張世春

（同濟大學(xué)建筑設(shè)計研究院(集團)有限公司，上海市200092）

0 引言

近年來，科學(xué)技術(shù)的不斷進步，極大地促進了交通工程和建筑工程的理論研究與工程技術(shù)的發(fā)展，使得高強而輕質(zhì)的建筑材料、大跨度橋梁、高層建筑和高聳結(jié)構(gòu)等不斷涌現(xiàn)。結(jié)構(gòu)設(shè)計理論早已超出只按靜力和彈性理論進行線性分析的時期，并發(fā)展到按動力和彈塑性理論進行非線性分析的階段，對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題的處理也變得越來越重要。由于大跨度拱橋的整體穩(wěn)定性對結(jié)構(gòu)安全起著決定性作用，因而須對其進行結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性分析。

1 拱橋空間穩(wěn)定性理論

拱橋的穩(wěn)定性問題從空間的失穩(wěn)形態(tài)上分為面內(nèi)失穩(wěn)和面外失穩(wěn)。從失穩(wěn)的受力性質(zhì)可分為兩類：第一類為平衡分支問題，第二類為極值點問題。拱橋是以受壓為主的壓彎結(jié)構(gòu)，嚴(yán)格來說，拱的失穩(wěn)皆為第二類失穩(wěn)。但是拱的第一類穩(wěn)定性問題，力學(xué)情況單純明確，它的臨界荷載可近似代表第二類穩(wěn)定問題的上限，所以無論在理論分析中還是在工程應(yīng)用上都占有重要地位。

1.1 線性穩(wěn)定性分析

線性穩(wěn)定性法是假定結(jié)構(gòu)和材料均是線性的，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與外荷載成比例關(guān)系，把結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析轉(zhuǎn)化為求解特征值問題，得出的最小特征值就是失穩(wěn)臨界荷載。 在臨界荷載下，拱橋結(jié)構(gòu)線性屈曲的平衡方程為：

式中：[KD]為彈性剛度矩陣；[KG]為幾何剛度矩陣，只與構(gòu)件的軸向力有關(guān)；{δ}為單元節(jié)點位移增量；λ 為荷載穩(wěn)定系數(shù)。式（1）為特征值問題，其最小特征值在工程上才有意義。應(yīng)用各種迭代方法，如逆矢量迭代法、子空間迭代法等都可以很方便的求解。

1.2 幾何非線性穩(wěn)定性分析

拱橋的幾何非線性穩(wěn)定性分析主要是指在荷載作用下，拱軸線與荷載壓力線的偏離問題。因為這種偏離是不可避免的，如施工階段，壓力線隨架設(shè)過程的不斷變化、施工預(yù)拱度的設(shè)置、各種施工偏差和拱軸線的彈性壓縮等。拱橋的幾何非線性屬于彈性大變形問題，采用全量方法求解，概念明確，易于理解。幾何非線性屈曲法假定材料是線性的，考慮結(jié)構(gòu)的梁柱效應(yīng)及大位移效應(yīng)，通過增量和迭代相結(jié)合的方法求解失穩(wěn)臨界荷載。

拱橋結(jié)構(gòu)的非線性平衡方程可寫為：

式中：[K0]為小位移線性剛度矩陣；[KL]為大位移剛度矩陣；[Kσ]為初應(yīng)力剛度矩陣；{F}為等效節(jié)點荷載；{δ}為節(jié)點位移。另外，[KL]、[Kσ]是{δ}的函數(shù)，所以式（2）為非線性方程組。

非線性方程組的求解采用荷載增量法。荷載從零開始，按照某種增量形式逐步增大到λi{F}。當(dāng){δ}開始發(fā)散時，λi{F}即為拱橋的極限承載力。通常將非線性方程組寫成如下形式：

式中：λn為荷載因子，對其可以假定0=λ0＜λ1＜λ2＜···＜λi＜λn。

在每一個荷載步內(nèi)對非線性方程（3）進行線性化，可得增量形式的平衡方程：

式中：{Δδ}為節(jié)點位移增量；{ΔF}為等效節(jié)點荷載增量。

可以設(shè)λn=100（一般下承式拱橋達(dá)到極限承載力時的穩(wěn)定系數(shù)不大于10）。在每一個載荷步內(nèi)，為了改進求解精度，可以應(yīng)用牛頓法進行迭代。結(jié)構(gòu)的極限承載力在開始發(fā)散的荷載和此前一級已收斂的荷載之間。如荷載增量步分得較細(xì)，可以偏于安全地認(rèn)為是前一級荷載，而避免更加復(fù)雜的計算。

