蓋俊峰，趙國(guó)榮，高 超，耿寶亮

（1.91206部隊(duì)，山東青島266108；2.海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001）

隨著模型預(yù)測(cè)控制理論的日趨成熟，對(duì)于不確定對(duì)象的魯棒模型預(yù)測(cè)控制的研究成為當(dāng)前預(yù)測(cè)控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題。魯棒預(yù)測(cè)控制的實(shí)質(zhì)是在線求解一個(gè)關(guān)于系統(tǒng)未來(lái)狀態(tài)和輸入的min-max 優(yōu)化問(wèn)題[1]。對(duì)于多胞模型描述的不確定系統(tǒng)，線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequalities，LMI）成為魯棒預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)的重要工具。1996年，Kothare等[2]率先提出了針對(duì)多胞不確定系統(tǒng)的魯棒預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)方法。該方法將魯棒預(yù)測(cè)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為由LMI 描述的優(yōu)化問(wèn)題，為后來(lái)采用LMI方法設(shè)計(jì)魯棒預(yù)測(cè)控制器及處理約束條件的研究奠定了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[3]用LMI方法設(shè)計(jì)了一種高效魯棒預(yù)測(cè)控制器，在性能分析的基礎(chǔ)上，提出了改善魯棒預(yù)測(cè)控制次優(yōu)性的方法。

近年來(lái)，針對(duì)不確定時(shí)滯系統(tǒng)魯棒預(yù)測(cè)控制的研究也取得了若干成果[4-17]。其中，文獻(xiàn)[5]針對(duì)一類多胞模型描述的不確定時(shí)滯系統(tǒng)，提出了一種帶有時(shí)滯補(bǔ)償?shù)臅r(shí)滯相關(guān)魯棒模型預(yù)測(cè)控制方法。將難以求解的min-max 優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶有LMI 約束的凸優(yōu)化問(wèn)題，設(shè)計(jì)了能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的魯棒模型預(yù)測(cè)控制器，并證明了其控制算法的可行性。目前所見(jiàn)的研究成果中，控制器設(shè)計(jì)方案大多采用狀態(tài)反饋，這要求系統(tǒng)的狀態(tài)始終是可測(cè)的。但在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)及工程控制領(lǐng)域，系統(tǒng)的狀態(tài)往往是不能直接測(cè)量得到的。對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)，采用狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)控制器時(shí)往往只考慮當(dāng)前的狀態(tài)信息，卻忽略了時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響，因而使設(shè)計(jì)出的控制器具有較高的保守性。

鑒于上述狀態(tài)反饋預(yù)測(cè)控制器的局限性，本文針對(duì)一類具有多胞結(jié)構(gòu)的不確定離散時(shí)滯系統(tǒng)，提出了一種基于LMI 的輸出反饋魯棒預(yù)測(cè)控制算法。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出了保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充要條件，并將系統(tǒng)的預(yù)測(cè)控制優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于求解的LMI 問(wèn)題。在設(shè)計(jì)輸出反饋預(yù)測(cè)控制器的過(guò)程中，為了減少在線計(jì)算量，對(duì)輸出反饋增益矩陣的計(jì)算是離線實(shí)現(xiàn)的。對(duì)系統(tǒng)輸入、輸出約束和狀態(tài)時(shí)滯的考慮使所提出的魯棒預(yù)測(cè)控制算法更接近于工程實(shí)踐。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

被控對(duì)象系統(tǒng)選為如下具有多胞結(jié)構(gòu)的不確定離散時(shí)滯系統(tǒng)：

式（1）中：x( k )∈?n、u( k )∈?m和y( k )∈?l分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、控制輸入和輸出；U ??m和Y ??l分別為系統(tǒng)的輸入約束集和輸出約束集；矩陣C 為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；τ ＞0 為時(shí)滯常數(shù)；φ( k )為初始向量；矩陣A( k)、Aτ( k)、B( k )共同表征了系統(tǒng)模型中的參數(shù)不確定性，且都屬于凸集Ω ，而Ω 為具有N 個(gè)頂點(diǎn)Ω1,Ω2,…,ΩN的凸多面體。

