孫立偉，鐘宜生，姜雨石

（1. 哈爾濱建成集團(tuán)有限公司，哈爾濱，150030；2. 清華大學(xué)，北京，100084；3. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱，150001）

0 引 言

舵機(jī)是精確制導(dǎo)武器制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的必要組成部分。在實(shí)際工作中，電動舵機(jī)部分參數(shù)會隨工況變化，且受不穩(wěn)定載荷的影響，導(dǎo)致舵機(jī)控制精度和魯棒穩(wěn)定性下降。因此，如何提高電動舵機(jī)魯棒性受到越來越多的關(guān)注。樊澤明[1]等設(shè)計(jì)了電動舵機(jī)混合靈敏度H∞魯棒控制器，吳春[2]等完成了基于障礙Lyapunov 函數(shù)的輸出有界全局收斂魯棒控制，兩種方法有效提高了對象對參數(shù)攝動的魯棒性，但是保守性強(qiáng)，結(jié)構(gòu)復(fù)雜；張?jiān)铝醄3]和孫章軍[4]等基于滑模變結(jié)構(gòu)原理分別設(shè)計(jì)了舵機(jī)滑?？刂破鳎行岣吡硕鏅C(jī)的動態(tài)品質(zhì)，但在實(shí)際應(yīng)用中存在高頻抖振。周林陽[5]和林大鵬[6]等針對電動舵機(jī)設(shè)計(jì)了自抗擾控制器，有效保證了舵機(jī)的魯棒性，但未對該方法的魯棒穩(wěn)定性進(jìn)行分析與證明。楊書生[7]等針對永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)，應(yīng)用信號補(bǔ)償?shù)聂敯艨刂品椒?，該方法取得了較好的控制效果。

本文針對電動舵機(jī)，提出了一種基于魯棒信號補(bǔ)償?shù)目刂品椒ā?shí)際受控對象視為由一標(biāo)稱受控對象加上參數(shù)攝動，針對標(biāo)稱受控對象設(shè)計(jì)了一階濾波的PID 控制算法，針對參數(shù)攝動項(xiàng)，設(shè)計(jì)了魯棒干擾補(bǔ)償控制器對參數(shù)攝動項(xiàng)引起的“等價(jià)干擾”進(jìn)行精確補(bǔ)償，并給出了算法魯棒穩(wěn)定性的證明過程。

1 電動舵機(jī)模型及不確定性分析

1.1 舵機(jī)模型

受控對象為帶減速器的直流無刷電機(jī)。忽略粘性摩擦的影響，無刷直流電機(jī)動態(tài)方程可表示為

式中ud為電樞電壓；e 為電機(jī)反電勢；R 為電樞回路總電阻；id為電樞電流；L 為電樞回路總電感；Te為電磁力矩；TL為負(fù)載總力矩；GD2為折算到電機(jī)軸上的飛輪慣量；n 為電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速；Ce為反電勢常數(shù)；Cm為轉(zhuǎn)矩常數(shù)。

定義下列常數(shù)：電樞回路的電磁時(shí)間常數(shù)，T1=L /R，電機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)Tm=GD2R/375CeCm。

電動舵機(jī)的結(jié)構(gòu)框圖如圖1 所示。

圖1 電動舵機(jī)閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu) Fig.1 The Structure About Closed-loop Control System of Electric Actuator

1.2 不確定性分析

在實(shí)際工作中，電機(jī)參數(shù)會隨著溫度、轉(zhuǎn)速等條件的變化而改變?？蛰d時(shí)受控對象模型為

此外，舵機(jī)推動舵面時(shí)要承受較大鉸鏈力矩，其變化勢必引起舵機(jī)動態(tài)特性的變化。因此含有參數(shù)攝動和力矩?cái)_動的實(shí)際受控對象可描述為