1.3 材料非線性穩(wěn)定性分析

考慮材料非線性的分析與幾何非線性分析基本上是一致的，只不過此時要不斷修正各單元的中性軸及材料參數(shù)。梁單元的材料非線性分析模型主要有兩類：不分層梁和分層梁，其中不分層梁模型主要用于規(guī)則的截面，如矩形、圓形等；分層梁單元模型則避免了上述的局限性，其截面形式可任意，而且不同梁層可具有不同材質(zhì)。

2 國內(nèi)規(guī)范驗算要求

2.1 鋼筋混凝土拱肋

大跨徑拱橋應(yīng)驗算拱頂、拱跨3/8處、拱跨1/4處和拱腳4個關(guān)鍵截面；對于中小跨徑拱橋，拱跨1/4處截面可不予驗算；特大跨徑拱橋除上述4個關(guān)鍵截面外，需視截面配筋情況，另外選擇控制截面進行驗算。

2.1.1 縱向穩(wěn)定性

將拱肋換算為相當(dāng)計算長度的壓桿，按軸心受壓構(gòu)件承載力計算公式驗算其穩(wěn)定性：

式中：γ0為結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)；Nd為拱肋軸向力設(shè)計值；φ 為軸壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)，按表1取用；fcd為拱肋混凝土材料抗壓強度設(shè)計值；A為拱肋的截面面積，當(dāng)縱向鋼筋配筋率大于3%時取凈截面面積；f'sd為縱向鋼筋抗壓強度設(shè)計值；A's為縱向鋼筋截面面積。

2.1.2 橫向穩(wěn)定性

當(dāng)拱的寬度小于計算跨徑的1/20時，應(yīng)驗算拱肋的橫向穩(wěn)定。計算以橫系梁聯(lián)結(jié)的拱肋橫向穩(wěn)定時，可近似將其視為長度等于拱軸線長度的平面桁架，根據(jù)其支承條件，按受壓組合構(gòu)件確定其橫向穩(wěn)定計算長度和長細(xì)比。

在確定橫向穩(wěn)定計算長度和長細(xì)比后，可由表1確定軸壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)φ，則拱肋的橫向穩(wěn)定性可按式（5）進行驗算。

2.2 鋼拱肋

2.2.1 實腹式軸壓構(gòu)件

實腹式軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定性應(yīng)按式（6）計算：

式中：N為構(gòu)件軸心壓力；φ 為軸壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)（取截面兩主軸穩(wěn)定系數(shù)的較小者），應(yīng)根據(jù)構(gòu)件的長細(xì)比、鋼材屈服強度和截面分類確定；f為抗拉（壓）強度設(shè)計值。

2.2.2 實腹式單向壓彎構(gòu)件

彎矩作用在對稱軸平面內(nèi)（繞軸）的實腹式壓彎構(gòu)件，其穩(wěn)定性應(yīng)按下列規(guī)定計算。

表1 鋼筋混凝土軸壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)φ

（1）彎矩作用平面內(nèi)的穩(wěn)定性：式中：N'Ex為參數(shù)，N'Ex=π2EA（1.1λx2），其中的λx為繞x軸的長細(xì)比，E為彈性模量；φx為彎矩作用平面內(nèi)的軸壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)；Mx為計算構(gòu)件的最大彎矩；W1x為彎矩作用平面內(nèi)對較大受壓纖維的毛截面抵抗矩；γx為塑性發(fā)展系數(shù)，本文中取1.05；βmx為等效彎矩系數(shù)，本文中取1.0。

（2）彎矩作用平面外的穩(wěn)定性：

式中：φy為彎矩作用平面外的軸壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)；φb為均勻彎曲的受彎構(gòu)件整體穩(wěn)定系數(shù)，對于閉口截面取1.0；η 為截面影響系數(shù)，對于閉口截面取0.7；βtx為等效彎矩系數(shù)，本文中取1.0。

2.2.3 實腹式雙向壓彎構(gòu)件

彎矩作用在2個主平面內(nèi)的雙軸對稱實腹式工字形（含H形）和箱形（閉口）截面的壓彎構(gòu)件，其整體穩(wěn)定性應(yīng)按式（9）、式（10）計算：

