殷樂，曹小紅

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西西安710119）

0 預(yù)備知識

文中,H表示復(fù)的無限維可分的Hilbert空間,B(H)為H上有界線性算子的全體。若T的值域R(T)閉且其零空間N(T)是有限維的,則稱T∈B(H)為上半Fredholm算子；若T的值域R(T)的余維數(shù)是有限維的,則稱T∈B(H)為下半Fredholm算子。若T既為上半Fredholm算子又為下半Fredholm算子,則稱T∈B(H)為Fredholm算子。對Fredholm算子T∈B(H)而言,定義其零度為n(T)=dimN(T),虧數(shù)為d(T)=dim(H/R(T)),指標(biāo)為ind(T)=n(T)-d(T)。正如文獻(xiàn)[1-3]中定義的那樣,令

σ(T)={λ∈ C:T-λI不為可逆算子},

σe(T)={λ∈ C:T-λI不為Fredholm算子}分別為算子T的譜和本質(zhì)譜,并記ρ(T)=Cσ(T),ρe(T)=Cσe(T)。令={λ∈C:T-λI不為上半Fredholm算子},并記對T∈B(H),若R(T)閉且n(T)=0,則稱T為下有界算子,令

σa(T)={λ∈ C:T-λI不為下有界算子}為算子T的逼近點(diǎn)譜,記ρa(bǔ)(T)=Cσa(T)。令算子T∈B(H)的升標(biāo)asc(T)為滿足N(Tn)=N(Tn+1)的最小正整數(shù)n,若這樣的正整數(shù)不存在,則記asc(T)=∞；算子T∈B(H)的降標(biāo)des(T)為滿足R(Tn)=R(Tn+1)的最小正整數(shù)n,若這樣的正整數(shù)不存在,則記des(T)=∞。若T是指標(biāo)為零的Fredholm算子，則稱T為Weyl算子；若T是有有限升降標(biāo)的Fredholm算子,則稱T為Browder算子。即零空間包含于超值域[6]。若T∈B(H)為Saphar算子且R(T)閉,則稱T具有Kato性質(zhì)。若isoσ(T)?σp(T),則稱T為isoloid算子。

由Jacobson定理可知，算子乘積的譜滿足:任給Hilbert空間上的2個有界線性算子T和S,TS和ST的譜集中非零元相同。若對于任意算子S∈B(H),有σ(TS)=σ(ST)，則稱T為一致可逆算子(簡稱CI算子)。文獻(xiàn)[7]給出了Hilbert空間有界線性算子具有一致可逆性質(zhì)的充要條件,2003年，DJORDJEVI?[8]將范圍擴(kuò)大到Banach空間和Calkin代數(shù)。

1909年,WEYL[9]在檢查Hermitian算子T的緊攝動譜時發(fā)現(xiàn),λ屬于T的所有緊攝動譜當(dāng)且僅當(dāng)λ屬于T的譜集但非其孤立的有限重特征值。現(xiàn)稱此發(fā)現(xiàn)為Weyl定理。20世紀(jì)90年代,許多學(xué)者對Weyl定理進(jìn)行了變形與推廣。HARTE等[10]和RAKO?EVI?[11-12]討論了Weyl定理的另外幾種變形,即Browder定理、a-Weyl定理和(ω)性質(zhì)。由文獻(xiàn)[11],若

σa(T)σea(T)= π00(T),

其中 π00(T)={λ∈ isoσ(T):0 ＜n(T-λI)＜ ∞}，則稱算子T滿足(ω)性質(zhì)(簡寫為T∈(ω))。近年來,許多學(xué)者展開對算子和算子矩陣(ω)性質(zhì)的討論[13-15]。本文將一致可逆性質(zhì)用于(ω)性質(zhì)的判定,給出了(ω)性質(zhì)新的判定方法。由文獻(xiàn)[1]定理7.9.3可知,T為Browder算子等價于T為Fredholm算子且存在ε＞ 0,當(dāng)0＜ |λ|＜ε時,T-λI可逆。對T∈B(H),令

分別表示算子T的Weyl譜、Browder譜、點(diǎn)譜和本質(zhì)逼近點(diǎn)譜,并記相應(yīng)的預(yù)解集為對應(yīng)譜在C中的余集。由文獻(xiàn)[4]推論4.4知，σea(T)?σw(T)?σb(T)。對集合G? C,用isoG表示G中孤立點(diǎn)的全體,用accG表示G中聚點(diǎn)的全體。

