賈路　阮鑫鑫　劉章軍

摘要：提出一種近斷層脈沖型地震動模擬的降維方法，將近斷層脈沖型地震動分解為高頻和低頻2個部分：采用譜表示與隨機函數(shù)方法生成高頻加速度時程，并轉化為相應的速度時程;采用Gabor小波模擬低頻速度脈沖時程，將高低頻的速度時程疊加得到合成的地震動速度時程，并轉化得近斷層脈沖型地震動的加速度和位移時程。結果表明：用3個基本隨機變量模擬的近斷層脈沖型地震動時程，可以反映近斷層脈沖型地震動的方向性效應、速度大脈沖等特征，進而可為近斷層區(qū)域工程結構的隨機地震反應和抗震可靠度分析提供合理的輸入。

關鍵詞：脈沖型地震動;速度脈沖;高頻加速度;隨機過程;降維模擬

中圖分類號：P315.914?文獻標志碼：A?文章編號：1000-0666（2019）04-0516-07

0?引言

近斷層地震動的形成機理較為復雜，它強烈地依賴于斷層破裂機制（如斷層破裂過程以及斷層面位錯的發(fā)展過程、滑動方向、滑動速度等）。近斷層地震動具有明顯的向前方向性效應和滑沖效應，這2種效應極易使得近斷層地震動出現(xiàn)明顯的長周期大脈沖和地面永久位移現(xiàn)象，且一次地震動的大部分能量都集中在單個或少數(shù)幾個頻率的脈沖上（劉啟方等，2006;賀秋梅等，2006）。Loma?Prieta地震、Landers地震、集集地震等的近場臺站記錄到了地震動中伴有明顯的低頻速度脈沖（Shrivastava?et?al，2015）。Bertero等（1978）的研究表明，低頻速度脈沖對結構設計的影響很大，不容忽視。

雖然在過去的幾十年中地震臺站記錄到的地震動數(shù)量持續(xù)增加，但記錄中顯示脈沖特性的近斷層地震動數(shù)量依然匱乏。由于對具體地震環(huán)境和場地條件的限制，現(xiàn)有的近場地震動記錄難以滿足近場工程結構抗震分析的需求。因此，人工模擬近斷層地震動成為了研究熱點（李啟成等，2013;魏勇等，2018）。Menun和Fu（2002）提出用一個包含2段的分段函數(shù)模型來模擬速度脈沖，這2段分別表示成強度調制函數(shù)與正弦函數(shù)的乘積，限定2個脈沖周期以外的值取為零。Mavroeidis（2003）提出的分段速度脈沖模型能模擬單半波、兩半波、三個及以上半波的脈沖形狀。田玉基等（2007）提出了利用單一連續(xù)函數(shù)形式來表達速度脈沖時程。上述模型是確定性方法，操作簡便，且能較好地反映近斷層脈沖型地震的基本特征，但是其模擬結果至多具有統(tǒng)計平均的意義，不具有可靠度評估的能力。鑒于此，Yang和Zhou（2015）基于近斷層地震動形成的物理過程，推導并建立了一種近斷層地震動功率譜模型，通過擬合42條實測近斷層脈沖型地震記錄的平均功率譜確定了功率譜模型參數(shù)，最后用譜表達方法生成了具有脈沖特征的非平穩(wěn)加速度時程樣本。由于譜表達中相位角的隨機性，相鄰頻率段諧波疊加可能會導致速度時程的脈沖特性減弱甚至消失（Luco，Bazzurro，2007;Grigoriu，2010）。以往的對于近斷層地震動的研究大多是用確定性方法來人工合成的，本文建立一種隨機模型，分別用含1個隨機變量的譜表示與隨機函數(shù)模擬方法來對高頻分量進行降維模擬，用含2個隨機變量的Gabor小波模型對低頻脈沖分量進行模擬，最后疊加得降維模擬的近斷層地震動，這樣做能較好地復現(xiàn)近場地震的脈沖特性。

1?近斷層脈沖型地震動的隨機建模

近斷層脈沖型地震動時程包含低頻脈沖成分和由地面隨機振動引起的高頻成分。楊慶山和田玉基（2014）對11次地震動28條地震記錄分析后發(fā)現(xiàn)近斷層脈沖成分的頻率一般小于1?Hz，可以分別模擬低頻脈沖成分和高頻成分最后疊加得到近斷層脈沖型地震動。Dickinson和Gavin（2010）把近斷層脈沖型地震動的高低頻成分的頻率分界值確定為1.5?Hz，實現(xiàn)了對近斷層脈沖型地震動的模擬。王宇航（2015）對國內外的17次地震124條地震記錄進行脈沖識別并提取出了速度脈沖，接著計算得到了速度脈沖和殘余部分的功率譜，研究發(fā)現(xiàn)這124條地震記錄的脈沖功率譜和殘余部分功率譜的界限頻率與脈沖周期負相關，統(tǒng)計得到這一負相關關系為：

