劉詩堯

摘要：以Turkey?Flat標準試驗場為基準場地，以Toro剪切波速模型為基礎，進行Monte?Carlo模擬，生成剪切波速、層厚和密度隨機樣本各200條，將各土層隨機參數(shù)組成4個工況作為不確定分析的基礎。采用常用的四分之一波長法和傳遞函數(shù)法計算場地放大因子，分析放大因子以及特征周期對4種工況的敏感度。結果表明：土層剪切波速、層厚和密度的隨機性對2種方法計算得到場地放大因子有相同的影響;剪切波速的隨機性對放大因子和特征頻率的影響比其他參數(shù)大;四分之一波長法得到的放大因子和特征頻率對土層各參數(shù)的敏感性弱于傳遞函數(shù)方法。

關鍵詞：敏感性分析;場地放大因子;剪切波速隨機模型;四分之一波長法;傳遞函數(shù)

中圖分類號：TO411?文獻標志碼：A?文章編號：1000-0666（2019）04-0562-07

0?引言

在地震工程中，局部地質條件和巖土力學性質的差異影響著地震動的幅值、頻譜和持時?？紤]場地效應時，可以使用基于實測地震動記錄的譜比法和基于土層鉆孔數(shù)據(jù)的理論分析法。進行場地地震反應分析時會存在較大的不確定性，包括：場地模型的不確定性、地震動輸入的不確定性以及數(shù)值計算模型的不確定性等。

本文主要討論場地模型的不確定性，其中土層參數(shù)包括剪切波速、土層厚度和土層密度。這些不確定性主要來源2方面：同類場地在不同地區(qū)的土層參數(shù)分布具有離散性;在同一場地對土層參數(shù)的測量誤差（陳龍偉等，2014）。Toro（1993）調(diào)查了全球411個場地土層結構得到剪切波速和土層厚度的統(tǒng)計特征，并指出剪切波速呈對數(shù)正態(tài)分布。

已有研究多數(shù)以傳遞函數(shù)或基于傳遞函數(shù)的等效線性法來估計場地模型的不確定性反應，一般結論為剪切波速相對于其它土層參數(shù)對傳遞函數(shù)影響最大。而關于四分之一波長法的場地放大因子還沒有相關研究，該方法被廣泛應用于計算高頻地震動的場地反應，所用場地模型是同一分類或者同一區(qū)域的場地擬合所得土層結構。本文以傳遞函數(shù)作為參考，考慮剪切波速、厚度和密度的隨機性對四分之一波長法放大因子的影響，同時比較傳遞函數(shù)法和四分之一波長法這2種方法對土層參數(shù)隨機性的敏感度。

1?研究方法

Joyner等（1981）提出四分之一波長法，它是一種計算頻率相關場地效應的簡化方法。該方法可以忽略一些深度的土層結構從而計算隨機合成地震動中的場地項，假設不考慮波在土層中傳播的反射、散射和衰減，波的能量恒定且幅值與土層波阻抗的平方根成反比。Day（1996）用寬帶入射波的傳遞函數(shù)均方根反應推導出了單均勻層的四分之一波長法。Boore和?Joyner（1997）提出相對應場地模型結合高頻衰減因子計算出場地放大因子，并被廣泛應用于高頻地震動模擬的場地計算，關系式如下：

式中：Vb和ρb分別為基巖處的剪切波速和密度;V（z）和ρ（z）分別表示深度為z時土層的平均剪切波速與平均密度：

f（z）為不同深度對應的頻率，其計算公式為：

式中：Stt（t）為剪切波從覆蓋層深度z到地表的傳播時間，具體計算公式為：

傳遞函數(shù)法則是由波動方程結合邊界條件推出，表示一個線性土層系統(tǒng)內(nèi)，基巖輸入和地表反應的函數(shù)關系，同時能夠反映土層的場地卓越周期等固有性質。對比傳遞函數(shù)，四分之一波長法相對簡單，并且計算的場地放大因子偏低（Boore，2013）。在本文中，2種方法都僅在線彈性范圍內(nèi)計算，沒有考慮土體在動力反應下的阻尼衰減和土體的非線性性質。

