修國眾，時 寶，賀英政，王麗英

（海軍航空大學，山東煙臺264001）

非粘滯阻尼材料是應(yīng)用很廣泛的一種阻尼材料，這類材料受力后的變形過程是一個隨時間變化的過程，力卸載后的恢復(fù)過程又是一個延遲過程。因此，這類材料的應(yīng)力不僅與當時的應(yīng)變有關(guān)，而且與以前的變化過程有關(guān)。

在應(yīng)力松弛試驗中，非粘滯阻尼材料彎曲到固定應(yīng)變時需要一段時間過程，并不能理想地假設(shè)通過單位階躍函數(shù)在初始時刻達到固定應(yīng)變，這段從初始時刻到固定應(yīng)變的過程稱為初始坡度[1-2]。由于非粘滯阻尼材料具有較長的記憶功能，對試樣施加預(yù)應(yīng)力時由于初始坡度的存在，會對試驗中數(shù)據(jù)的擬合產(chǎn)生一定影響，從而影響非粘滯阻尼模型參數(shù)的準確性。

為了描述非粘滯阻尼材料的性質(zhì)，國內(nèi)外學者提出了大量的非粘滯阻尼材料應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系模型，廣義上分為微分型和積分型2 大類，微分型本構(gòu)方程與積分型本構(gòu)方程是等價的。根據(jù)Boltzmann疊加原理，可以得到具有較大靈活性的標準流變學積分型本構(gòu)關(guān)系，其中主要為松弛型積分模型?，F(xiàn)在越來越多學者采用積分型本構(gòu)模型來描述非粘滯阻尼模型[3]：

式（1）中：σ( t )、ε( τ )分別表示應(yīng)力和應(yīng)變；?稱為Stieltjes卷積；G( t )是松弛模量。

由于粘彈性材料的衰減記憶特征，松弛模量一般是連續(xù)單調(diào)非增函數(shù)。卷積型非粘滯阻尼模型最早在1958 年由M.A.Biot 提出，并由J.Woodhouse，S.Adhikari 等人進一步發(fā)展，包括對該模型系統(tǒng)的動力學分析、模態(tài)識別等方面都進行了深入研究[4]。核函數(shù)G( t )，在不同領(lǐng)域的文獻中有許多不同的描述，如：延遲函數(shù)，后影響函數(shù)，松弛函數(shù)等。在G( t )=Cδ( t )的特殊情況下（δ( t )為Dirac delta 函數(shù)），該阻尼模型退化為傳統(tǒng)的粘滯阻尼模型。因此，該模型也可以稱為粘滯阻尼的一般形式。

1 松弛函數(shù)為冪指數(shù)函數(shù)時初始坡度的影響

對于非粘滯阻尼材料的完整力學特性，必須考慮應(yīng)力和應(yīng)變歷史的時間演化，也就是應(yīng)力歷史σ( t )和應(yīng)變歷史ε( t )。因此，經(jīng)典拉伸試驗無法描述時變應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，須要進行另一種試驗，即蠕變和松弛試驗[5-6]。蠕變試驗是評估應(yīng)變響應(yīng)隨單位階躍函數(shù)施加應(yīng)力的時間演化。相反，在松弛試驗中，由于施加的應(yīng)變歷史遵循單位階躍函數(shù)，因而根據(jù)應(yīng)力歷史測量響應(yīng)。然而，無論蠕變試驗還是松弛試驗都是理想化的，實際蠕變和松弛試驗與上述理論描述不同，因為用于這些試驗的試驗機無法在施加應(yīng)力和/或應(yīng)變歷史中再現(xiàn)單位階躍函數(shù)，松弛試驗期間的變形歷史如圖1所示。

另一方面，材料和結(jié)構(gòu)的應(yīng)力松弛試驗的參考標準（ASTM E328-02標準[7]，2002）并未給出有關(guān)初始應(yīng)力初始坡度的具體指示。任何情況下的應(yīng)力施加速率都應(yīng)合理快速，但不應(yīng)受到?jīng)_擊或振動，使應(yīng)力施加期間的任何松弛都很小。初始坡度的速率根據(jù)松弛試驗所選的總應(yīng)變選擇。變形取定值ε0時的時間t與試驗機以及試驗人員都有嚴格的關(guān)系[8]。通常初始坡度的速率越高，t0越小。因此，在初始坡度的速率越高時，通常忽略這種影響，假設(shè)t0=0。然而，對于冪律[9]情況，在相應(yīng)的應(yīng)力歷史上產(chǎn)生了無窮大的值，這在參數(shù)的評估上造成了顯著的誤差。

圖1 應(yīng)力松弛試驗過程中實際應(yīng)變過程Fig.1 Real deformation history during the relaxation test

