蔡潔潔，吳波

（南京財經大學應用數(shù)學學院，江蘇南京210023）

0 引言

自1828年，英國人GREEN引入了一個以其姓命名的重要函數(shù)后，格林函數(shù)在數(shù)學物理方法中一直扮演著十分重要的角色。

格林函數(shù)在數(shù)學物理領域是一個十分重要的概念，經常出現(xiàn)在常微分方程、橢圓型和拋物型偏微分方程的邊值問題中。利用格林函數(shù)可以將微分方程的邊值問題轉化為積分方程。求解Laplace方程、Helmholtz方程等，關鍵在于確定相應的格林函數(shù)，而確定格林函數(shù)的難度取決于邊界形狀。

ROBERT[1]和JUN[2-3]研究了[0,1]區(qū)間上的Dirichlet邊值問題，試圖求出該邊值問題的解，利用文獻[4]中Sierpinski墊片上微分方程的輔助計算給出了格林函數(shù)的表達式。ROBERT[1]首先通過“帳篷函數(shù)”，將[0,1]區(qū)間上的格林函數(shù)推廣到Sierpinski墊片，并且得到了Sierpinski墊片上格林函數(shù)的表達式。

本文的研究主要基于文獻[5]，一開始通過不同的位置，對Sierpinski墊片進行水平切割，得到不同Sierpinski墊片的上半定義域；在討論過程中給出了Sierpinski墊片特定定義域上Dirichlet邊值問題的解的延拓算法和具體表達式；同時也刻畫了在Sierpinski墊片特定定義域上的所有調和函數(shù)的特點。緊接著，JOHN等[6]和GUO等[7]將其推廣到一般的情形。ROBERT[8]也討論了Holder-Zygmund、Besovan和Sobolev 3種不同分形類型的函數(shù)空間，為解決不同的自相似圖形上的Dirichlet邊值問題提供了新的思路。JUN[9-10]探討了在p.c.f自相似集上的調和函數(shù)的相關計算。本文所涉及的調和函數(shù)的一些性質可參見文獻[9-10]。

LI等[11]沿著SG的底邊中心點進行垂直切割，得到新的自相似圖形；在此基礎上研究了SG上的左半部定義域的一些性質，以及在該定義域上的Dirichlet問題；嘗試求解Dirichlet問題的解的具體表達式，并探討在該定義域上的正則導數(shù)與能的估計范圍。

受QIU等[12-15]的啟發(fā)，筆者試圖對SG3進行適當?shù)那懈睿芯縎G3上的某一部分的定義域,探討在該定義域上是否有類似于Sierpinski墊片上的性質和定理。

1 預備知識

定義1[14]設m∈N具迭代水平，對于

其中，

定義2[1]記x～my當且僅當x≠y并且x,y∈Vm同屬于一個胞腔。

定義3[1]設m∈N,則SGl的第m次迭代Γm上離散的電阻形式可由下式給出:

εm(u,v)=r-m(u(x)-u(y))(v(x)-v(y)),

其中，u,v是定義在Vm上的函數(shù)

圖1給出了SG3上的前2次迭代Γ1，Γm。

圖1 SG3上的Γ1，Γ2Fig.1 Γ1，Γ2ofSG3

定義4[10]定義為函數(shù)u的能，并且u屬于dom ε當且僅當ε(u)＜∞。

定義5[10]定義SGl上的電阻形式為

其中u,v∈ dom ε。

定義6[1]函數(shù)u在邊界點qi∈V0的正則導數(shù)可通過下式定義:

類似地，也可得到其他點的正則導數(shù)的表達式。

定理1[10]調和函數(shù)h滿足平均值性質，也就是說，對于每一個迭代水平m≥1，有

定理2[1]（高斯-格林公式）假設u∈dom Δμ，則對所有的qi∈V0，有正則導數(shù)?nu(qi)存在，并且

命題1[10]考慮SGl的左半定義域上Ω的Dirichlet問題

則方程（1）有唯一解。

注 證明過程需用到文獻[15]中的引理8.2。

在等邊三角形底邊的中點處，沿垂直底邊進行切割，得到的是SG3的左半部分。第1次迭代后，會產生2個相同的三角形，分別為F1SG3和F5SG3，以及2個半直角三角形F0和F3。在第2次迭代中，將2個大的三角形固定不動，依據(jù)SG3原有的迭代規(guī)則對2個直角三角形進行2次迭代，依次進行，得到新的圖形，如圖2所示。所得到的圖形具有自相似結構。現(xiàn)在來研究此圖形的性質。

定義7[10]SG3上的左半定義域Ω可由水平集上的斜對稱調和函數(shù)ha來定義，其中ha在V0上的函數(shù)值記為，因此

圖2 定義域ΩFig.2 Domain ofΩ

其邊界為

為研究Dirichlet問題解的格林函數(shù)，需要對圖形中某些點進行標記，見圖3。用x?,y?和z?分別表示V1∩的頂點，其中，

同樣，記

圖3 定義域Ω的標記Fig.3 The mark of Ω

2 主要結果

在Ω上，希望得到類似于SG上的格林公式，即形如

下面分2步進行求解:

第1步當m=0時,在V1∩中有4個點x?,y?,z?和p?，記

同時，希望得到

并且，若當z≠z′時，

其中a和b是唯一確定的常數(shù)。這樣，就可以得到所希望的格林函數(shù):

其中，

為計算簡便，可采用弱化公式:

其中，v∈ dom0ε。由此，可計算

得到

兩邊同乘以f(y)，得到

因此

當M→∞時，

并且是一致收斂的。

由于-Δμu=f，得到

第2步求格林函數(shù)中各個參數(shù)的表達式。

當M=0時,

而

則含v(y?)的項為

希望得到v(y?)乘以的形式，只需解線性方程組

解得

當M=1時，G1的中包含了v(x?)中的系數(shù)

即

而G1的中含有v(x?)中的系數(shù)

化簡得到

兩式相加，得到

依此類推，就可以得到在此定義域上的格林函數(shù)。由此，得到

定理3在SG3的左半定義域Ω中，考慮Dirichlet問題

對?Ω上的任一連續(xù)函數(shù)，在dom Δμ中都有唯一解，且