文獻(xiàn)[5]討論了算子的Kato性質(zhì)與攝動理論。T∈B(H)為Saphar算子是指算子T滿足

1 主要結(jié)論及證明

由文獻(xiàn)[7]知，算子T為CI算子當(dāng)且僅當(dāng)算子T符合下列3種情況之一:

(1)T可逆；

(2)T值域R(T)不閉；(3)T值域R(T)閉且T不單也不滿。在此基礎(chǔ)上,定義一個新的譜集。令

ρ1(T)={λ∈ C:n(T-λI)＜ ∞,

且存在ε＞ 0，使得當(dāng)0 ＜ |μ-λ|＜ε時,T-μI是CI算子且

令σ1(T)=Cρ1(T),顯然σ1(T)?σb(T)。

下面由(ω)性質(zhì)給出幾類譜之間的關(guān)系。

定理1設(shè)T∈B(H),若T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子,則σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)。

證明先證σb(T)?σ1(T)∪ accσea(T)。

對任意的λ?σb(T),T-λI為Browder算子，則存在ε＞ 0,當(dāng)0 ＜ |μ-λ|＜ε時,T-μI可逆,因此λ?σ1(T)∪ accσea(T),這樣就證明了

σb(T)?σ1(T)∪ accσea(T)。

下證σb(T)?σ1(T)∪ accσea(T)。

對任意的λ?σ1(T)∪ accσea(T),可得n(T-λI)＜ ∞,且存在ε＞ 0,使得當(dāng)0 ＜ |μ-λ|＜ε時,T-μI是CI算子和上半Fredholm算子,T-μI具有Kato性質(zhì)并且ind(T-μI)≤0。于是T-μI可逆或者不單不滿。若存在μ0,當(dāng)0＜ |μ0-λ|＜ε時,使得T-μ0I不單不滿,則μ0∈σa(T)σea(T)=π00(T),進(jìn)而μ0∈ρb(T)。又由T-μ0I具有Kato性質(zhì)可知,μ0∈ρ(T),與T-μ0I不單不滿矛盾,因此T-μI可逆,即有λ∈ isoσ(T)∪ρ(T)。若λ∈ρ(T),則λ?σb(T)；若λ∈ isoσ(T),由T為isoloid算子得n(T-λI)＞0,則λ∈ π00(T)=σa(T)σea(T),因此λ∈ρb(T),即λ?σb(T),故σb(T)?σ1(T)∪ accσea(T)得證。

綜上,若T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子,則

σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)。

注解1(1)定理1中“T為isoloid算子”這一條件不能去掉。例如:設(shè)T∈B(?2)，定義

則σa(T)=σea(T)=σb(T)=isoσ(T)={0},

π00(T)=σ1(T)=σp(T)=accσea(T)= ?。

T滿足(ω)性質(zhì)但不是isoloid算子,且

σb(T)≠σ1(T)∪accσea(T)。

（2）反之定理1不成立。例如：設(shè)T1，T2∈B(?2)，定義

令T=T1⊕T2,則

但T不滿足(ω)性質(zhì)。

（3）若T滿足(ω)性質(zhì)，則

σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)∪

{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}。

類似于定理1的證明，可知包含關(guān)系σb(T)?σ1(T)∪accσea(T)∪

{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}

成立。于是對任意的

λ?σ1(T)∪ accσea(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0},由定理1的證 明可知，λ∈ isoσ(T)∪ρ(T)。若λ∈ isoσ(T),由λ? {λ∈σ(T):n(T-λI)=0},得n(T-λI)＞ 0。又λ∈ρ1(T),則λ∈ π00(T)=σa(T)σea(T),故λ∈ρb(T),所以λ?σb(T)；若λ∈ρ(T),顯然λ?σb(T),因此

σb(T)?σ1(T)∪ accσea(T)∪

{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}。

綜上所述,若T滿足(ω)性質(zhì),則有

σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)∪ {λ∈σ(T):

n(T-λ I)=0}。

注解1中（3）反之不成立,例子同(2)中定義的算子T。

由定理1可知,由σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)不能推出T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子。下面補(bǔ)充條件后給出定理2。