2?土層隨機模型

Turkey?Flat場地位于美國加州洛杉磯和舊金山之間的Parkfield地區(qū)，是一個處于淺硬泥土沖積河谷中的標準試驗場地。1986—1987年修建了2個垂直臺陣并且在鉆孔內(nèi)安置了加速度傳感器，一個位于Rock?South，深25?m;另一個位于Valley?Center，深40?m（Real，1988）。本文將Valley?Center鉆孔數(shù)據(jù)（Real，1988）作為Monte?Carlo法模擬隨機場地結構的基準場地，鉆孔數(shù)據(jù)如表2所示?；鶞蕡龅?0?m土層的平均剪切波速VS30為757.7?m/s，根據(jù)美國國家地震減災計劃（NEHRP）該場地分類為C類，屬于較硬巖石場地。

隨機剪切波速采用Toro1995統(tǒng)計模型由基準場地結構生成，Toro（1993，1995）認為土層的剪切波速在給定深度服從對數(shù)正態(tài)分布并給出剪切波速的統(tǒng)計模型，他調(diào)查超過557個剪切波速結構，對該模型做出一些調(diào)整。根據(jù)調(diào)整后的模型，第i層隨機剪切波速VS（i）可以由基準場地第i層剪切波速VS，O（i）、剪切波速自然對數(shù)標準差σlnVs和第i層正態(tài)隨機變量Zi求得：

McGuire等（1989）假設每一層正態(tài)隨機變量Z都是完全相關，所以每層乘以相同的Z生成隨機剪切波速，而Costantino等（1991）假設Zi相對于每層是獨立的。Toro（1995）認為2類假設相比較真實場地有些極端并且不嚴謹，根據(jù)其模型Zi有如下定義：

式中：隨機變量ε服從標準正態(tài)分布，其均值和標準差分別為0和1;ρIL層間相關系數(shù)有如下定義：

式中：d為土層深度;h為土層厚度;深度相關系數(shù)ρd（d）和層厚相關系數(shù)ρh（h）定義為：

式中：σlnVs=0.27;ρ200=1;d0=0、b=0.293;ρ0=0.97;Δ=3.8，可根據(jù)基準場地VS30分類在表1中查得（Rathje?et?al，2010）。

假設層厚服從正態(tài)分布，并且參考Field和Jacob（1993）給出的Valley?Center場地隨機層厚的標準差，假設隨機密度服從對數(shù)正態(tài)分布（Barani?et?al，2013）。表2為基準場地結構中剪切波速、層厚和密度以及剪切波速自然對數(shù)標準差、層厚的標準差和密度的標準差。隨機剪切波速、層厚和密度均以基準場地數(shù)據(jù)為平均值結合對應的統(tǒng)計特征生成。

式中：?μlnRV和σlnRV是隨機變量（如密度）取自然對數(shù)后的平均值和標準差;μRV和σRV是隨機變量的平均值和標準差（如表2中的隨機參數(shù)）。

采用Monte?Carlo方法結合統(tǒng)計模型生成剪切波速、密度和層厚樣本。本文驗算過樣本數(shù)量分別為50，100，200，500，1000時的情形，發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)量為200時剛好能合適地表達土層參數(shù)的統(tǒng)計模型。圖1為隨機土層參數(shù)樣本。值得注意的是，為了避免隨機模擬產(chǎn)生不合理的土層參數(shù)值，剪切波速、密度和層厚均采用±2σ的截斷分布（Bazzurro，Cornell，2004）。

3?分析和結果

使用已生成的隨機土層參數(shù)樣本，參考劉紅帥等（2005）的研究，考慮4種工況作為輸入：僅考慮剪切波速的隨機性;僅考慮密度的隨機性;僅考慮層厚的隨機性;同時考慮剪切波速、密度和層厚的隨機性。在線彈性范圍內(nèi)，分別利用四分之一波長法與傳遞函數(shù)法計算4種工況各200條隨機場地和基準場地的放大因子譜（圖2，3），討論不同隨機土層參數(shù)對二者的頻譜影響，并比較二者對隨機土層參數(shù)的敏感性。

