馬滿堂，賈凱軍

（西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅蘭州730070）

0 引言及主要結(jié)果

對于非線性二階常微分方程邊值問題，已有一些學者運用錐上的不動點定理、上下解方法、時間映像估計和分歧理論等工具對其進行了研究[1-4]。近年來，學者們在線性邊界條件下對二階微分系統(tǒng)進行了廣泛研究，獲得一些重要的結(jié)果[5-10]。例如，DUNNINGER等[5]研究了非線性二階微分系統(tǒng)

在滿足邊界條件

時正解的存在性，其中λ1,λ2為正參數(shù)，f1,f2:[0,∞)×[0,∞)→ [0,∞)連續(xù)，h1,h2:[0，1)→[0,∞)連續(xù)且均在[0,1]的任一子區(qū)間內(nèi)不恒為0。并利用錐拉伸與壓縮不動點定理建立了以下定理:

定理A若f1,f2滿足下列條件之一:

(i)f10=f20=0且存在i∈{1,2}使得fi∞=∞；

(ii)f∞=f2∞=∞且存在i∈{1,2}使得fi∞=0；

則系統(tǒng)邊值問題式(1)和(2)至少存在1個正解，這里

值得注意的是，文獻[5]中權(quán)函數(shù)hi(i=1,2)在t=0處有定義且連續(xù)。此外，該文所研究的是系統(tǒng)(1)在滿足Dirichlet邊界條件時正解的存在性問題，與Dirichlet等線性邊界條件相比，非線性邊界條件的應(yīng)用更為廣泛[11-12]。但微分系統(tǒng)在滿足非線性邊界條件時的相應(yīng)研究較少。

一個自然的問題是:當系統(tǒng)(1)的權(quán)函數(shù)在t=0處允許有奇性，且在滿足非線性邊界條件時，相應(yīng)的系統(tǒng)邊值問題是否存在正解?基于此，本文將運用錐拉伸與壓縮不動點定理考察帶非線性邊界條件的二階系統(tǒng)邊值問題

正解的存在性，其中u=(u1，u2，…，un)T，

且gi(t)(i=1,2,…,n)在t=0處允許有奇性

C=diag(c1,c2,…,cn),Λ =diag(λ1,λ2,…,λn),λi(i=1,2,…,n)為正參數(shù)。

為方便敘述，介紹以下記號:

記R+=[0,∞),對任意的u=(u1,u2,…,un)∈Rn+,記用i0表示集合{F0,F∞}中元素為零的個數(shù)，i∞表示集合{F0,F∞}中元素為無窮大的個數(shù)，易知i0,i∞=0,1或2。記

假設(shè):

(H1)gi:(0,1]→R+(i=1,2,…,n)連續(xù)，且在(0,1]的任一子區(qū)間內(nèi)不恒為零。

(H2)fi:Rn+→R+連續(xù)，且對|u|＞0,有fi(u)＞ 0,i=1,2,…,n。

(H3)存在常數(shù)0＜β＜1使得

(H4)ci:R+→R+(i=1,2,…,n)連續(xù)。

本文的主要結(jié)果如下:

定理1假設(shè)(H1)～(H4)成立。若F滿足下列條件之一:

(a)F0=0且F∞=∞；

(b)F0=∞且F∞=0；

則對任意的Λ =diag(λ1,λ2,…,λn),λi＞ 0(i=1,2,…,n),問題(3)存在1個正解。

定理2假設(shè)(H1)～(H4)成立。

(a)若i0=1或2,則存在λ0＞ 0使得當λ*＞λ0時,問題(3)存在i0個正解；

(b)若i∞=1或2,則存在λ0＞0使得當0＜λ*＜λ0時,問題(3)存在i∞個正解；

(c)若i0=0,則存在λ0＞ 0使得當λ*＞λ0時,問題(3)不存在正解；

(d)若i∞=0,則存在λ0＞ 0使得當0＜λ*＜λ0時,問題(3)不存在正解。

注1容易發(fā)現(xiàn)，在適當?shù)臈l件下，問題(3)可退化為文獻[5]所研究的問題(1)和(2)，所以本文考慮的問題更寬泛，是對文獻[5]工作的推廣。

1 預備知識

引理1[13]設(shè)X是Banach空間，K?X是X中的一個錐。Ω1,Ω2是X的開子集,0 ∈ Ω1,? Ω2。若全連續(xù)算子

滿足：

(i)‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩ ?Ω1且‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩ ?Ω2,或

(ii)‖Au‖≥ ‖u‖,u∈K∩ ?Ω1且‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩ ?Ω2。則A在K∩ (Ω1)上有1個不動點。

由條件(H3)可得，存在常數(shù)Mi使得|gi(s)|≤故由Lebesgue控制收斂定理，可得gi(s)∈L1(0,1),i=1,2,…,n。

設(shè)λ＞ 0,定義TΛ=(Tλ1,Tλ2,…,Tλn):K→X是一個算子，其中,

這里Gi(t,s)表示邊值問題

的Green函數(shù)，具體地

引理2若(H1)～(H4)成立，則TΛ:K→K是一個全連續(xù)算子。

證明設(shè)u=(u1,u2,…,un)∈K,則有

故TΛ(K)?K,i=1,2,…,n。顯然TΛ:K→K是一個全連續(xù)算子。

則u=(u1,u2,…,un)是問題(3)的解 等價于u∈K是算子TΛ的不動點。

引理3假定(H1)～(H4)成立，若u=(u1,u2,…,un)∈K,且對任意的η＞0,若存在fi使得

證明由TΛu的定義可得

引理4假定(H1)～(H4)成立，若對任意的r＞0,u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr,存在ε＞ 0使得

