劉 瀏, 黃之杰, 劉慎洋

(空軍勤務學院 航空四站系，江蘇 徐州 230009)

0 引言

目前航空兵場站裝備是我空軍保障系統(tǒng)內(nèi)技術(shù)含量較高，單裝價值較高的保障裝備之一，其維修性能的優(yōu)劣直接影響航空兵場站的保障效能，進而影響航空兵的作戰(zhàn)效能。而目前國內(nèi)學者尚未給出一個適用于航空兵場站處于多級備件，(s-1,s)庫存下的可修裝備的維修性解析方法。陸中[1]等以Petri網(wǎng)模擬得出了邏輯維修關(guān)系下的維修性參數(shù)，卻沒有考慮庫存?zhèn)浼诰S修過程中的影響。羅祎[2]等給出了基于多級庫存優(yōu)化模型的維修性參數(shù)均值。陳童[3]等假設(shè)兩級(s-1，s)備件情況下基層故障到達具有馬爾可夫性，而真實情況下庫存中，安裝中的備件出現(xiàn)故障的可能性很小。本文針對航空兵場站裝備中常見的多級備件(s-1,s)庫存下的維修過程進行Monte Carlo(后簡記為MC)仿真，得到的廣義維修時間數(shù)據(jù)收斂于一穩(wěn)態(tài)分布，再基于OLS估計和ML估計得到了該分布函數(shù)，并通過了卡方檢驗、Anderson-Darling檢驗、Kolmogorov-Smirnov檢驗。對比simlox軟件評估結(jié)果，該MC仿真-OLS估計結(jié)果具有較高可信度。另外本文中所提供的算法可以較為自由的改變變量所服從的分布，對其他情況下的研究也具有一定借鑒意義。

1 裝備單元維修模型MC仿真算法

1.1 基本假設(shè)

(1)航空兵場站裝備單元壽命ξ服從指數(shù)分布Fξ(x)，且有密度函數(shù)fξ(x)=λie-λix,x>0,λ>0，裝備由N個同型單元串聯(lián)而成，裝備故障率λ=Nλi且故障到達過程僅出現(xiàn)于備件在基層裝備上正常運轉(zhuǎn)時。

(2)修理人員僅在基層備件數(shù)大于0時，可對裝備進行修理；若基層無備件則需等待備件到達。修理時間γ服從均勻分布Fγ(x)，備件更換后報廢，裝備修理如新，且有密度函數(shù):

(1)

圖1 維修所需備件的排隊過程

1.2 維修過程的迭代表示

定義1映射A:Xn→R,A(A)=max{Ai,i=n-(a+2)}射,(Ai為隨機向量正序第i個元素)易知A為定義在隨機向量線性空間Xn上的一廣義隨機向量函數(shù)，R為實數(shù)空間。

定義2變量m1m2m3…m=1,2,3…n-2。

根據(jù)假設(shè)，構(gòu)建迭代隨機過程，如圖2所示。

圖2 維修時間與使用壽命交替的隨機過程

其中ξn為壽命隨機變量(后記為r.v.)，tn表示第n次故障的故障時刻。{tn,n>0}表示故障時刻為一連續(xù)時間序列過程，存在關(guān)系t1≤t2≤t3≤…tn，且滿足迭代關(guān)系:

tn=tn-1+τn+ξn

(2)

易知維修時間γ與備件短缺時滯φ之和，即為廣義維修時間τ=γ+φ。

定義4設(shè)τ(n)為參數(shù)n∈N*，定義于概率空間(Ω,F,P)上的一族取值于(R,R)的r.v.τ={τn,n∈N*}，且有如下迭代表示:

(3)

δ=A(a)ε=A(b)

當且僅當事件ω∈Ω，且c,g中r.v.滿足

x1(ω)≥x2(ω)≥x3(ω)≥…≥xn-2(ω)y1(ω)≥y2(ω)≥y3(ω)≥…≥y2n-b-3(ω)

a=[x1x2x3…xn-2]T,b=[y1y2y3…y2n-b-3]T時，有:

c=[τn+ξnτn+ξn+τn-1+ξn-1

τn+ξn+τn-1+ξn-1+τn-2+ξn-2…

(4)

g=[f,d]T

(5)

d=[τn+ξnτn+ξn+τn-1+ξn-1

τn+ξn+τn-1+ξn-1+τn-2+ξn-2

(6)

其中，f′=f-[αm1αm2…αmn-b]T。

當且僅當事件ω∈Ω，且r.v.取值為ζm(·)時，有如下關(guān)系：

ζm1(ω)≥ζm2(ω)≥ζm3(ω)…≥ζmn-b(ω)

記隨機向量f,e可分別表示為:

f=[ζm1ζm2…ζmn-b]T

(7)

e=[τn-1+ξn-1τn-1+ξn-1+τn-2+ξn-2

τn-1+ξn-1+τn-2+ξn-2+τn-3+ξn-3

(8)