在理想的應(yīng)力松弛試驗中，應(yīng)變是在單位階躍函數(shù)的作用下達到指定的應(yīng)變值ε( t )=ε0U( t )，其中，U( t )是單位階躍函數(shù)。

高聚物的力學松弛行為是其整個歷史上諸松弛過程的線性加和的結(jié)果。高聚物的蠕變是整個負荷歷史的函數(shù)，對于蠕變過程，每個負荷對高聚物的變形的貢獻是獨立的，總的蠕變是各個負荷起的蠕變的線性加和，對于應(yīng)力松弛過程，每個應(yīng)變對高聚物的應(yīng)力松弛的貢獻也是獨立的，高聚物的總應(yīng)力等于歷史上諸應(yīng)變引起的應(yīng)力松弛過程的線性加和[1]。由Boltzmann疊加原理得到卷積型應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：

等式成立的條件是ε( 0 )=0。即在理想的狀態(tài)下：

考慮非粘滯阻尼模型實際的應(yīng)變歷史是

由Blotzman疊加原理，當ε( 0 )=0 可得：

取G( t )是冪指數(shù)函數(shù)[10-12]的形式G( t )=+b，或

即：

松弛試驗期間，實際的應(yīng)變歷史如式（4）所示，由式（5）可得：

當0 ＜t ≤t0時，

當t ＞t0時，

所以，

2 松弛函數(shù)為指數(shù)函數(shù)時初始坡度的影響

如果G( t )取指數(shù)函數(shù)[13-16]的形式：

考慮理想狀態(tài)下，即應(yīng)變?nèi)缡剑?）所示，由式（5）可得：

即

松弛試驗期間，實際的應(yīng)變歷史如式（4）所示。

當0 ＜t ≤t0時，

當t ＞t0時，

所以，

3 數(shù)值模擬

G( t )是冪指數(shù)函數(shù)的形式，在文獻[8，13]涉及到，所以只考慮G( t )取指數(shù)函數(shù)的形式。當c0=0 ，a1=c1=1，n=1 時，取不同的b1和t0，則相應(yīng)于如圖1所示的應(yīng)變歷史的應(yīng)力變化如圖2所示。

在t=t0時應(yīng)力取得最大值：

圖2 相對于圖1取不同b1 和t0 值的變形過程中的應(yīng)力變化Fig.2 Stress history for the deformation history in Fig.1 for different value of b1 and t0

1）初始坡度的存在對于非粘滯阻尼材料參數(shù)bk的確定產(chǎn)生重大影響；

2）在實際試驗中t0必須進行測定，并且不可忽略。

在應(yīng)力松弛試驗中，考慮在理想狀態(tài)下，沒有初始坡度的影響，應(yīng)力變化如圖3 虛線所示。在實際試驗中有初始坡度的影響應(yīng)力變化如圖3實線所示。顯然，沒有初始坡度的影響，應(yīng)力呈現(xiàn)指數(shù)式衰減。而由于初始坡度的影響，應(yīng)力變化相對較緩慢，兩者之間還是存在較大變化。因此，在實際應(yīng)用試驗中不可忽略初始坡度，否則，會對參數(shù)的確定產(chǎn)生較大影響。對于蠕變試驗，也可以用同樣的方法進行計算分析。

圖3 應(yīng)力松弛試驗中初始坡度的影響Fig.3 Influences of initial ramps on relaxation experimental test

4 結(jié)論

非粘滯阻尼材料的力學性能通過應(yīng)力松弛試驗或者蠕變試驗獲得，通常只是假設(shè)在理想的狀態(tài)下在初始時刻通過階躍函數(shù)使得應(yīng)變應(yīng)力達到設(shè)定的值。然而在實際試驗中必然有初始坡度存在，假定初始坡度是線性的，初始坡度的存在對試驗中應(yīng)力變化產(chǎn)生影響，所以對非粘滯阻尼材料參數(shù)的確定不得不考慮初始坡度的影響。

本文考慮了松弛函數(shù)的2 種形式：一種是冪指數(shù)函數(shù)的形式，得到的結(jié)論更具有一般性，涵蓋了在文獻[13]中所討論的分數(shù)階最簡單的模型Scott-Blair 模型的結(jié)果；另一種是指數(shù)函數(shù)的形式，在理論上和數(shù)值分析上都可看出初始坡度對應(yīng)力變化產(chǎn)生影響，從而影響到擬合非粘滯阻尼材料的參數(shù)的準確性。所以，在松弛試驗中，初始坡度的影響不可忽略。同樣，在蠕變試驗中也會產(chǎn)生初始坡度的影響，研究和分析方法類似。