式中：φbx、φby取1.0；γx、γy取1.05；βmx、βmy、βtx、βty取1.0。

3 巴彥淖爾先鋒橋

3.1 工程概況

巴彥淖爾先鋒橋為中承式系桿拱橋，是內(nèi)蒙古自治區(qū)巴彥淖爾先鋒路跨越黃河總干渠的重要節(jié)點。其主橋跨徑布置為25 m+100 m+25 m，全長150m，橋?qū)?5.1m。該橋采用鋼-混凝土組合梁，鋼縱梁及邊橫梁為H形截面，中橫梁及端橫梁為箱形截面。主拱為梯形變截面鋼箱梁并向內(nèi)傾斜，主拱間設(shè)置2道風(fēng)撐，邊拱為混凝土結(jié)構(gòu)，主、邊拱均與拱腳固結(jié)。全橋共設(shè)40根吊桿和12根系桿，吊桿及系桿均采用鋼絞線。具體橋型見圖1、圖2。

圖1 橋梁立面圖（單位：cm）

3.2 有限元模型

圖2 橋梁截面圖（單位：cm）

采用有限元軟件Midas/Civil對該橋進行建模，模型中吊桿及系桿采用桁架單元，橋面板及裝飾拱采用板單元，其余均采用梁單元模擬；混凝土板與鋼梁之間采用彈性連接里的剛接，以模擬板梁之間的剪力件；模型中考慮樁土相互作用，采用節(jié)點彈性支承模擬，并利用m法確定其土彈簧系數(shù)。本結(jié)構(gòu)模型共有節(jié)點6 440個，桁架單元388個，梁單元3 806個，板單元2 064個，截面類型123個，一般支承80個，節(jié)點彈性支承2 192個，彈性連接1 181個，剛性連接316個。

有限元結(jié)構(gòu)模型見圖3。

圖3 有限元結(jié)構(gòu)模型

本文僅對主橋進行了模擬，為考慮引橋部分的影響，將其半跨自重折算成橫向線荷載作用于蓋梁，計算得線荷載qy=172.57 kN/m；二期恒載（6 cm防水混凝土、4 cm瀝青鋪裝，容重分別取25 kN/m3、17.65 kN/m3）qh=（0.06×25+0.04×17.65）=2.206 kN/m2；將吊桿半徑擴大至100倍，即將吊桿剛度放大至10 000倍，再將吊桿密度縮小10 000倍，以保證重量不變，在此情況下計算恒載作用下的吊桿、系桿內(nèi)力，并將所得內(nèi)力輸入吊桿和系桿作為初始內(nèi)力；假設(shè)初始溫度為20℃，溫度荷載僅考慮整體升溫20℃及整體降溫30℃，溫度梯度不予考慮；移動荷載包括車道荷載及人行荷載，按規(guī)范予以施加，且由軟件自動組合以形成最不利布置。

3.3 整體穩(wěn)定性分析

3.3.1 邊拱規(guī)范公式驗算

邊拱采用C40混凝土，抗壓強度設(shè)計值fcd=19.1MPa。邊拱截面為平行四邊形，寬度b=1.8m，高度自端部向拱腳漸變增大。邊跨計算跨徑L為25m，邊拱弧長La約為26m。驗算截面取跨中和拱腳處2個截面。

邊拱縱向穩(wěn)定性須滿足式（5），此處將該式進行簡化，忽略鋼筋作用，即：

該橋設(shè)計安全等級為一級，γ0取1.1。邊拱為無鉸拱，則l0=0.36La=9.36m，l0/b=5.2，根據(jù)表1查得φ=1。軸向力設(shè)計值Nd從Midas計算結(jié)果中查取，具體計算結(jié)果見表2。

表2 邊拱縱向穩(wěn)定性計算表

由表2可知，邊拱縱向穩(wěn)定性滿足要求，且富余量很大。

由于混凝土邊拱寬度b＞L/20=1.25m，因此無須驗算邊拱的橫向穩(wěn)定性。

3.3.2 主拱規(guī)范公式驗算

主拱采用Q345號鋼，抗拉（壓）強度設(shè)計值f為295MPa（板厚30mm、35mm）、265MPa（板厚40mm、50mm），彈性模量E為2.06×108kN/m2。主拱為箱型截面，且截面大小不等，從拱頂至拱腳逐漸變化。主跨計算跨徑L為100m，主拱弧長La約為125m。驗算截面取拱頂、拱跨3/8處、拱跨1/4處和拱腳4個截面。

