吳秀蘭
代數(shù)中引進(jìn)未知數(shù),具有劃時(shí)代的意義,猶如遠(yuǎn)古時(shí)代的火、航海時(shí)代的指南針、工業(yè)革命時(shí)期的蒸汽機(jī)。方程作為人類(lèi)思想的一次飛躍,是繼算術(shù)思想之后的又一重要的數(shù)學(xué)思想,折射出人類(lèi)的智慧。今天吳老師帶著同學(xué)們一起坐上時(shí)光機(jī),穿越到古代,看看方程的發(fā)展歷程。
方程是代數(shù)史中重要的研究課題之一,它最早出現(xiàn)于我國(guó)的《九章算術(shù)》中。這里的“方程”其實(shí)是指一次方程組。例如:求解三元一次方程組:
[3x+2y+z=39, ①2x+3y+z=34,? ? ? ②x+2y+3z=26。③]
《九章算術(shù)》沒(méi)有提出表示未知數(shù)的符號(hào),而是用算籌將未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)(長(zhǎng))方陣(如下圖),故稱(chēng)為 “方程”。
在世界數(shù)學(xué)史上,對(duì)方程的原始記載有著不同的形式。約3600多年前,古埃及人寫(xiě)在紙草書(shū)上的數(shù)學(xué)問(wèn)題就涉及了含有未知數(shù)的等式。公元825年左右,數(shù)學(xué)家花拉子米為研究方程,寫(xiě)過(guò)一本《對(duì)消與還原》,書(shū)里詳細(xì)介紹了方程的解法——還原與對(duì)消,即移項(xiàng)與合并同類(lèi)項(xiàng)。宋元時(shí)期,中國(guó)數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了“天元術(shù)”,用“天元”表示未知數(shù)進(jìn)而建立方程,這種方法的代表作是數(shù)學(xué)家李冶寫(xiě)的《測(cè)圓海鏡》。書(shū)中的“立天元一”相當(dāng)于“設(shè)未知數(shù)”,所以在簡(jiǎn)稱(chēng)方程時(shí),將未知數(shù)稱(chēng)為“元”,如含一個(gè)未知數(shù)的方程叫“一元方程”, 一元一次方程中的元就來(lái)自天元術(shù)。
到了17世紀(jì),歐洲數(shù)學(xué)家韋達(dá)完成了數(shù)學(xué)的符號(hào)化。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾最早提出用字母來(lái)表示未知數(shù),把字母和普通數(shù)字同樣看待,用運(yùn)算符號(hào)和等號(hào)把字母與數(shù)字連接起來(lái),就形成了含有未知數(shù)的等式。后來(lái)經(jīng)過(guò)不斷簡(jiǎn)化和改進(jìn),方程逐漸演變成現(xiàn)在的表達(dá)形式,例如6x+8=20,5x+2=10,x-5=2等,才有我們今天“方程”的符號(hào)化系統(tǒng)。
隨著數(shù)學(xué)研究范圍的不斷擴(kuò)充,方程被普遍使用,它的作用越來(lái)越大。列算式解應(yīng)用題用的是小學(xué)的逆向思維;列方程解應(yīng)用題運(yùn)用的是正向思維,可以直接快速解決問(wèn)題。由算術(shù)方法到方程方法,是數(shù)學(xué)思想的一次飛躍。接下來(lái),我們?cè)僖黄鹂垂湃巳绾卫靡辉淮畏匠痰闹R(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。
例如,大數(shù)學(xué)家丟番圖的墓碑上刻了這樣一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題:
過(guò)路人啊,這里安葬著丟番圖,下面的數(shù)字可以告訴你他生命有多長(zhǎng)。他生命的六分之一是愉快的童年;再過(guò)了生命的十二分之一,他的面頰上長(zhǎng)了細(xì)細(xì)的胡須;又過(guò)了生命的七分之一,他走進(jìn)婚姻的殿堂;五年后天賜貴子,他感到很幸福??墒牵\(yùn)給他兒子的光輝燦爛的生命只有他生命的一半長(zhǎng)。自從兒子死后,他的悲傷只有用研究數(shù)論去解脫。又過(guò)四年,他也結(jié)束了塵世的生涯。
我們一起來(lái)算一算丟番圖的年齡。
解:設(shè)丟番圖活了x歲,由題得[16x]+[112x]+[17x]+5+[12x]+4=x,解得x=84。答:丟番圖活了84歲。
丟番圖是第一位懂得用符號(hào)代表數(shù)來(lái)研究問(wèn)題的人。同學(xué)們,我們用方程來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題,是不是相當(dāng)便捷?
看了這么多,相信大家一定能體會(huì)到方程不僅形式簡(jiǎn)單,而且有非常豐富的內(nèi)涵。在生活中,只要我們稍加體會(huì),方程思想的價(jià)值便隨處可見(jiàn)。古人在數(shù)學(xué)問(wèn)題上都能不怕困難,勇登高峰,我們更應(yīng)該向他們學(xué)習(xí)。讓我們坐上時(shí)光機(jī),返回現(xiàn)代吧。方程是從現(xiàn)實(shí)生活到數(shù)學(xué)的一個(gè)提煉過(guò)程,一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)提煉現(xiàn)實(shí)生活中的特定關(guān)系的過(guò)程。在開(kāi)始學(xué)習(xí)方程時(shí),同學(xué)們用符號(hào)表示數(shù)值關(guān)系,面臨的一個(gè)困難是如何把問(wèn)題的情境翻譯成方程。大家要學(xué)會(huì)把日常生活中的自然語(yǔ)言等價(jià)地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,得到方程,進(jìn)而解決有關(guān)問(wèn)題。本次旅行結(jié)束,希望大家有所收獲!
(作者單位:江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)坂上初級(jí)中學(xué))