周鵬飛，崔玉國，惠相君，汪家樂，孫靖康

(寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波 315211)

0 引言

微動平臺是一種能夠?qū)崿F(xiàn)亞毫米級運動行程、納米級分辨率的微位移機構(gòu)。在精密與超精密測量中，它可用于對傳感器進行精密位置調(diào)節(jié)[1-2]；在微機電系統(tǒng)(MEMS)裝配中，它可實現(xiàn)微零件的裝配[3-4]。壓電微動平臺通過壓電執(zhí)行器驅(qū)動其彈性機構(gòu)來產(chǎn)生微位移及傳遞力，其具有體積小，輸出力大和定位精度高等優(yōu)點，比采用其他驅(qū)動形式的微動平臺更具優(yōu)勢。

由于壓電微動平臺系統(tǒng)具有遲滯非線性，需要對其進行控制以提高位移輸出精度，目前常用的控制方法有前饋控制，比例、積分、微分(PID)控制，魯棒控制，自適應(yīng)控制及復合控制等。Ming等[5]采用基于改進Bouc-Wen模型的前饋控制，對壓電微動平臺進行正弦波軌跡跟蹤，跟蹤誤差達到0.68%。Lee等[6]采用PID對壓電微動平臺進行控制，在跟蹤幅值為10 μm的正弦軌跡時，跟蹤誤差為50 nm。Edardar[7]采用模型參考自適應(yīng)控制對壓電微動平臺進行軌跡跟蹤，使平臺在跟蹤幅值為25 μm的三角波時，最大跟蹤誤差為0.55 μm。張棟等[8]采用基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID控制，使平臺在跟蹤幅值為25 μm的正弦波時，平均誤差為0.80 μm。周淼磊等[9]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制與專家模糊控制的復合控制方法，在對平臺進行任意輸入跟蹤時，最大跟蹤誤差達到0.26%。于志亮等[10]采用PI模型與增量式PID控制算法結(jié)合的復合控制，使壓電微動平臺跟蹤在 100 Hz正弦曲線時，跟蹤誤差≤0.59%。

在上述控制方法中，作為開環(huán)控制的前饋控制算法簡單，成本低，但其控制效果過于依賴模型精度；作為閉環(huán)控制的PID控制、最優(yōu)控制、魯棒控制、自適應(yīng)控制可使壓電微動平臺的遲滯誤差接近于0，但需要精密的傳感器。復合控制是結(jié)合前饋控制和閉環(huán)控制的控制方法，可進一步提高平臺的定位控制精度，但比單一的控制算法復雜。其中，PID控制在工程實際中工作可靠，便于調(diào)整，且不依賴被控對象精確的數(shù)學模型，但現(xiàn)有的PID參數(shù)整定方法都是基于經(jīng)驗或試湊設(shè)計，這些設(shè)計方法參數(shù)選擇耗時且較粗略。

基于極點配置的PID控制器參數(shù)整定方法，可使PID參數(shù)與系統(tǒng)性能指標相聯(lián)系，具有快捷、準確的優(yōu)點。本文采用該方法設(shè)計壓電微動平臺的PID控制器，對平臺進行控制，以提高其定位精度。

1 平臺系統(tǒng)動力學建模

平臺系統(tǒng)包括壓電執(zhí)行器和微動平臺。首先通過對壓電執(zhí)行器建立并辨識其數(shù)學模型，進而在對平臺進行受力分析、運動分析的基礎(chǔ)上，建立并辨識平臺系統(tǒng)的動力學模型。

1.1 壓電執(zhí)行器建模

壓電執(zhí)行器主要在靜態(tài)或低頻情況下工作，在電學上可以等效為電容和絕緣電阻的并聯(lián)。圖1為壓電執(zhí)行器的等效電路。在考慮驅(qū)動電源內(nèi)阻Ro遠小于壓電執(zhí)行器內(nèi)阻Rp的情況下，可得

(1)

式中：τ=RoCp為時間常數(shù)；U(s)、Uo(s)分別為電源控制電壓u(t)、驅(qū)動電壓uo(t)的拉式變換；a為驅(qū)動電源放大倍數(shù)。