式中：Co 表示多面體的凸殼；[ Aj,Aτj,Bj] 則為凸殼的頂 點(diǎn)。 即 存 在 L 個(gè) 非 負(fù) 系 數(shù) 0 ≤λj( k )≤1 ，j=1,2,…,L，使：

式中：Ny為預(yù)測(cè)域；Nu為控制域，且Nu≤Ny；Q、R為給定的加權(quán)矩陣。

為了使系統(tǒng)輸出能對(duì)設(shè)定參考軌跡進(jìn)行有效跟蹤，給出如下的誤差積分器：

式中：yr(k)為期望參考軌跡；e(k)=Cx(k)-yr(k)為系統(tǒng)輸出跟蹤誤差。

將積分器（2）加入到系統(tǒng)模型（1）后，簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可將模型重寫為：

2 輸出反饋預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

現(xiàn)有文獻(xiàn)多見(jiàn)采用狀態(tài)反饋的控制器設(shè)計(jì)方案，但在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)及工程控制領(lǐng)域，系統(tǒng)的狀態(tài)往往是不能被直接測(cè)量到的，而系統(tǒng)輸出一般可直接測(cè)量。對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)，采用狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)控制器往往只利用當(dāng)前的狀態(tài)信息，卻忽略了時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響，因而使設(shè)計(jì)出的控制器具有較高的保守性。鑒于上述狀態(tài)反饋預(yù)測(cè)控制器的局限性，本節(jié)給出的控制器設(shè)計(jì)方案采用輸出反饋。因而具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

針對(duì)系統(tǒng)重構(gòu)模型（3），設(shè)計(jì)輸出反饋模型預(yù)測(cè)控制器的形式如下：

在k 時(shí)刻預(yù)測(cè)的k+d 時(shí)刻的輸入、輸出和期望參考軌跡的預(yù)測(cè)值分別定義為u( k+d )，y( k+d )和yr( k+d )∈?l，其中d ≥1。預(yù)測(cè)域?yàn)镹y，控制域?yàn)镹u，且Nu≤Ny。當(dāng)i={Nu,Nu+1,…,Ny-1} 時(shí)，有?ij=O。

系統(tǒng)（3）在k+d 時(shí)刻的預(yù)測(cè)狀態(tài)為

式中，d={0 ,1,…,Ny-1} 。

定義包含未來(lái)預(yù)測(cè)狀態(tài)和期望參考軌跡為：

對(duì)式（5）進(jìn)行處理，可得系統(tǒng)狀態(tài)的模型預(yù)測(cè)值為：

或者表示為如下簡(jiǎn)略形式：

式（9）中：

模型（7）在無(wú)限最優(yōu)域上的代價(jià)函數(shù)形式如下：

式中，

式（11）中：Qd∈?n?×n?、Rd∈?m×m分別是半正定和正定矩陣。

對(duì) 所 有 的 d ， 有 Q=diag(Q0,Qf)，Qf=diag{Q1,Q2,…,QNy} ，R=diag{R0,R1,…,RNu-1} 且Qi=qiI ， Rj=hjI ， qi,hj＞0 ， i={0 ,1,…,Ny} ，j={0 ,1,…,Nu-1} 。

3 穩(wěn)定性分析

在上節(jié)中，已經(jīng)構(gòu)造了系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測(cè)模型（7）。將式（7）中的uf( k )用式（9）代替，可得閉環(huán)模型預(yù)測(cè)式如下：

式（12）中，

由于向量yrf( k )與狀態(tài)向量x?( k )相互獨(dú)立，那么閉環(huán)系統(tǒng)（12）的穩(wěn)定性和魯棒性將不受yrf( k )的影響。因此，根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性原理，在分析系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性或者設(shè)計(jì)魯棒控制器時(shí)，將向量yrf( k )設(shè)定成零向量并不失一般性。故閉環(huán)模型預(yù)測(cè)式（12）可以表示如下：

