李 浩，劉 莉，李 杰，屠瑤瑤，翟文祥

在非壽險精算理論中，為了刻畫保單的索賠次數(shù)分布，需要建立索賠次數(shù)模型［1-4］.常用于刻畫索賠次數(shù)的分布有泊松分布、二項分布、幾何分布和負(fù)二項分布，四者可以統(tǒng)一表示為一種分布類，稱為 (a,b,0)分布類［5-8］.此分布類在非壽險精算的實務(wù)中應(yīng)用較為廣泛，尤其是在非壽險產(chǎn)品定價中會起到很重要的作用，其中會涉及到該分布類的特征函數(shù)、矩母函數(shù)和概率生成函數(shù)等.文獻［1-2］給出了(a,b,0)分布類的矩母函數(shù)和概率生成函數(shù)統(tǒng)一表達式的結(jié)論.

矩母函數(shù)和概率生成函數(shù)的被積函數(shù)都是一個實值函數(shù)，積分有時未必存在，從而兩者對一切實數(shù)未必都有定義.因此，并不是所有的分布函數(shù)都有矩母函數(shù)和概率生成函數(shù)與之對應(yīng).而特征函數(shù)是一個實變量的復(fù)值函數(shù)，對一切實數(shù)都有定義，并且隨機變量的特征函數(shù)可以通過傅里葉積分變換與分布函數(shù)建立一一對應(yīng)的關(guān)系.所以探討(a,b,0)分布類的特征函數(shù)具有一定的理論意義.

1 基本定義

定義1［3］設(shè)隨機變量N的分布列{ }pk滿足

則稱N的分布為(a,b,0)分布類，其中a和b為參數(shù).

定義2［3］設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，其特征函數(shù)定義為

2 主要結(jié)果

定理1(a,b,0)分布類的一階原點矩與二階中心矩具有統(tǒng)一表達式，可表示為k=1,2.

證明 設(shè)隨機變量X服從(a,b,0)分布類，根據(jù)(a,b,0)分布類的定義，可以分別求出其期望及方差.由(a,b,0)分布類的定義可知，對于取值為非負(fù)整值隨機變量N，其期望為

由(a,b,0)分布類的定義可知，對于取值為非負(fù)整值隨機變量N，其方差為

定理2(a,b,0)分布類的矩母函數(shù)可用參數(shù)a和b表示為統(tǒng)一表達式，即

定理3(a,b,0)分布類的概率生成函數(shù)可用參數(shù)a和b表示為統(tǒng)一表達式，即

從特征函數(shù)、矩母函數(shù)和概率生成函數(shù)的定義出發(fā)，可以得到三者之間的關(guān)系為

其中，MX(t)、PX(t)分別為隨機變量X的矩母函數(shù)和概率生成函數(shù).

定理4(a,b,0)分布類的特征函數(shù)可用參數(shù)a和b表示為統(tǒng)一表達式，即

對應(yīng)于式(3)，用于方位向成像的指數(shù)項為第二項.此時將其他項并入幅度可得到同式(4)的N組方位向重構(gòu)模型為

證明 由特征函數(shù)與矩母函數(shù)及概率生成函數(shù)的關(guān)系，可將矩母函數(shù)MX(t)中的變量t替換為it，或者將概率生成函數(shù)PX(t)中的變量t替換為eit，即可得特征函數(shù)對應(yīng)的表達式.

推論1泊松分布的特征函數(shù)為φN(t)=exp(λ(eit-1)).

證明 當(dāng)a=0，b=λ時，(a,b,0)分布類即為泊松分布.結(jié)合結(jié)論3.2［1］的證明方法，以及矩母函數(shù)與特征函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即可得泊松分布的特征函數(shù)表達式.

推論2二項分布的特征函數(shù)為φN(t)=exp{mln[1+q(eit-1)]}.

推論3負(fù)幾何分布的特征函數(shù)為φN(t)=exp{-rln[1-β(eit-1)]}.

推論4幾何分布的特征函數(shù)為φN(t)=

(a,b,0)分布類中的四個分布的特征函數(shù)表達式，如表1所示.

表1 (a,b,0)分布類的特征函數(shù)

注：①當(dāng)r=1時，負(fù)二項分布即為幾何分布，則幾何分布的特征函數(shù)便可由負(fù)二項分布的特征函數(shù)得到；

②令二項分布中的兩參數(shù)m=-r，q=-β，二項分布即為負(fù)二項分布，則二項分布的特征函數(shù)亦可由負(fù)二項分布的特征函數(shù)得到；

③由泊松逼近定理可知，在滿足一定條件下，泊松分布可以看成是二項分布的極限形式.因此泊松分布的特征函數(shù)表達式，完全可以由二項分布與負(fù)二項分布的特征函數(shù)表達式給出.

3 結(jié)論

在精算模型中，刻畫保險的理賠次數(shù)的分布，是一個重要的理論問題.由于理賠次數(shù)是離散型隨機變量，所以使用概率理論中用于刻畫離散型隨機變量分布的幾種重要分布，如泊松分布、二項分布、負(fù)二項分布及幾何分布.以上四種分布存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，將它們的分布類統(tǒng)一起來，得到了(a,b,0)分布類這一概念，于是常用(a,b,0)分布類及(a,b,1)分布類以描述保險的理賠次數(shù)的分布情況.非壽險產(chǎn)品在價格厘定過程中，產(chǎn)品的定價模型需要考慮利率、理賠額及理賠次數(shù)等因素，定價模型的計算會涉及到矩母函數(shù)、概率生成函數(shù)及特征函數(shù).因此建立(a,b,0)分布類的矩母函數(shù)、概率生成函數(shù)及特征函數(shù)的表達式及三者之間的關(guān)系尤為重要，而三者中唯有特征函數(shù)與分布函數(shù)具有一一對應(yīng)的關(guān)系，所以本文正是在文獻［1-2］的基礎(chǔ)上，受啟發(fā)得出(a,b,0)分布類中各分布的特征函數(shù)具有統(tǒng)一表達式的結(jié)論.在刻畫非壽險產(chǎn)品索賠次數(shù)分布這一類問題時，常用二項分布或者負(fù)二項分布等，但是它們不一定都存在矩母函數(shù)，這樣就不能完全利用分布的矩母函數(shù)進行定價，而特征函數(shù)克服了以上缺點.因此，在非壽險產(chǎn)品定價時，可以考慮先確定特征函數(shù)，再利用特征函數(shù)與矩母函數(shù)之間的關(guān)系，進一步建立定價模型.