圖1 壓電執(zhí)行器的等效電路

在uo(t)作用下，當壓電執(zhí)行器兩端被完全固定時，其輸出位移將全部轉(zhuǎn)化為壓電執(zhí)行器輸出力fp(t)，故可得

(2)

式中：n為壓電執(zhí)行器層數(shù)；d33為壓電應(yīng)變常數(shù)；kp為壓電執(zhí)行器的剛度；Fp(s)為fp(t)的拉式變換。

由式(1)、(2)可得壓電執(zhí)行器的傳遞函數(shù)為

(3)

給空載壓電執(zhí)行器施加階躍電壓，便可辨識出nd33a及τ。已知式(3)中kp=60 N/μm，故u(t)到fp(t)的傳遞函數(shù)為

(4)

1.2 平臺建模

壓電執(zhí)行器對平臺的作用力f(t)與壓電執(zhí)行器的空載位移δ0(t)、壓電執(zhí)行器驅(qū)動平臺時的輸出位移δ(t)之間的關(guān)系為

f(t)=kp[δ0(t)-δ(t)]=fp(t)-kpδ(t)

(5)

根據(jù)式(5)，同時考慮壓電執(zhí)行器的阻尼，可得平臺沿x(或y)方向的質(zhì)量-彈簧-阻尼模型(見圖2)。

圖2 平臺的等效模型

根據(jù)圖2可得δ(t)與fp(t)之間的傳遞函數(shù)為

(6)

其中

(7)

(8)

式中：Δ(s)為δ(t)的拉式變換；ωn,ξ分別為平臺的固有頻率、阻尼比;mb、cb、kb分別為平臺的運動質(zhì)量、阻尼、剛度;mp、cp、kp分別為壓電執(zhí)行器的質(zhì)量、阻尼、剛度。

在通過給平臺施加力測得其kb，通過脈沖響應(yīng)法測得平臺的ωn，通過半功率法測得ξ的情況下，可得微動平臺的作用力與輸出位移之間的傳遞函數(shù)為

(9)

1.3 平臺系統(tǒng)動力學模型

由式(4)、(9)可得平臺系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(10)

2 平臺PID反饋控制

2.1 PID控制原理

PID控制通過對偏差的PID的線性組合實現(xiàn)對被控對象的控制。離散PID控制律為

(11)

式中：KP為比例增益；TI為積分時間常數(shù)；TD為微分時間常數(shù)；k、k-1分別為采樣時刻kT、(k-1)T的簡寫；T為采樣周期；u(k)為k時刻PID控制器的輸出；e(k)、e(k-1)分別為k、k-1時刻的偏差。

為使PID控制過程占用內(nèi)存小，耗時短，將式(11)中的k換成k-1，然后再同式(11)相減，可得具有遞推關(guān)系的PID表達式為

u(k)=u(k-1)+g0e(k)+g1e(k-1)+

g2e(k-2)

(12)

其中

g0=KP(1+T/TI+TD/T)

(13)

g1=-KP(1+2TD/T)

(14)

g2=KPTD/T

(15)

對式(12)進行z變換，得到有遞推關(guān)系的PID控制器的z傳遞函數(shù)為

(16)

2.2 平臺PID控制器設(shè)計

由式(10)可求得平臺模型的3個開環(huán)極點，如圖3所示。圖中，P01為壓電執(zhí)行器模型的實數(shù)極點，P02、P03為平臺模型的兩個共軛極點。這3個極點都處于虛軸左側(cè)，由此可知系統(tǒng)穩(wěn)定。平臺為二階振蕩環(huán)節(jié)，其模型的兩個共軛極點離虛軸較近，使得系統(tǒng)的開環(huán)阻尼效應(yīng)較弱，導致可動部分振動持續(xù)時間較長。由此可見，需對平臺模型的兩個共軛極點進行重新配置。

圖3 平臺模型的極點分布圖

式(10)可進一步可表示為

A(z-1)δ(k)=z-2B(z-1)u(k)

(17)

其中

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2

(18)

B(z-1)=b0

(19)

a1=2ξωn-2

(20)

(21)

(22)

式(16)可進一步表示為

P(z-1)u(k)=G(z-1)δr(k)-G(z-1)δ(k)

(23)

其中

P(z-1)=1-z-1

(24)

G(z-1)=g0+g1z-1+g2z-2

(25)