式（14）中：

本文研究的目標(biāo)是在給定預(yù)測(cè)域Ny和控制域Nu的前提下，為對(duì)象系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)帶有輸出反饋（9）的魯棒模型預(yù)測(cè)控制器，且能保證閉環(huán)系統(tǒng)（14）的穩(wěn)定性。

3.1 Lyapunov函數(shù)的選定

針對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)（14），選取如下的Lyapunov函數(shù)

函數(shù)V( x,k )的一階差分方程ΔV( x,k )可表示為：

由式（14）可得：

式中，INy=[O … O I ]∈?n?×n?Ny。

由Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)式（17）為負(fù)，即所選取的Lyapunov函數(shù)V( x,k )遞減時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。因此，可通過(guò)函數(shù)V( x,k )的一階差分方程ΔV( x,k )的符號(hào)來(lái)判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

3.2 基于LMI的魯棒穩(wěn)定性條件

在本節(jié)中，為第2 節(jié)中設(shè)計(jì)的魯棒輸出反饋預(yù)測(cè)控制器給出了保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的一個(gè)充要條件，并將系統(tǒng)的預(yù)測(cè)控制優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI 問(wèn)題。為了將控制過(guò)程中的二次矩陣不等式轉(zhuǎn)化為便于處理的LMI，通常會(huì)用到如下的Schur補(bǔ)引理。

證明：( a )?( b )，由于S 為對(duì)稱陣，故有S11=，S22=，S21=。應(yīng)用矩陣的塊運(yùn)算規(guī)則可得。

故有

( a )?( c )，由于

故有

定理1得證。

為第2節(jié)中設(shè)計(jì)的魯棒輸出反饋預(yù)測(cè)控制器所給出的保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充要條件，總結(jié)為如下定理。

定理2：具有Lyapunov 函數(shù)（16）的閉環(huán)系統(tǒng)（14）是魯棒穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣K ∈?n?Ny×n?()Ny+1和矩陣Φ，使如下的LMI成立。

式（19）中：

證明：充分性：不失一般性，令Qk=O，Rk=O。

式（20）中：

對(duì)式（20）進(jìn)行整理可得

則有

由式（17）、（22）得：

由式（22）、（23）可得：

即Lyapunov函數(shù)（16）單調(diào)遞減，則閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。

充分性得證。

必要性：假設(shè)存在對(duì)稱正定矩陣P( k )使魯棒穩(wěn)定性條件（17）成立；必要的，存在一個(gè)標(biāo)量ε ＞0，使得：

上述不等式可以被重寫為：

對(duì)式（25）應(yīng)用Schur補(bǔ)引理可得：

經(jīng)過(guò)處理后得到：

式（27）中：

當(dāng)ε →0 時(shí)，不等式（20）和不等式（19）可分別得到，必要性得證。

由式（19）可得如下的多胞系統(tǒng)LMI：

式（29）中：i={1 ,2,…,N }；Adi=[ Acxi-Acfi]T；Gi=diag{- Pi,PiINy} =diag{- Pi,O,…,O,Pi} 。

若式（29）在未知對(duì)稱陣Pi=＞O,i={1 ,2,…,N}和矩陣K 下成立，且有可行解，則反饋增益矩陣Φ 在定義的凸集Ω 內(nèi)保證了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

4 基于LMI的魯棒模型預(yù)測(cè)控制算法

為減少在線計(jì)算量，本文的預(yù)測(cè)控制算法對(duì)輸出反饋增益矩陣Φ 的計(jì)算是離線實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)模型預(yù)測(cè)控制的滾動(dòng)優(yōu)化策略，僅有矩陣Φ 的第1個(gè)元素?0用來(lái)計(jì)算施加于控制對(duì)象的控制作用u( k )，Φ 的其他元素用來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)或輸出。而式（4）則實(shí)現(xiàn)了實(shí)際控制作用u( k )的在線計(jì)算。

