揚州市新華中學 常國慶

近些年來，以數(shù)學文化為背景的高考題不斷呈現(xiàn)，逐步形成了“依托數(shù)學史料，嵌入數(shù)學命題，彰顯數(shù)學文化”的高考命題特色和亮點．

數(shù)學文化怎么考？數(shù)學文化題怎么解？這是同學們普遍關心的問題．

根據(jù)近些年的高考數(shù)學試卷分析，數(shù)學文化題是另一種形態(tài)下的常規(guī)題，同學們不必害怕，將它當作一道應用題來解就行了．如果了解試題的文化背景，將會縮短你的思維過程，解題也會更簡潔．下面以“皮克定理”為例，說說數(shù)學文化在高考中的呈現(xiàn)方式．

問題1：圖1中的每個小正方形面積都是1，那么圖中S△ABC＝？

圖1

問題2：如果給你一個不規(guī)則的任意多邊形呢？割補起來就不那么簡單了！

早在1899年，奧地利數(shù)學家喬治·亞歷山大·皮克（GeorgAlexanderPick）發(fā)現(xiàn)，對于平面上的任意一個多邊形，只要它的每一個頂點都在單位正方形網(wǎng)格的“格點”上，它的面積都有類似的巧算方法．皮克沿著這個思路進一步推導得到了一個超級簡單的面積計算公式：記多邊形內(nèi)部所含的格點數(shù)為I，多邊形邊界上的格點數(shù)為B，則多邊形面積這就是皮克定理．

一、皮克定理的證明

皮克定理的證明比較麻煩，這里先證明特殊情形（格點矩形、格點三角形）下的皮克定理，然后用歸納法證明一般情形（格點多邊形）下的皮克定理．

1.格點矩形的皮克定理

證明：設矩形ABCD的長和寬分別是m和n，容易從圖2上看出S=mn，I=（m-1）·（n-1），B=2（m+n），因為（n-1）+（m+n）-1=mn，所以

圖2

2.格點三角形的皮克定理

證明：將三角形放置在矩形中，并使得矩形至少一個頂點與三角形的一個頂點重合．這樣，格點三角形在矩形中有五種不同的情形，如圖3：

圖3

（1）證第①情形

如圖3①設AB，BC，CA內(nèi)含有的格點數(shù)分別為a，b，c，且因△ABC中有I個內(nèi)格點，則矩形ABCD就有2I+c個內(nèi)格點．故有

類似可證明②③④⑤情形．

3.格點多邊形的皮克定理

證明：對于一個有k（k＞3）條邊的格點多邊形．首先證明這樣的多邊形必有一條含于其內(nèi)部的對角線．事實上，如果是凸多邊形，則其結論是顯然的；如果不是凸多邊形，我們假定在某一頂點處P的內(nèi)角大于180°，這時從P點出發(fā)的一條射線，讓它掃過多邊形內(nèi)部時，必定會碰到另一個頂點（否則，多邊形將會包圍了一個面積為無窮大的區(qū)域），而這就決定了一條以P為端點位于多邊形的對角線l．

現(xiàn)設格點多邊形M有I個內(nèi)格點和B個邊界格點，而對角線l把M分成兩個簡單的格點多邊形M1和M2，它們分別有I1和I2個內(nèi)格點，B1和B2個邊界格點，假定在l上除端點外有x個格點，則B=B1+B2-2-2x，I=I1+I2+x．

令S，S1，S2分別表示M，M1，M2的面積，則

二、皮克定理的應用

1.高考試題中的皮克定理

例1（2013湖北文科卷）在平面直角坐標系中，若點P（x，y）的坐標x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點．若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形．格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L．例如圖4中△ABC是格點三角形，對應的S=1，N=0，L=4．

（1）圖中格點四邊形DEFG對應的S，N，L分別是_______；

（2）已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a，b，c為常數(shù)．若某格點多邊形對應的N=71，L=18，則S=_______．

圖4

例2（2011北京理科卷）設A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．記N（t）為平行四邊形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點，則函數(shù)N（t）的值域為（ ）．

A.｛9，10，11｝ B.｛9，10，12｝ C.｛9，11，12｝ D.｛10，11，12｝

2.皮克定理的原創(chuàng)題

下面是新編的2道題，供大家練習．這兩道題我們用常規(guī)方法都可以解決．相信你弄懂皮克定理內(nèi)容后，可以有一個新的思路．畢竟多嘗試一題多解，可以拓寬我們的思路??！試一試用多種方法解決吧！

題1．不等式2x-3＜y＜3表示的平面區(qū)域內(nèi)，正整數(shù)解的個數(shù)是_______個．

題2．在平面直角坐標系中，若P（x，y）的坐標x，y都是整數(shù)，則稱點P為格點．直線x+y=n（n為正整數(shù)）與坐標軸圍成的△ABC內(nèi)包含有_______個格點，此時△ABC的面積為_______．

答案與解析：

題1．3．

分析：首先，將不等式2x-3＜y＜3轉(zhuǎn)化為不等式組畫出對應的平面區(qū)域，圖5，然后在可行域中找出正整數(shù)點（1，1），（1，2），（2，2）．

本題用皮克定理來解：S△ABC=9，而邊界格點個數(shù)B=12，可得內(nèi)格點個數(shù)I=4，而（1，0）不是正整數(shù)解，所以，正整數(shù)解的個數(shù)是3個．

圖5

圖6

題2．

分析：本題通過畫圖，如圖6，結合數(shù)列知識，從特殊到一般歸納出△ABC內(nèi)的格點個數(shù)為：