以映射C來表示e=[ζ1ζ2…ζn-2]T

1.3 算法流程，結(jié)果及收斂性

1.3.1 算法流程

仿真算法流程示意圖，如圖3所示。

圖3 仿真算法流程簡示(虛線:數(shù)據(jù)讀取,實線:邏輯順序)

1.3.2 隨機數(shù)檢驗

算法流程中所使用隨機數(shù)來自線性同余-反變換發(fā)生器，因為反變換法以均勻隨機數(shù)為基礎(chǔ)進行變換，現(xiàn)僅對其均勻隨機數(shù)輸入進行檢驗。據(jù)表1檢驗結(jié)果，可以認為該數(shù)列滿足隨機性要求，算法可信度較高。

表1 對四種隨機數(shù)輸入值的檢驗

表2 對三類分布的擬合檢驗

1.3.3 仿真結(jié)果

現(xiàn)根據(jù)某場站低可靠性可修裝備(λ取值較大)及其可靠性，庫存量等數(shù)據(jù)對其維修過程進行仿真,迭代次數(shù)n∈[1,2.5×104]。其τ(n)如圖4:

圖4 仿真周期內(nèi)樣本曲線

由圖5(b)(c)(d)可見：當n∈[2.0,2.1](×104)時異常值較為明顯(深色標出)；當n∈[2.1,2.2](×104)時數(shù)據(jù)頻率分布異常值明顯減少；可以得到隨著n的不斷增大，樣本頻率分布逐漸平滑收斂為一對數(shù)正態(tài)密度函數(shù)；由圖5(b)(e)(f)可見，當n∈{[2.0,2.1],[2.0,2.3],[2.0,2.5]}(×104)，隨著樣本容量的擴大，τ具有明顯頻率穩(wěn)定性。

圖5 n→∞以及擴大樣本的分布擬合效果

分別對n∈{[2.0,2.1],[2.1,2.2],[2.2,2.3]}(×104)的數(shù)據(jù)進行對數(shù)正態(tài)性擬合檢驗，結(jié)果如表3所示。

表3 n→∞時分布擬合程度不斷優(yōu)化

綜上所述，隨著n→∞,τ(n)的一維分布序列

(9)

1.3.4 收斂性分析

易知迭代隨機過程τ(n)，n=0,1,2,3…為一可數(shù)無窮維隨機過程[4](定義4)。因此滿足性質(zhì):(1)相容性條件;(2)對稱性條件。

其r.v.依分布收斂等價于每一個有限維分布的弱收斂[4]。

由性質(zhì)可知，τ(n)的有限維分布族：

F(n1,n2,…,nw;x1,x2,…,xw)

=F(n1,nw,nw+1,…,nu;x1,x2,…,xw,∞…∞)

(10)

根據(jù)式(9)，命題得證。

2 廣義維修時間分布的參數(shù)推斷

樣本{τ1,τ2,τ3,τ4…τm,τm+1,τm+2…τm+n}來自隨機過程τn。當m→∞，{τm+1,τm+2…τm+n}可認為是一來自一維穩(wěn)態(tài)分布F(1)的樣本，且τm+1τm+2τm+3…τm+n|m→∞,其觀測值的次序統(tǒng)計數(shù)據(jù)為{x1,x2…xn},其密度函數(shù)為f(x,Θ)。

2.1 推斷結(jié)果

現(xiàn)基于Minitab對n∈[2.2,2.3](×104)時的樣本分別進行最小二乘估計(OLS)，極大似然估計(ML),估計結(jié)果及95%置信區(qū)間如表4所示。

表4 估計結(jié)果

由于兩種方法的擬合結(jié)果相近，所以其圖像不再單獨列出。

2.2 擬合檢驗

對比OLS，ML估計方法所得估計量的擬合程度，結(jié)果如表5所示。

表5 擬合檢驗

可以得到：OLS方法得到估計結(jié)果擬合程度優(yōu)于ML?？梢哉J為該型裝備維修時間τ在達到穩(wěn)態(tài)后，τ～LN(0.13,-0.31,0.98)，且有密度函數(shù)：

(11)

3 結(jié)論

根據(jù)維修性定義及(11)式得

(12;13)

m(t)—維修密度函數(shù)；M(t)—維修度函數(shù),即：

(14)

MTBM—維修間隔時間；MTTM—維修時間。

代入的仿真數(shù)據(jù)可得A0≈19%，相比國外成熟軟件平臺simlox對該型裝備效能仿真結(jié)果(A0)如圖6所示，擬合度較為理想。

圖6 simlox軟件平臺穩(wěn)態(tài)可用度仿真結(jié)果

因此可得：

(1)在誤差允許范圍內(nèi)，在假設(shè)情況下該裝備的穩(wěn)態(tài)可用度，穩(wěn)態(tài)維修度函數(shù)分別為A0，M(t)。

(2)在假設(shè)條件下，本MC仿真-OLS估計方法可作為多級備件條件，(s-1,s)庫存下的裝備可用度，維修度解析模型。