由式（9），可得到實(shí)際控制作用如下：

式中，Cd、Cyrf和σ( k )在第2節(jié)中已經(jīng)作了定義。

式（31）中：Ac=Acf( k)-1Ac,x( k )；Aτ=Acf( k)-1Axτ( k )；Bc=-( k )Bcf( k )。

得到向量σ( k )的形式為：

將式（30）中的σ( k )用式（32）代替，得到實(shí)際控制作用u( k )的在線計(jì)算結(jié)果為：

式（33）中，

綜上所述，當(dāng)x( 0 )=x0時(shí)，本文基于LMI 的輸出反饋魯棒模型預(yù)測(cè)控制算法可總結(jié)如下：

Step 1：令k=1。設(shè)置控制時(shí)間終點(diǎn)為T ，預(yù)測(cè)域?yàn)镹y，控制域?yàn)镹u；

Step 2：對(duì)式（29）求解；

Step 3：利用Step 2得到的解離線計(jì)算輸出反饋增益矩陣Φ；

Step 4：通過(guò)被控對(duì)象獲得新的當(dāng)前輸出值，并用系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)輸出值；

Step 5：計(jì)算u( k+i )，i=0,1,…,Nu-1，從而可得到最優(yōu)控制序列uf( k )；

Step 6：將uf( k )應(yīng)用于模型預(yù)測(cè)，僅將uf( k )的第1項(xiàng)u( k )作用于系統(tǒng)；

Step 7：如果k ＜T ，令k：=k+1，返回Step 4；否則結(jié)束。

5 仿真分析

考慮如下的多胞不確定離散時(shí)滯系統(tǒng)：

式（35）中：

基于LMI的魯棒預(yù)測(cè)控制問(wèn)題較易求解，因其求解過(guò)程不需要進(jìn)行任何參數(shù)調(diào)整，可一次性求解多個(gè)變量。利用上述數(shù)據(jù)，通過(guò)LMI Toolbox 對(duì)式（29）求解，可得輸出反饋增益矩陣Φ 及矩陣Hx( k )、Hτ( k )、Hyrf( k )的值，由第4 節(jié)中的魯棒預(yù)測(cè)控制算法得出使控制性能指標(biāo)最小且使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的最優(yōu)控制序列。本例中的參考軌跡設(shè)定為一方波信號(hào)。仿真結(jié)果如圖1～3 所示。其中，圖1 為系統(tǒng)輸出對(duì)參考軌跡的跟蹤曲線，y1、y2分別為2 個(gè)不同頂點(diǎn)的系統(tǒng)輸出，yr為參考軌跡；圖2為控制輸入曲線u1、u2分別為2 個(gè)不同頂點(diǎn)的控制輸入；圖3 為魯棒控制性能指標(biāo)變化曲線。圖1 表明，誤差積分器的加入使系統(tǒng)輸出能有效跟蹤參考軌跡，且能滿足輸出約束條件；圖2表明，控制輸入能滿足輸入約束條件；圖3 表明，魯棒預(yù)測(cè)控制性能指標(biāo)在滾動(dòng)時(shí)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)了在線最小化。

圖1 系統(tǒng)輸出跟蹤曲線Fig.1 System output tracking curve

圖2 控制輸入曲線Fig.2 Control input curve

圖3 性能指標(biāo)變化曲線Fig.3 Performance indicator change curve

6 結(jié)論

本文針對(duì)一類具有多胞結(jié)構(gòu)的不確定離散時(shí)滯系統(tǒng)，提出了一種基于LMI的輸出反饋魯棒預(yù)測(cè)控制算法。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出了保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的一個(gè)充要條件，并將系統(tǒng)的魯棒預(yù)測(cè)控制優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于求解的LMI 問(wèn)題。通過(guò)離線計(jì)算魯棒預(yù)測(cè)控制器中的輸出反饋增益矩陣，大大減少了算法的在線計(jì)算量。對(duì)系統(tǒng)輸入、輸出約束和狀態(tài)時(shí)滯的考慮，使所提出的魯棒預(yù)測(cè)控制算法更接近于工程實(shí)踐。而輸出反饋的采用突破了以往算法中要求系統(tǒng)狀態(tài)必須可測(cè)的限制，使算法具有更低的保守性。實(shí)際工業(yè)過(guò)程中的系統(tǒng)輸出一般是直接可測(cè)的，因而本文的輸出反饋魯棒預(yù)測(cè)控制算法具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。