定理2設(shè)T∈B(H),若σb(T)=σ1(T)∪accσea(T)且intσ1(T)= ?,則T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子。

證 明對任意的λ∈σa(T)σea(T),有λ? accσea(T)。若λ∈σ1(T),結(jié) 合λ∈ρea(T),可知存在ε＞0,當(dāng)0＜|μ-λ|＜ε時,μ∈ρa(bǔ)(T)∩σ(T),則μ∈σ1(T)。此時λ∈ intσ1(T),這與intσ1(T)=? 矛 盾。故λ?σ1(T),因此λ?σ1(T)∪accσea(T),即λ?σb(T)。又0 ＜n(T-λI)＜ ∞,故λ∈ π00(T)。

由于π00(T)∩[σ1(T)∪ accσea(T)]=?,

即有π00(T)?ρb(T)?ρea(T),

故π00(T)?σa(T)σea(T)。

顯然有

{λ∈ isoσ(T)：n(T-λI)=0}∩[σ1(T)∪ accσea(T)]=?，

因此 {λ∈ isoσ(T):n(T-λI)=0}?ρb(T)。

故 {λ∈ isoσ(T):n(T-λI)=0}?ρ(T),矛盾。

因此 {λ∈ isoσ(T):n(T-λI)=0}=?,

即T為isoloid算子。

注解2反之定理2不成立。例如：設(shè)T∈B(?2),定義

T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子,σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)，但 intσ1(T)≠ ?。

下面利用集合σ1(T)給出算子T滿足(ω)性質(zhì)的判定條件。

定理3設(shè)T∈B(H),則下列敘述等價:

(1)T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子；

(2)σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)且

[σa(T)σea(T)]∩acc[ρa(bǔ)(T)∩σ(T)]= ?；

(3)σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)且[σa(T)σea(T)]∩intσ1(T)= ?；

(4)σb(T)=[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)∪[ρa(bǔ)(T)∩σ(T)]；

(5)σb(T)∩σa(T)=[σ1(T)∩σea(T)]∪accσea(T)。

證明(1)?(2)。當(dāng)T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子時,由定理1知，σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)。

對任意的λ∈σa(T)σea(T),由T滿 足 (ω)性質(zhì)，可得λ∈ π00(T),則λ∈isoσ(T),故λ?acc[ρa(bǔ)(T)∩σ(T)],即

[σa(T)σea(T)]∩ acc[ρa(bǔ)(T)∩σ(T)]= ?。

(2)?(3)。對任意的λ∈ [σa(T)σea(T)]∩intσ1(T),存在ε＞ 0,當(dāng)0＜ |μ-λ|＜ε時,μ∈ρa(bǔ)(T)∩σ(T),故λ∈ acc[ρa(bǔ)(T)∩σ(T)],這與(2)中[σa(T)σea(T)]∩acc[ρa(bǔ)(T)∩σ(T)]= ?矛盾。因此不存在這樣的λ,即

[σa(T)σea(T)]∩ intσ1(T)= ?。

(3)?(1)。類似于定理2的證明。

(1)?(4)。由定理1的證明知

σb(T)? [σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)。

下證ρa(bǔ)(T)∩σ(T)?σb(T)。

對任意的λ∈ρa(bǔ)(T)∩σ(T),由下有界算子的攝 動定理知，存在ε＞ 0,當(dāng)0 ＜ |μ-λ|＜ε時,μ∈ρa(bǔ)(T)∩σ(T),則λ∈σb(T),因此

對任意的λ?[σ1(T)∩σea(T)]∪accσea(T)∪[ρa(bǔ)(T)∩σ(T)],若λ?σ1(T),由λ? accσea(T)知,存在ε＞ 0,當(dāng)0＜ |μ-λ|＜ε時,有μ∈ρ(T)或μ∈σa(T)∩σ(T)。若存在μ0∈B(λ0),使得μ0∈σa(T)∩σ(T),則μ0∈σa(T)σea(T),由(ω)性質(zhì)知,μ0∈ρb(T)。又T-μ0I具有Kato 性質(zhì),由文獻(xiàn)[4]引理3.4可得