式中：fr表示近斷層脈沖型地震動的高低頻分量的頻率分界值;TP表示脈沖周期。

并非所有近場脈沖記錄的高低頻率分界值都是1?Hz或者1.5?Hz，原因在于不同脈沖具有不同的周期，具有不同周期的脈沖在頻域上的能量分布會有所差異。而式（1）從源頭上解釋了為什么近斷層脈沖型地震動可以分為高低頻2部分模擬。本文擬采用式（1）來確定高低頻分量的頻率分界值，并分別模擬高低頻分量疊加合成近斷層脈沖型地震動。

1.1?高頻分量的降維建模

長周期脈沖分量分離后的殘余高頻加速度分量與遠場地震動加速度時程較為相似，可以用譜表示方法對其進行模擬。劉章軍等（2015）和Liu等（2016，2018）把隨機函數(shù)引入到源譜表示方法中，實現(xiàn)了對高頻加速度分量這一隨機過程的降維模擬。

高頻加速度時程ah可表示為：

式中：S（t，ω）為非平穩(wěn)地震動加速度時程的雙邊演變功率譜;Δω為頻率離散步長;N為頻域離散點數(shù);ω1和ωu分別是下限截止頻率和上限截止頻率，且有Δω=（ωu-ω1）/N;{Xk，Yk}為一組標準正交隨機變量，應滿足如下基本條件：

式中：k，l=1，2，…，N;δkl為Kronecker符號;E[·]為數(shù)學期望。應用隨機函數(shù)的思想，可將標準正交隨機變量{Xk，Yk}表達為基本隨機變量Θ1的函數(shù)，即：

式中：k，k=1，2，…?N，Θ1為在（0，2π）上服從均勻分布的隨機變量。k為k的某種確定性映射，筆者采用Matlab工具箱中自帶的函數(shù)rand（′state′，0）和temp=randperm（N）來實現(xiàn)，即k和k之間一一對應的確定性關系可表示為k=temp（k）?？梢宰C明，式（4）滿足標準正交隨機變量的基本條件式（3）。

式（2）中的演變功率譜S（t，ω），可由平穩(wěn)功率譜與強度調制函數(shù)得到，即：

式中：S（ω）為平穩(wěn)地震動過程的功率譜密度函數(shù);A（t）為強度調制函數(shù)。

將式（4）帶入式（2）中，即可得到基于譜表示與隨機函數(shù)法的高頻加速度時程的模擬公式：

值得指出的是，若用式（2）來模擬高頻加速度時程這一隨機過程，需要利用Monte?Carlo模擬方法進行大量的隨機抽樣以獲取2×N（N通常大于1?000）個基本隨機變量的代表性點集，并且由于Monte?Carlo模擬方法無法在全概率信息上描述非平穩(wěn)地震動隨機過程的概率特性，這為復雜工程的隨機動力響應和動力可靠度的精細化分析帶來了困難。而應用隨機函數(shù)法的降維思想，將模擬高頻加速度時程所需的隨機變量的數(shù)量降低至1個，從而可以采用數(shù)論方法對基本隨機變量選取概率信息完備的代表性點集，極大地降低了隨機模擬的計算量，也為結合概率密度演化理論對復雜工程結構的隨機地震反應和抗震可靠度分析奠定了基礎。

1.2?低頻脈沖分量的隨機建模

近斷層脈沖型地震動的典型特征主要包含方向性效應和滑沖效應，本文僅對其方向性效應產生的速度大脈沖進行模擬研究。

采用由Dickinson和Gavin（2010）建議的Gabor小波對低頻脈沖速度時程vp進行模擬：

式中：Vp，Tp，Tpk，Nc和φ分別表示脈沖峰值速度、脈沖周期、脈沖峰值時刻、脈沖循環(huán)數(shù)和脈沖相位角，其中，Nc和φ為隨機變量;TPK為高頻分量速度時程的峰值時刻的均值;本文擬用地震動峰值速度PGV代替脈沖峰值速度Vp，即：

已有研究（Mavroeidis，2003;Bray，Rodriguez，2004;Psycharis?et?al，2013）表明，這樣做可以保證地震響應分析和抗震設計偏于安全;其余參數(shù)可以通過以下方法確定。

地震動峰值速度PGV可采用Somerville（1997）建議的經驗公式確定：

式中：MW是斷層處可能發(fā)生的矩震級;R表示斷層距。

速度脈沖周期Tp可采用Somerville（2003）建議的經驗公式確定：

采用Gabor小波對低頻脈沖速度時程進行模擬。其中半波數(shù)Nc和相位角φ作為隨機變量處理，該模型可以模擬不同脈沖數(shù)且脈沖峰值不等的速度脈沖，可以方便地生成特定地震動。