按照混凝土拱肋的處理思路，將鋼主拱換算為相當(dāng)計算長度的壓桿。由于主拱為無鉸拱，且無橫豎向支撐，則計算長度l0x=l0y=0.36La=45m。主拱承受著雙向彎矩作用，因而應(yīng)對其進行雙向壓彎構(gòu)件的整體穩(wěn)定性驗算。對于雙軸對稱實腹式箱形截面，其整體穩(wěn)定性驗算應(yīng)滿足式（9）、式（10）。本文中的主拱為單軸對稱箱形截面，在此將其簡化為雙軸對稱截面，即主拱寬度取上下截面寬度的平均值。

主拱長細(xì)比按公式λ=l0/i計算。對于繞x軸的長細(xì)比λx，由于主拱截面不均勻，因而λx取主拱繞x軸的最小回轉(zhuǎn)半徑所對應(yīng)的長細(xì)比。經(jīng)各個截面對比計算，λx應(yīng)取76.16（見表3，其中的Ix為慣性矩）。主拱截面對x軸屬b類截面，故由λx=76.16查表得，φx=0.606。對于繞y軸的長細(xì)比λy，同樣由于主拱截面不均勻，因而λy取主拱繞y軸的最小回轉(zhuǎn)半徑所對應(yīng)的長細(xì)比。經(jīng)各個截面對比計算，λy應(yīng)取71.08（見表4，其中的Iy為慣性矩）。主拱截面對y軸屬b類截面，故由λy=71.08查表得，φy=0.745。軸向壓力N和彎矩Mx、My從Midas計算結(jié)果中查取，整體穩(wěn)定性的具體計算結(jié)果見表5。表5中的

表3 長細(xì)比λx 計算表

表4 長細(xì)比λy 計算表

表5 主拱整體穩(wěn)定性計算表

由表5可知，各個關(guān)鍵截面的S1和S2均小于抗拉（壓）強度f，故主拱的整體穩(wěn)定性滿足設(shè)計要求。

3.3.3 Midas 屈曲分析

由于Midas/Civil中的屈曲分析屬于線性分析，故全橋整體穩(wěn)定分析中不考慮溫度荷載，且將模型中拱腳、拱頂軸力最大時所對應(yīng)布置的移動荷載轉(zhuǎn)化為靜力荷載，然后在屈曲分析控制中對各靜力荷載進行組合并對模型進行分析，計算出拱橋前10階屈曲模態(tài)和相應(yīng)的穩(wěn)定安全系數(shù)。

計算過程中，自重、二期恒載以及移動荷載均設(shè)置為變量。所得拱橋前5階屈曲模態(tài)見圖4，拱橋前10階穩(wěn)定安全系數(shù)的計算結(jié)果見表6。

圖4 拱橋前5 階屈曲模態(tài)圖

表6 拱橋前10 階穩(wěn)定安全系數(shù)表

從模型屈曲分析的計算結(jié)果可以看出，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定安全系數(shù)遠(yuǎn)大于《鐵路橋涵設(shè)計規(guī)范》（TB 10002—2017）規(guī)定的4~5，故本結(jié)構(gòu)不會發(fā)生整體失穩(wěn)，與規(guī)范公式驗算得出的結(jié)論一致。

4 結(jié) 語

本文通過規(guī)范公式驗算和Midas屈曲分析兩種方法，對內(nèi)蒙古自治區(qū)巴彥淖爾中承式系桿拱橋進行了整體穩(wěn)定性分析。分析結(jié)果表明，該橋設(shè)計滿足整體穩(wěn)定性要求。并且從邊拱整體穩(wěn)定的計算結(jié)果來看，其富余量很大。這是由于主拱和邊拱與基礎(chǔ)固結(jié)，而基礎(chǔ)水平位移量相對很小，因此主拱拱腳處的水平推力難以傳至邊拱。若將拱腳與承臺以特殊支座連接，或弱化承臺下樁頂部的縱向抗側(cè)剛度，以使水平推力更多地傳至邊拱，則可達(dá)到充分利用邊拱混凝土抗壓性能的效果。