其中p為T-μ0I的升標(biāo),因此μ0∈ρ(T),這與μ0∈σa(T)∩σ(T)矛盾。故存在ε＞0,當(dāng)0＜|μ-λ|＜ε時,有μ∈ρ(T),進(jìn)而可得λ∈isoσ(T)∪ρ(T)。若λ∈ isoσ(T),由T為isoloid算子可知,λ∈σp(T),因此λ∈ π00(T)=σa(T)σea(T),λ∈ρb(T)；若λ∈ρ(T),顯然有λ?σb(T)。

若λ?σea(T),當(dāng)λ?ρa(bǔ)(T)時,λ∈σa(T)σea(T)= π00(T),故λ?σb(T)；當(dāng)λ?σ(T)時,λ?σb(T)。因此，當(dāng)λ?[σ1(T)∩σea(T)]∪accσea(T)∪[ρa(bǔ)(T)∩σ(T)]時,λ?σb(T)。

綜上,若T為isoloid算子且滿足(ω)性質(zhì),則σb(T)=[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)∪

[ρa(bǔ)(T)∩σ(T)]。

(4)?(5)。由σea(T)?σa(T)，可得σ1(T)∩σea(T)?σa(T)。對任意的λ?σa(T),由下有界算子攝動定理知，當(dāng)μ∈B(λ0)時,有μ∈ρa(bǔ)(T)?ρea(T),故λ?accσea(T),即accσea(T)?σa(T),由此可得σa(T)?[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)。

由(4)知，

[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)。

(5)?(1)。對任意的λ∈σa(T)σea(T),有λ?[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T),則有λ?σb(T)∩σa(T),故λ?σb(T)。并且0＜n(T-λI)＜ ∞,因此λ∈ π00(T)。

對任意的λ∈ π00(T),有λ∈ isoσ(T)且0＜n(T-λI)＜ ∞,因此λ∈σa(T),且λ?[σ1(T)∩σea(T)]∪accσea(T),即λ?σb(T)∩σa(T),故λ?σb(T),λ∈ρb(T)?ρea(T),即λ∈σa(T)σea(T)。

對任意的λ∈ isoσ(T),若n(T-λI)=0,則λ? [σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T),即λ?σb(T)∩σa(T)。若R(T-λI)閉,則λ∈ρa(bǔ)(T),由下有界算子的攝動定理知，d(T-λI)=0,則λ∈ρ(T),這與λ∈isoσ(T)矛 盾。因此R(T-λI)不閉,λ∈σa(T),故λ?σb(T),矛盾。因此n(T-λI)＞0,即isoσ(T)?σp(T)。

下面利用?σ1(T)給出(ω)性質(zhì)的判定條件。

推論1設(shè)T∈B(H),若

σb(T)=?σ1(T)∪ accσea(T),則

(1)T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子；

(2)intσ1(T)∩ isoσea(T)= ?。

證明(1)先證 ?σ1(T)∩ρ1(T)? accσea(T)。

對任意的λ∈ ?σ1(T)∩ρ1(T),若λ?accσea(T),則λ∈ isoσea(T)∪ρea(T),此時λ∈intρ1(T),矛盾。故λ∈ accσea(T),即

?σ1(T)∩ρ1(T)? accσea(T)。

再證 ?σ1(T)∩σ1(T)?σea(T)。

對任意的λ?σea(T),即λ∈intρ1(T)∪intσ1(T),故λ??σ1(T)∩σ1(T),即?σ1(T)∩σ1(T)?σea(T)。

由已知條件可得,

因此,

由定理3可得,T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子。

（2）由條件及定理1，有σb(T)=?σ1(T)∪accσea(T)=σ1(T)∪accσea(T),則有intσ1(T)?accσea(T)。因此intσ1(T)∩ isoσea(T)=?。

推 論2設(shè)T∈B(H),則σb(T)∩σa(T)??σ1(T)∪accσea(T)?T滿 足 (ω)性 質(zhì)且為isoloid算子,intσ1(T)∩ isoσea(T)= ?。

證明必要性。由定理3和推論1的證明及條件可得,σb(T)∩σa(T)? ?σ1(T)∪ accσea(T)?[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)?σb(T)∩σa(T),故

σb(T)∩σa(T)=[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)。由定理3可得,T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子。