令受控對象的標(biāo)稱模型為

則實(shí)際受控對象可描述為

定義向量θy(t)為

a）假設(shè)1：TL及其微分均為分段連續(xù)時(shí)變且一致有界的函數(shù)，且其幅值已知；受控對象參數(shù)不確定界已知。

b）假設(shè)2：θr是已知分段連續(xù)時(shí)變且一致有界的函數(shù)。

從假設(shè)1、假設(shè)2 及式（7）可以得到：

c）假設(shè)3：式（8）中的正實(shí)數(shù)δk滿足δk＜k0。

2 控制器設(shè)計(jì)

考慮到傳感器信號含有噪聲，針對標(biāo)稱受控對象，設(shè)計(jì)一階濾波PID 控制器。在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)魯棒補(bǔ)償器，抑制等價(jià)干擾對閉環(huán)系統(tǒng)的影響?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖2 所示。

圖2 基于信號補(bǔ)償?shù)聂敯艨刂葡到y(tǒng) Fig.2 Block Diagram of Robust Control System Based on Signal Compensation

圖2 中，GK為針對標(biāo)稱受控對象設(shè)計(jì)的PID 控制器，有：

由此可得標(biāo)稱系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)如下：

為抑制等價(jià)干擾q，期望魯棒補(bǔ)償器輸出為

由于v*中包含了輸出θy(t)的微分，在實(shí)際系統(tǒng)中不可實(shí)現(xiàn)，故引入魯棒濾波器構(gòu)成魯棒補(bǔ)償器如下：

式中F(s)為魯棒濾波器。為消除v*中的微分項(xiàng)，魯棒濾波器的相對階需大于或等于3。本文考慮如下所示的魯棒濾波器：

式中f 和g 為魯棒濾波器參數(shù)，為正常數(shù)。若f 和g充分大，則魯棒濾波器帶寬足夠大，式（13）給定的補(bǔ)償信號v 充分接近式（12）給定的期望魯棒補(bǔ)償信號，從而充分抑制等價(jià)干擾q 的影響。由式（13）和（14），有：

本文設(shè)計(jì)的舵機(jī)角度跟蹤控制器為線性定常控制器，其階次由標(biāo)稱控制器階次和舵機(jī)模型相對階確定。

對式（3）中受控對象，利用H∞方法，設(shè)計(jì)結(jié)果是保守的，利用μ綜合方法，所得控制器階次會很高。

3 魯棒特性分析

用θym(t)表示標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)的輸出，則，

定義角度跟蹤誤差、誤差向量為

對于有界的θr，存在正實(shí)數(shù)χ 滿足不等式：

從式（8）及（18）可得：

定理：若假設(shè)1～3 成立，則由式（9）及（15）構(gòu)成的控制器可實(shí)現(xiàn)魯棒角度跟蹤控制，即對任意給定的正實(shí)數(shù)ε，存在正實(shí)數(shù)f *與g*及t*，若f≥f*，g≥g*以及f＞＞g 時(shí)，則

若初始條件滿足Eθ(0)=0，則

證明：根據(jù)式（9）、（11）、（16）和（17）可得

式中eθ( s )為角度跟蹤誤差 eθ( t)的拉氏變換由式（20）可得：

式中Ai（i=1，2，…,5）是與誤差初始狀態(tài)有關(guān)的實(shí)數(shù)，若誤差初始狀態(tài)為零，則Ai（i=1，2，…，5）亦為零。

式（14）可改寫為如下形式：

式中h 為任意給定的正實(shí)數(shù)。從式（18）可得：

其中

若f 與g 充分大且有f>> g>> h ，則|k11|、|k12|、|k2|和|k3|均小于一個(gè)與f、g 無關(guān)的正實(shí)數(shù)，因此下式成立：

式中γ1為與f 與g 無關(guān)的正實(shí)數(shù)。此外，

式中γ2為獨(dú)立于f 與g 的正實(shí)數(shù)。因此有下式成立：

式中γ0=γ1γ2。

由式（21）及（25）可得：

相似地可以推導(dǎo)出：

綜上，可得：存在正實(shí)數(shù)γ，υ 使下式成立：

從式（6），（9）及（13）可得

由式（19）和（29）有：

因此，

由假設(shè)2 可知，存在正實(shí)數(shù)ρ 滿足如下不等式：

故有：

其中，

當(dāng)g 充分大時(shí)，由式（28）和（34）有：

由式（21）、（25）、（34）及（36）可得：

從式（37）可知，對于給定的初始條件和任意給定的正實(shí)數(shù)ε，存在正實(shí)數(shù)f *與g*及t*，當(dāng)f ≥ f*，g≥ g*以及f>> g時(shí)，若初始條件滿足Eθ(0)=0，則證畢。