證明由TΛu的定義可得,對任意的u∈ ?Ωr，有

引理5假定(H1)～(H4)成立，若u∈ ?Ωr,r＞0,則4λ*Pmr,其中，0,則其中,

證明因為fi(u(t))≥,t∈[0,1],i=1,2，…，n，故參閱引理3的證明即可得證。

引理6假定(H1)～(H4)成立,若u∈ ?Ωr,r＞且

證 明因為fi(u(t))≤,t∈[0,1],i=1,2,…,n,故參閱引理4的證明即可得證。

2 主要結(jié)果的證明

定理1的證明(a)因為F0=0,所以故可取r1＞ 0使得

其中，常數(shù)ε＞ 0，滿足

則由引理4可得

又因為F∞=∞,則存在fi使得fi∞=∞。存在H＞r1＞0使得

其中,常數(shù)η＞ 0滿足

設(shè)r2=max{2r1,4H},若u=(u1，u2，…，un)∈?Ωr2,則即fi(u(t))≥ηui(t),t∈[0,1]。則由引理3可得

因此，根據(jù)式(5)和(7)，再結(jié)合引理1可得，TΛ在Ωr2Ωr1上有1個不動點，即對任意的Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),λi＞ 0(i=1,2,…,n),問題(3)存在1個正解。

(b)因為F0=∞,所以存在fi使得f0i=∞,因此存在r1＞ 0,使得

其中η＞ 0滿足式(6)。若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr1,則則由引理3可得

又因為F∞=0,則fi∞=0(i=1,2,…,n)。因此存在H＞r1＞0使得

其中ε＞ 0滿足式(4)。設(shè)r2=max{2r1,4H},若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr2,則

則由引理4可得

因此，根據(jù)式(8)和(9)，再結(jié)合引理1可得，TΛ在Ωr2Ωr1上有1個不動點。即對任意的Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),λi＞ 0(i=1,2,…,n),問題(3)存在1個正解。

定理2的證明(a)取r1=1,由引理5可得

若F0=0,則fi0=0(i=1,2,…,n)。因此存在r2∈ (0,r1)使得

其中ε＞ 0滿足式(4)。若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr2,則

則由引理4可得

若F∞=0,則fi∞=0(i=1,2,…,n)。因此存在H＞r1＞0使得

其中ε＞ 0滿足式(4)。設(shè)r3=max{2r1,4H},若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr3,則

則由引理4可得

綜上，由引理1可得，當F0=0或F∞=0時，TΛ在Ωr1Ωr2或Ωr3Ωr2上有1個不動點。因此，當λ*＞λ0時，問題(3)存在 1個正解。當F0=F∞=0時，由上述證明容易得到TΛ有2個不動點x和y，即x∈ Ωr1Ωr2,y∈ Ωr3Ωr1,且滿足

因此，當λ*＞λ0時，問題(3)存在2個正解。

(b)取r1=1,由引理6可得

若F0=∞,則存在fi使得fi0=∞。因此存在r2∈ (0,r1)使得

其中η＞ 0滿足式(6)。若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr2,則

由引理3可得

若F∞=∞,則存在fi使得fi∞=∞。因此存在H＞r1＞0使得

其中η＞ 0滿足式(6)。設(shè)r3=max{2r1,4H},若u=(u1,u2,…,un)∈ ?Ωr3,則

則由引理3可得

綜上，由引理1可得，當F0=0或F∞=0時，TΛ在 Ωr1Ωr2或Ωr3Ωr1上有1個不動點。因此，當0＜λ*＜λ0時，問題(3)存在1個正解。當F0=F∞=∞時，由上述證明容易得到TΛ有2個不動點x和y，即x∈ Ωr1Ωr2,y∈ Ωr3Ωr1,且滿足式(12)。因此，當0＜λ*＜λ0時，問題(3)存在 2個正解。

(c)因為F0＞ 0且F∞＞ 0,則存在fi,fj及常數(shù)a1,a2,r1,r2＞ 0(r1＜r2)，使得

因此，有

假設(shè)v(t)=(v1(t),v2(t),…,vn(t))是問題(3)的1個正解,即TΛv(t)=v(t),t∈[0,1],則當λ*＞時，若則有

再由式(16)可得

進而由引理3可得，當λ＞λ0時，有

矛盾，即問題(3)不存在正解。

(d)因為F0＜∞且F∞＜∞,則fi0＜∞且易知存在ε＞0使得

假設(shè)v(t)=(v1(t),v2(t),…,vn(t))是問題(3)的1個正解,即TΛv(t)=v(t),t∈[0,1],則當0＜時,有

矛盾，即問題(3)不存在正解。