充分性。由定理3及intσ1(T)∩ isoσea(T)=?,有

下面討論譜集σ1(·)的譜映射定理。

定理4設(shè)T∈B(H)。若ρ1(T)∩accσea(T)=?,且對任意多項(xiàng)式p(·),均有p(σ1(T))?σ1(p(T)),則

（1）對任意的λ，μ∈ρe(T)有

ind(T-λI)·ind(T-μI)≥ 0。

（2）任給多項(xiàng)式p(·)，p(T)均滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子當(dāng)且僅當(dāng)

(i)T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子；

(ii)σa(T)=σea(T)或σa(T)=σ(T)。

證明(1)假設(shè)存在λ0,μ0∈ρe(T)使ind(T-λ0I)·ind(T-μ0I)＜ 0,不妨設(shè)ind(T-λ0I)=m,ind(T-μ0I)=-n,其中m,n均為正整數(shù)。取多項(xiàng)式p(λ)=(λ-λ0)n(λ-μ0)m,則p(T)=(T-λ0I)n(T-μ0I)m是Weyl算子,于是0?p(σ1(T))。由條件可知λ0,μ0?σ1(T),即λ0,μ0∈ρ1(T)。由于ρ1(T)∩ accσea(T)= ?,于是λ0,μ0? accσea(T)。

由Fredholm算子的攝動定理知，存在ε＞0,當(dāng)0 ＜ |λ-λ0|＜ε時,T-λI是一致可逆的Fredholm算子且ind(T-λI)=ind(T-λ0I)=m,故λ∈σea(T)。于是λ0∈ accσea(T),與λ0,μ0?accσea(T)矛盾。

(2)必要性。(i)取p(λ)=λ,此時顯然成立。

(ii)若σa(T)=σea(T),則結(jié)論成立。若不然,即當(dāng)σa(T)≠σea(T)時,σa(T)=σ(T)成立。顯然σa(T)?σ(T),只 需 證 明σa(T)?σ(T)。由σa(T)≠σea(T)知，存在λ0∈σa(T)σea(T),由T滿足 (ω)性質(zhì)知，λ0∈ρb(T)。設(shè)λ1?σa(T),取多項(xiàng) 式p(λ)=(λ-λ0)(λ-λ1),則p(T)=(T-λ0I)(T-λ1I)。進(jìn)而可得0∈σa(p(T))σea(p(T)),由p(T)滿足(ω)性質(zhì)知，0 ∈ρb(p(T)),因此λ1∈ρb(T),進(jìn)而λ1∈ρ(T),即λ1?σ(T),故σa(T)?σ(T)。

充分性。由定理1知,當(dāng)T滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子時,有σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T),又ρ1(T)∩ accσea(T)= ?,可得σb(T)=σ1(T)。根據(jù)σb(T)的譜映射定理[1],有

p(σ1(T))=p(σb(T))=σb(p(T))?σ1(p(T)),從而σ1(p(T))=p(σ1(T))=σb(p(T))。

由定理3,下 證σb(p(T))∩σa(p(T))=[σ1(p(T))∩σea(p(T))]∪ accσea(p(T)),即證

σb(p(T))∩σa(p(T))=σea(p(T))。

顯然有σb(p(T))∩σa(p(T))?σea(p(T))。對任意的μ?σea(p(T)),設(shè)p(T)-μI=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λtI)nt,則T-λiI為上 半Fredholm算子。

由σ1(p(T))=σb(p(T)),類似文獻(xiàn)[16]中定理1.10的證明,易得對任意的λ,μ∈ρSF+(T)，(1)亦成立,故ind(T-λiI)≤0,因此λi∈ρea(T)(1 ≤i≤t)。

當(dāng)σa(T)=σea(T)時,有λi∈ρa(bǔ)(T)(1 ≤i≤t),因此μ∈ρa(bǔ)(p(T))。

當(dāng)σa(T)=σ(T)時,不妨 設(shè)T-λ1I,T-λ2I,…,T-λjI為下有界算子,T-λj+1I,T-λj+2I,…,T-λtI不為下有界算子。則T-λ1I,T-λ2I,…,T-λjI可逆,且由T滿足 (ω)性質(zhì)可得，T-λj+1I,T-λj+2I,…,T-λtI為Browder算子,因此μ∈ρb(p(T))。由此σb(p(T))∩σa(p(T))?σea(p(T))得證。

綜上,由定理3可知,任給多項(xiàng)式p(·),p(T)均滿足(ω)性質(zhì)且為isoloid算子。