注3：由上述分析也可給出魯棒濾波器參數(shù)整定過程：

a）取 g0> 0和 γ0≥ 1，令g = g0，γ = γ0， f= γg；

b）進(jìn)行仿真或樣機(jī)實(shí)驗(yàn)。若閉環(huán)控制特性滿足要求，則轉(zhuǎn)到d）步，否則，進(jìn)行下一步；

c）增大g 的取值。若g 的值不是過大，轉(zhuǎn)到b）步，否則，令g = g0；增大γ 的取值。若γ 的值不是過大，轉(zhuǎn)到b）步，否則，進(jìn)行下一步；

d）終止。

注4：當(dāng)式（3）中的增益攝動?k的模充分小時(shí)，可設(shè)γ = 1，即f = g（參考文獻(xiàn)[8]）。此時(shí)上述參數(shù)整定過程變得更為簡單，只要單調(diào)地增大g 的取值即可。

4 仿真及樣機(jī)實(shí)驗(yàn)

下面從仿真和樣機(jī)實(shí)驗(yàn)兩方面對舵機(jī)魯棒控制效果進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)采用的舵機(jī)標(biāo)稱參數(shù)如表1 所示。

4.1 仿真驗(yàn)證

由表1 可得標(biāo)稱受控對象的傳遞函數(shù)為

首先針對標(biāo)稱受控對象設(shè)計(jì)標(biāo)稱控制器：

此控制器相角余量大于50°，標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬大于200 rad/s，滿足舵機(jī)角度跟蹤控制的快速性要求。

再按式（14）設(shè)計(jì)魯棒補(bǔ)償器。其模型如圖3 所示。

圖3 控制系統(tǒng)的仿真模型 Fig.3 The Simulation Model Disgram of the Control System

根據(jù)注3，通過仿真實(shí)驗(yàn)可以確定魯棒濾波器的參數(shù)取值?，F(xiàn)選取兩組魯棒濾波器參數(shù)進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)，分別為f1=100，g1=20 和f2=300，g2=100。

為驗(yàn)證魯棒控制器對負(fù)載力矩變化的抑制效果，進(jìn)行如下仿真實(shí)驗(yàn)。參考角度為2°階躍信號，0～0.4 s時(shí)間段空載運(yùn)行，0.4 s 時(shí)在電機(jī)軸加0.03 N·m 的恒定負(fù)載力矩（相當(dāng)于60%額定負(fù)載）。對兩組魯棒控制器及標(biāo)稱控制器3 種情況進(jìn)行了對比仿真，結(jié)果如圖4所示。

由圖4 可知，0～0.4 s 舵機(jī)空載運(yùn)行時(shí)，3 種情況輸出曲線一致。在0.4 s 突加負(fù)載力矩時(shí)，均出現(xiàn)了不同程度的角度波動，其最大偏離誤差和恢復(fù)時(shí)間情況見表2。

由表2 仿真結(jié)果可知，標(biāo)稱控制系統(tǒng)受到力矩干擾的影響最大，偏離的角度誤差較大并且恢復(fù)時(shí)間較長。而魯棒控制器控制的系統(tǒng)角度輸出只是在力矩變化瞬間出現(xiàn)輕微抖動，并很快恢復(fù)到了期望值。對比兩組濾波器參數(shù)，發(fā)現(xiàn)f 和g 較大的一組對力矩?cái)_動抑制效果更好。

圖4 3 種情況下舵機(jī)輸出角度θy 對比曲線 Fig.4 Electric Actuator Output Curves θy for Three Cases