3.1?4種工況對2類方法頻譜的影響

圖2所示四分之一波長法計算的4種工況的放大因子曲線呈現(xiàn)4段并且有3個拐點，拐點可以表示各土層分界面處深度的等效放大作用。在各個工況中，剪切波速同時影響曲線拐點的幅值和頻率，而且剪切波速的隨機性對四分之一波長法的放大因子影響最大并且與組合工況4相當，放大因子的不確定性隨著頻率增加而增大然后保持穩(wěn)定。

由圖2，3可以看出，2種方法計算4種工況時，剪切波速對放大因子曲線的影響最大。而對比圖2a和圖3a發(fā)現(xiàn)，剪切波速的隨機性對四分之一波長法計算的放大因子的影響比傳遞函數(shù)法小，而且四分之一波長法放大因子曲線相對平滑沒有波峰和波谷，這是因為該方法假設波在上層介質沒有反射。由圖2還可見，相比其它3種工況，密度的隨機

性對四分之一波長法計算的放大因子曲線影響最小，對拐點只有幅值而沒有頻率范圍的影響，這是因為四分之一波長法頻率計算式（4）只與深度和剪切波速有關，在傳遞函數(shù)法中同樣如此（圖3）。二者不同的是當頻率大于14?Hz時，傳遞函數(shù)法計算的幅值離散度變小，而四分之一波長法計算的幅值的離散度基本保持不變。

由圖2c可知，層厚的隨機性造成四分之一波長法計算的放大因子曲線在頻率10?Hz以上呈現(xiàn)較大的離散，而且各個拐點的幅值連線幾乎和水平軸平行，即幅值的離散性很小，在傳遞函數(shù)法中同樣如此（圖3c）。綜上，在各個工況中剪切波速的隨機性對場地放大因子的影響最大，其次是層厚和密度。剪切波速和層厚都會影響放大因子曲線的幅值和峰值（拐點）頻率，其中層厚對幅值和峰值（拐點）頻率的影響在頻率上是有所不同;密度主要影響放大因子曲線的幅值。值得注意的是，四分之一波長法雖然在幅值與曲線形式上和傳遞函數(shù)法有所差別，但各工況對二者頻譜的影響大致相同。

3.2?2種方法對各隨機土層參數(shù)的敏感性

為了比較2種方法得到的放大因子對各個土層隨機參數(shù)的敏感性，計算4種工況下2種方法得到的放大因子隨頻率變化的標準差。由圖4可見，四分之一波長法對各種土層參數(shù)敏感性要比傳遞函數(shù)法小，并且相同工況中二者放大因子的標準差相差3倍多。剪切波速工況產(chǎn)生的標準差和總標準差曲線大致一樣，先隨頻率增加而增大然后頻率達到12?Hz左右開始緩慢減少。層厚工況造成二者的標準差隨頻率先增加后減小，但在10?Hz處，層厚工況下，傳遞函數(shù)法放大因子的標準差增幅明顯大于四分之一波長法，且傳遞函數(shù)法的標準差峰值甚至超過了其總標準差。密度工況對二者的標準差呈現(xiàn)出和基準場地放大曲線相同的趨勢，在同頻率處也有拐點和波峰。

值得注意的是，盡管計算總標準差時考慮了剪切波速、層厚和密度的隨機性，但是總標準差在整個頻段內(nèi)與剪切波速的標準差仍舊大體相當，可見2類方法的放大因子對剪切波速的敏感度在各土層

參數(shù)占主導作用，且四分之一波長法對各個土層參數(shù)的敏感度遠小于傳遞函數(shù)法，總體上，2類方法的放大因子對各土層參數(shù)的敏感度高頻段比低頻段更高。