式(23)是極點配置控制器方程，其結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。

圖4 平臺控制系統(tǒng)的構(gòu)成框圖

將式(23)代入式(17)，可得：

[A(z-1)P(z-1)+z-2B(z-1)G(z-1)]δ(k)=

z-2B(z-1)G(z-1)δr(k)

(26)

設(shè)閉環(huán)特征多項式為Q(z-1)，Q(z-1)的零點就是理想的閉環(huán)極點，于是：

A(z-1)P(z-1)+z-2B(z-1)G(z-1)=Q(z-1)

(27)

根據(jù)極點的配置原理，式(27)中的P(z-1)必須滿足P(1)=0，G(z-1)必須是z-1的二次多項式。因此，G(z-1)可由式(25)確定，而P(z-1)為

P(z-1)=(1-z-1)(1+p1z-1)

(28)

式中：(1+p1z-1)可看作是濾波器；p1為待定濾波器系數(shù)。

將式(18)、(19)、(25)、(28)代入式(27)，可得：

(1+a1z-1+a2z-2)(1-z-1)(1+p1z-1)+

z-2b0(g0+g1z-1+g2z-2)=

q0+q1z-1+…+qnz-n

(29)

因為平臺為二階振蕩環(huán)節(jié)，故本文選擇n=2。式(29)中，q0=1，通過極點配置可確定q1、q2。如圖5所示，如果保持平臺極點的虛部不變，將其實部沿著實軸方向平移，就能將所期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點以最短的距離最大程度地遠離虛軸。本文將系統(tǒng)閉環(huán)阻尼比取為1，根據(jù)圖5所示的極點配置法，平臺的閉環(huán)極點如表1所示。

圖5 復平面內(nèi)的極點配置

表1 平臺極點配置表

當平臺的閉環(huán)極點確定后，式(29)中的q1、q2可由下式求得：

q1=-2eRpdTcos(IpdT)

(30)

q2=e2RpdT

(31)

式中Rpd,Ipd分別為閉環(huán)極點的實部、虛部。

求得q1、q2后，由式(28)可求解出p1、g0、g1、g2，進而將式(25)、(28)代入式(23)可得：

u(k)=(1-p1)u(k-1)+p1u(k-2)+

(g0+g1z-1+g2z-2)e(k)

(32)

3 實驗驗證

3.1 平臺位移測試系統(tǒng)

圖6為壓電微動平臺位移測試實驗系統(tǒng)。它由計算機、數(shù)據(jù)采集卡、驅(qū)動電源、壓電執(zhí)行器、微動平臺及電渦流位移傳感器構(gòu)成。

圖6 平臺位移測試實驗系統(tǒng)

3.2 控制實驗結(jié)果

3.2.1 階躍輸入

圖7為平臺在所設(shè)計的PID控制器作用下對階躍輸入的響應(yīng)。由圖可知，平臺的響應(yīng)時間為0.23 s，響應(yīng)無振蕩，若忽略位移傳感器噪聲，平臺實際位移相對于參考位移的穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為0。

圖7 PID控制作用下的階躍響應(yīng)

3.2.2 三角波輸入

圖8為平臺在所設(shè)計的PID控制器作用下對變幅值三角波輸入的響應(yīng)。由圖可知，即使在變幅值三角波輸入下，若忽略位移傳感器噪聲，平臺實際位移與參考位移的誤差也幾乎為0。

圖8 PID控制作用下的三角波響應(yīng)

4 結(jié)束語

基于所建立的壓電微動平臺系統(tǒng)的動力學模型，采用極點配置法對平臺的PID反饋控制器進行設(shè)計，使PID參數(shù)與系統(tǒng)性能指標相聯(lián)系，實現(xiàn)了控制器參數(shù)的有效整定，避免了基于經(jīng)驗法或試湊法的PID參數(shù)整定耗時的缺點。

控制實驗結(jié)果表明，所設(shè)計的平臺PID控制器能使平臺具有較快的響應(yīng)速度，且能完全消除平臺的定位誤差。壓電微動平臺在跟蹤幅值為5 μm的階躍位移時，平臺的響應(yīng)時間為0.23 s；在跟蹤最大幅值為15 μm的變幅值三角波時，跟蹤誤差幾乎為0。