表2 仿真數(shù)據(jù)對比 Tab.2 Comparison of Simulation Datas

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用舵機(jī)角度跟蹤控制系統(tǒng)樣機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行測試，以驗(yàn)證魯棒補(bǔ)償控制的實(shí)際效果，控制器參數(shù)與仿真實(shí)驗(yàn)相同。

4.2.1 負(fù)載力矩變化試驗(yàn)

舵機(jī)處于零位穩(wěn)態(tài)時(shí)，分別對標(biāo)稱控制器和魯棒控制器控制的系統(tǒng)突加額定單向恒定力矩，觀察角度輸出情況，測試曲線如圖5 所示。

圖5 舵機(jī)穩(wěn)態(tài)負(fù)載擾動試驗(yàn) Fig.5 Load Disturbance Tests for Steady State

由圖5 可知，對于突加的力矩干擾，標(biāo)稱控制器控制的系統(tǒng)產(chǎn)生了0.45°的角度誤差，在積分作用下需要一定的時(shí)間才能恢復(fù)到期望值。由于實(shí)際系統(tǒng)機(jī)械間隙，控制死區(qū)等因素其偏離角度絕對值大于仿真結(jié)果；而魯棒控制器控制的系統(tǒng)在受到力矩?cái)_動后0.3 s 即恢復(fù)到了期望值并保持穩(wěn)定。表明魯棒補(bǔ)償?shù)目刂品椒軌蚝芎玫囊种屏財(cái)_動的影響。

4.2.2 恒定力矩試驗(yàn)

對舵機(jī)施加單向額定負(fù)載力矩，參考角度信號為頻率1 Hz、幅值5°正弦信號，試驗(yàn)曲線如圖6 所示。

圖6 恒定負(fù)載力矩對比試驗(yàn) Fig.6 Comparison Test of the Constant Load Torque

由圖6 可知，舵機(jī)系統(tǒng)在標(biāo)稱控制器作用下其受恒定力矩方向存在約6%的輸出角度誤差，而帶有魯棒補(bǔ)償?shù)目刂葡到y(tǒng)在相同條件下輸出角度能夠很好的跟蹤角度指令信號。

4.2.3 高低溫環(huán)境測試

在特定場合，要求舵機(jī)產(chǎn)品適應(yīng)-45～60 ℃的環(huán)境溫度。舵機(jī)機(jī)械阻尼及模型參數(shù)等會隨溫度變化而改變，用一組PID 參數(shù)控制難以保證全溫度范圍內(nèi)產(chǎn)品性能均滿足指標(biāo)要求。下面在-45 ℃、60 ℃邊界溫度條件下進(jìn)行舵機(jī)加載性能測試，指令為幅值2°的方波信號。實(shí)驗(yàn)曲線如圖7 所示。

由圖7 可知，對于標(biāo)稱控制器，低溫狀態(tài)下舵機(jī)在1.8 ～2°階段上升緩慢，大約0.15°角度誤差持續(xù)0.2 s；高溫狀態(tài)下舵機(jī)動態(tài)響應(yīng)加快并出現(xiàn)了8%左右的超調(diào)，很難適應(yīng)全部溫度條件。增加魯棒補(bǔ)償后，有效抑制了由環(huán)境溫度變化引起的系統(tǒng)參數(shù)攝動及模型不確定性對系統(tǒng)動靜態(tài)性能的影響。

圖7 不同溫度下的對比試驗(yàn) Fig.7 Contrast Test for Different Temperatures

5 結(jié)束語

電動舵機(jī)的復(fù)雜工作環(huán)境使常規(guī)PID 控制方法對于參數(shù)不確定性及外部擾動產(chǎn)生的影響難以很好抑制。本文采用基于信號補(bǔ)償?shù)聂敯艨刂品椒?，將不確定性視為等價(jià)干擾，在標(biāo)稱控制輸入的基礎(chǔ)上疊加一個(gè)魯棒補(bǔ)償信號，抑制了等價(jià)干擾，同時(shí)實(shí)現(xiàn)魯棒穩(wěn)定性和魯棒跟蹤。實(shí)驗(yàn)和仿真表明了該方法的有效性。