通過式（4）的引入，并采用數(shù)論方法選取基本隨機變量的代表性點集，模擬高頻加速度時程所需的隨機變量數(shù)量由2×N個降低至1個，極大地減少了生成代表性樣本的計算量，實現(xiàn)了隨機過程的高效降維。再加上模擬低頻速度時程所需的2個隨機變量，本文方法僅需3個隨機變量就可對近斷層脈沖型地震動進行降維模擬。

2?近斷層脈沖型地震動的合成

2.1?近斷層脈沖型地震動的合成方法

前面提及的2個隨機模型分別模擬的是近斷層脈沖型地震動的高頻加速度時程和低頻速度時程，首先需要將降維模擬的高頻加速度時程轉化為對應的速度時程。假定在ti到ti+1的時間間隔內，近斷層地震動加速度為[a（ti）+a（ti+1）]/2，對降維模擬的近斷層地震動高頻加速度時程ah（t）進行積分得到高頻速度時程vh（t）。然后利用殘余速度峰值vres對vh（t）進行調幅得到標準化的高頻速度時程（Dickinson，Gavin，2010）：

式中：vres=0.509×PGV（Yang，Zhou，2015）是對實測地震動記錄進行脈沖識別并提取后的殘余速度峰值。

由標準化高頻速度時程vs（t）與低頻速度脈沖時程vp（t）進行疊加得到降維模擬的近斷層脈沖型地震動速度時程：

同理，在Δt的時間間隔內，假定近斷層地震動速度線性變化，對合成的近斷層脈沖型地震動速度時程v（t）進行微分得到降維模擬的近斷層脈沖型地震動的加速度時程a（t）;同樣可以對降維模擬的近斷層脈沖型地震動速度時程v（t）積分得到降維模擬的近斷層脈沖型地震動的位移時程u（t）。

2.2?算法步驟

近斷層脈沖型地震動的隨機模擬可以分解為高頻分量和低頻分量2個隨機過程的模擬，其中高頻分量采用含1個基本隨機變量的譜表示與隨機函數(shù)方法來模擬，低頻分量采用含2個基本隨機變量的Gabor小波來模擬。

首先，利用數(shù)論方法（Li，Chen，2007）在區(qū)間上均勻分布的三維空間選取一組含有nsel個點的代表性點集{θ1，m，θ2，m，θ3，m}nselm=1，每一個代表性點的賦得概率Pm=1/nsel。其次，將第一維度的點集{θ1，m}nselm=1一一映射到區(qū)間（0，2π）上，得到基本隨機變量Θ的代表性點集。同時，利用等概率反變換方法將第二維度的點集{θ2，m}nselm=1和第三維度的點集{θ3，m}nselm=1分別映射到指定的對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布（Yang，Zhou，2015），得到基本隨機變量Nc和φ的代表性點集。因此，三維隨機變量{Θ，Nc，Φ}的代表性點集就可以唯一確定，每個代表性點的賦得概率仍為Pm。最后，選取基本隨機變量Θ的代表性點集用于生成近斷層脈沖型地震動高頻加速度時程集合，取基本隨機變量Nc和φ的代表性點集用于生成近斷層脈沖型地震動低頻速度脈沖時程集合。從而，可生成近斷層脈沖型地震動加速度、速度和位移時程。

需要指出的是，利用數(shù)論方法選出3個基本隨機變量的代表性點集，使其具有賦得概率Pm，且所有代表性點構成了完備的概率集合，便于在進一步的研究中結合概率密度演化理論（Li，Chen，2006）對結構的動力反應及抗震可靠度進行分析。

3?數(shù)值算例

3.1?模型參數(shù)

假設斷層所在場地為第II類場地，選用第一組設計地震參數(shù)。假設斷層處可能發(fā)生MW7.0地震，工程場址的斷層距R=40?km;根據(jù)式（9）和式（10）分別計算得到PGV=49.18?cm/s，Tp=2.52?s。

對于近斷層地震動高頻加速度過程對應的平穩(wěn)功率譜密度函數(shù)S（ω），本文采用Clough-Penzien譜，即

式中：ωg和ζg分別是場地土的卓越圓頻率和阻尼比;ωf和ζf分別是基巖的卓越圓頻率和阻尼比;S0表示譜強度因子：

式中：amax是地震動峰值加速度的均值，根據(jù)地震動的能量衰減關系（張齊等，2013），本文取為240?cm/s2;r是峰值因子。因為近斷層脈沖型地震動具有脈沖幅值大、持時短的特點，本文采用歐進萍和王光遠（1998）提出的強度包絡函數(shù)：

