示的平面區(qū)域內(nèi),正整數(shù)解的個數(shù)是_______個.

        題2.在平面直角坐標系中,若P(x,y)的坐標x,y都是整數(shù),則稱點P為格點.直線x+y=n(n為正整數(shù))與坐標軸圍成的△ABC內(nèi)包含有_______個格點,此時△ABC的面積為_______.

        答案與解析:

        題1.3.

        分析:首先,將不等式2x-3<y<3轉(zhuǎn)化為不等式組畫出對應的平面區(qū)域,圖5,然后在可行域中找出正整數(shù)點(1,1),(1,2),(2,2).

        本題用皮克定理來解:S△ABC=9,而邊界格點個數(shù)B=12,可得內(nèi)格點個數(shù)I=4,而(1,0)不是正整數(shù)解,所以,正整數(shù)解的個數(shù)是3個.

        圖5

        圖6

        題2.

        分析:本題通過畫圖,如圖6,結合數(shù)列知識,從特殊到一般歸納出△ABC內(nèi)的格點個數(shù)為:

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