對比四分之一波長法第一拐點頻率和傳遞函數(shù)法第一特征頻率對各土層參數(shù)的敏感性，如圖5所示。其中四分之一波長法的第一拐點頻率是基巖面以上土層等效為單一均勻層的第一特征頻率（對應場地卓越周期）：

式中：H為基巖面到地表的土層厚度;V（H）為厚度H的土層的平均剪切波速。而傳遞函數(shù)法計算的第一特征頻率是精確值，反映了土層的固有特征。

由圖5可知，四分之一波長法的第一特征頻率對土層參數(shù)不確定的敏感度比傳遞函數(shù)法小約4～5倍，剪切波速的隨機性對二者特征頻率的影響最大，在四分之一波長法和傳遞函數(shù)法中分別約占總標準差的90%和80%。層厚的隨機性對二者特征頻率的影響幾乎相同。密度的隨機性對四分之一波長法的第一特征頻率完全沒影響，由式（15）可知四分之一波長法的第一特征頻率沒有考慮密度，而密度的隨機性對傳遞函數(shù)的第一特征頻率也只有較小的影響。

4?結論

本文采用Toro模型對Turkey?Flat場地建立隨機土層模型，對比4種工況對傳遞函數(shù)法和四分之一波長法放大因子的影響，并討論2種方法放大因子和第一特征頻率對各隨機參數(shù)的敏感性，得到以下結論：

（1）相較于其他土層參數(shù)，剪切波速的隨機性對2種方法計算的放大因子的影響最大，而且同時影響二者的幅值和特征頻率。層厚的隨機性對2種方法計算的放大因子的幅值影響小，對特征頻率影響大。密度的隨機性對2類方法計算的放大因子的幅值影響很小，幾乎不影響二者的特征頻率。

（2）2種方法的放大因子和特征頻率對剪切波速的隨機性最為敏感，其次是厚度的隨機性。不同的是四分之一波長法對各隨機參數(shù)的敏感度比傳遞函數(shù)法小4～5倍，四分之一波長法等效的特征頻率對密度的隨機性完全不敏感。

總體來說，雖然四分之一波長法能簡化場地計算，但是土層剪切波速、層厚和密度的隨機性對四分之一波長法的頻譜特征影響和對傳遞函數(shù)的影響基本相同。而且由于四分之一波長對土層模型不確定性的敏感度弱于傳遞函數(shù)，所以用四分之一波長計算一類場地的放大因子時，產(chǎn)生的不確定性會小于傳遞函數(shù)法。

中國地震局工程力學研究所陶正如和陶夏新研究員給予了巨大支持和幫助，哈爾濱工業(yè)大學曹澤林博士和匿名審稿專家提供了寶貴的意見，在此一并表示感謝。

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Influence?on?Site?Amplification?Factors?of?RandomCharacteristic?of?Soil?Parameters

LIU?Shiyao

（Key?Laboratory?of?Earthquake?Engineering?and?Engineering?Vibration，Institute?of?Engineering?Mechanics，China?Earthquake?Administration，Harbin，150080，?Heilongjiang，China）

Abstract

According?to?the?Toro?share?velocity?model，we?use?the?Monte?Carlo?method?to?generate?200?shear?velocities，thickness?and?density?random?samples?for?uncertainty?analysis，based?on?soil?structure?from?the?Turkey?Flat?site.Computing?the?quarter-wavelength（QWL）method?amplification?factor?as?well?as?transfer?function（TF）and?estimating?their?sensitivity?under?four?conditions?made?up?of?random?soil?samples?mentioned?above.The?results?show?that?uncertainties?of?shear?velocity，thickness?and?density?have?same?impact?on?the?spectrum?characteristics?using?two?methods.The?influence?of?shear?velocity?on?both?amplification?factors?and?fundamental?frequency?is?predominant?among?different?soil?parameters.In?addition，amplification?factors?and?fundamental?frequency?of?QWL?are?less?sensitive?to?random?soil?parameters?than?that?of?TFs.

Keywords：sensitivity?analysis;site?amplification?factor;random?shear?velocity?model;quarter-wavelength?method;transfer?function