式中：參數(shù)c是控制地震動加速度的到達時刻，參數(shù)d是控制強度包絡函數(shù)A（t）形狀的參數(shù)，取Liu等（2018）的建議值。

高頻分量的計算參數(shù)及其取值見表1，低頻脈沖分量隨機建模的統(tǒng)計參數(shù)見表2。

3.2?結果分析

圖1a為本文方法生成的185條代表性樣本的高頻加速度時程。由圖可知，生成的代表性樣本時程曲線具有地震動加速度時程的非平穩(wěn)特性。圖1b為本文方法生成的代表性樣本的低頻速度時程。從圖中可以看出，本文方法模擬的是單一成分的速度脈沖。

圖2為對隨機變量進行標準化處理后生成的185條代表性樣本的高頻加速度時程集合的均值、標準差和目標值。均值相對誤差為7.6×10-10，標準差相對誤差為4.2%，均小于誤差限值5%，滿足誤差要求。其中，均值誤差無限趨近于零，可以將模擬值近似看作是一個零均值的隨機過程。

圖3為185條代表性樣本的低頻速度時程集合的均值、標準差和目標值?？梢钥闯觯M值與目標值擬合較好，這證明了本文降維模擬方法的正確性。

圖4為本文方法降維模擬的近斷層脈沖型地震動時程，圖4a是降維模擬的加速度代表性時程，體現(xiàn)出了近斷層脈沖型地震動明顯的強度非平穩(wěn)特性和脈沖特性;圖4b是降維模擬的速度代表性時程，表現(xiàn)為少數(shù)時間節(jié)點上的速度跳躍性，更為明顯地體現(xiàn)出了降維模擬的近斷層脈沖型地震動的速度大脈沖特性和向前方向性效應;圖4c是降維模擬的位移代表性時程，同樣體現(xiàn)出了該類地震動的脈沖特性。

4?結論

本文提出了一種參數(shù)化的近斷層脈沖型地震動模擬的降維方法，將地震動分成高頻分量和低頻分量2部分模擬。高頻分量的模擬中，采用了譜表示與隨機函數(shù)方法，極大地降低了隨機過程的隨機度，提高了模擬效率;低頻分量的模擬中，采用了Gabor小波模型對低頻脈沖速度時程進行模擬，其中半波數(shù)Nc和相位角φ作為隨機變量處理，該模型可以模擬不同脈沖數(shù)且脈沖峰值不等的速度脈沖。本文方法的高低頻模型中都引入了隨機參數(shù)，可以方便地模擬生成不同地震環(huán)境和不同場地條件下的近斷層脈沖型地震動。

本文方法合成的地震動包含了近斷層地震動的主要特征，如向前方向性效應，速度大脈沖等。通過分別模擬高頻和低頻時程然后疊加合成近斷層脈沖型地震動時程，可以方便地為近斷層地區(qū)的工程結構隨機地震反應分析和抗震設防研究提供合理的地震動輸入。

本文在撰寫過程中得到三峽大學張齊博士及大連理工大學陳國海博士后的幫助，在此向他們表示感謝。

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Dimension?Reduction?Simulation?for?Near-field?FaultPulse-like?Ground?Motion

JIA?Lu1，RUAN?Xinxin2，LIU?Zhangjun2

（1.College?of?Civil?Engineering?and?Architecture，China?Three?Gorges?University，Yichang?443002，Hubei，China）（2.School?of?Civil?Engineering?and?Architecture，Wuhan?Institute?of?Technology，Wuhan?430074，Hubei，China）

Abstract

A?dimension?reduction?method?for?the?simulation?of?near-field?fault?pulse-like?ground?motions?is?proposed.The?near-field?fault?pulse-like?ground?motions?are?decomposed?into?two?parts，including?high-frequency?component?and?low-frequency?component.The?spectral?representation-random?function?method?is?used?to?generate?the?time-series?of?high-frequency?acceleration，which?is?then?converted?to?the?corresponding?velocity?time-series.The?Gabor?wavelet?is?used?to?simulate?the?time-series?of?low-frequency?velocity?pulse.And?the?time-series?of?high?and?low?frequency?velocity?are?superposed?to?get?the?synthetic?velocity?time-series?of?ground?motion，which?are?then?transformed?to?obtain?the?acceleration，displacement?time-series?of?near-field?fault?pulse-like?ground?motion.The?calculating?example?shows?that?the?time-series?simulated?by?this?method?with?only?three?basic?random?variables?can?reflect?the?characteristics?of?the?near-fault?pulse-like?ground?motion，such?as?directivity?effect?and?large?velocity?pulse，and?thus?can?provide?reasonable?input?for?the?random?seismic?respond?and?aseismic?reliability?analysis?of?engineering?structures?in?the?near-field?fault?region.

Keywords：pulse-like?ground?motion;velocity?pulse;high-frequency?acceleration;random?process;dimension?reduction?simulation