單 堯，余 兵，牛 斌

(1.大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109)

0 引言

工程結(jié)構(gòu)大多處在動態(tài)載荷環(huán)境中，結(jié)構(gòu)受動態(tài)載荷產(chǎn)生的振動會影響結(jié)構(gòu)的性能與使用壽命，所以抑制結(jié)構(gòu)的振動具有重要意義。壓電材料是一種可實現(xiàn)機械能與電能相互轉(zhuǎn)化的智能材料。壓電材料的逆壓電效應(yīng)可以將電能轉(zhuǎn)換為機械能，利用該特性，壓電材料被廣泛用于主動或被動控制結(jié)構(gòu)振動[1]。通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)本身材料的分布實現(xiàn)最小化結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的研究已得到廣泛研究[2]。近年來，學(xué)者們通過引入壓電材料來改善結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能，如Kang和Zhang通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)表面壓電材料的分布研究了結(jié)構(gòu)振動的主動控制[3]。由于脆性壓電陶瓷材料的可加工性差，所以難以實現(xiàn)加工任意拓?fù)涞膲弘娖?，因此，一些學(xué)者提出了通過優(yōu)化指定規(guī)格壓電片的布局代替尋找最優(yōu)的壓電材料拓?fù)?，如Quek等[4]利用直接搜索法得到了抑制結(jié)構(gòu)指定模態(tài)自由振動的壓電片的最優(yōu)分布；Gao等[5]利用遺傳算法研究了抑制振動板噪聲傳遞的壓電傳感器與致動器的位置優(yōu)化問題。文獻[2-5]的研究工作主要通過單獨優(yōu)化支撐結(jié)構(gòu)的拓?fù)浠蚪Y(jié)構(gòu)表面的壓電材料分布實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的振動抑制。本文將優(yōu)化復(fù)合材料支撐結(jié)構(gòu)的鋪層與材料選擇，同時優(yōu)化結(jié)構(gòu)表面給定尺寸的矩形壓電片布局，實現(xiàn)最小化結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)。數(shù)值算例表明，使用該優(yōu)化方法可提高結(jié)構(gòu)振動抑制的效果及優(yōu)化設(shè)計的制造性。

1 壓電結(jié)構(gòu)振動分析

壓電材料的壓電效應(yīng)可分為正壓電效應(yīng)(機械能轉(zhuǎn)化成電能)與逆壓電效應(yīng)(電能轉(zhuǎn)化成機械能)[6]，分別表示為

D=eε+κE

(1)

σ=Cε-eE

(2)

式中:ε，σ分別為應(yīng)變向量與應(yīng)力向量；C為彈性矩陣；e，κ分別為壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣和介電常數(shù)矩陣；E，D分別為電場強度向量與電位移向量。

圖1 復(fù)合材料層合板示意圖與橫截面圖

本文采用壓電材料作為致動器，與外加電壓相比，由壓電材料正壓電效應(yīng)產(chǎn)生的電荷量非常小，對壓電材料的作用可忽略不計。因此，我們只考慮壓電材料的逆壓電效應(yīng)。針對圖1所示復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)，只考慮壓電材料的逆壓電效應(yīng)[7]，利用有限元法得到的壓電感應(yīng)力向量fin為

fin=-Kuφφ

(3)

式中Kuφ，φ分別為壓電矩陣和電勢。

不考慮阻尼，引入壓電材料后振動結(jié)構(gòu)的控制方程為

(4)

2 振動作用下壓電結(jié)構(gòu)優(yōu)化列式

2.1 離散材料優(yōu)化(DMO)法材料模型

與各向同性材料不同，復(fù)合材料具有方向性。所以，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的性能與每一層的纖維分布與鋪設(shè)角度有關(guān)。在這里對于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的建模我們參考DMO法[8]，這種方法通過選擇預(yù)先設(shè)定的備選材料來實現(xiàn)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的鋪層材料、鋪設(shè)角度及鋪層順序的優(yōu)化；其中備選材料可以是不同種類的材料,也可以是鋪設(shè)角度不同的同一種纖維增強復(fù)合材料。本文通過將備選材料設(shè)置為泡沫材料和不同鋪設(shè)角度的纖維復(fù)合材料，實現(xiàn)各層不同纖維角度的分析與優(yōu)化,以及纖維材料和泡沫材料的拓?fù)湓O(shè)計。應(yīng)用DMO法后每層的本構(gòu)關(guān)系矩陣Ql與質(zhì)量密度ml分別為

(5)

(6)

式中：ξi，Qi和mi分別為第i種備選材料的權(quán)函數(shù)，本構(gòu)關(guān)系矩陣和質(zhì)量密度；nl為第l層備選材料總數(shù)。

本文中使用的壓電材料為各向同性材料，基于DMO法我們將壓電層備選材料設(shè)置為壓電材料與人為定義的孔隙材料，并引入?yún)^(qū)域(Patch)設(shè)計變量[8]，從而得到給定尺寸的矩形壓電片的分布。第l層的壓電應(yīng)力矩陣el為

el=ξ1e1+ξ2e2

(7)

式中：ξ1,ξ2分別為壓電材料和人為定義孔隙材料的DMO權(quán)函數(shù)；e1,e2分別為壓電材料和人為定義孔隙材料的壓電應(yīng)力矩陣。

2.2 目標(biāo)函數(shù)與壓電結(jié)構(gòu)優(yōu)化列式

衡量結(jié)構(gòu)振動的優(yōu)化指標(biāo)很多[9]，選取結(jié)構(gòu)局部位移作為描述結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的指標(biāo)為

g=UTLU

(8)

式中：U為結(jié)構(gòu)位移幅值向量；L為索引矩陣，表示需要優(yōu)化響應(yīng)節(jié)點的位置；上標(biāo)T為轉(zhuǎn)置運算。

引入式(8)與式(4)，可得優(yōu)化列式如下：

0

(9)

利用伴隨法求得目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計變量的靈敏度為

(10)

(11)

3 數(shù)值算例

本節(jié)以圖1所示結(jié)構(gòu)作為算例來說明該方法的有效性。該結(jié)構(gòu)(見圖1)為左側(cè)固定的層合懸臂板結(jié)構(gòu)，共5層(每層厚為0.2 mm)。該懸臂板長為1 m，寬為0.5 m。將結(jié)構(gòu)劃分為40×20的有限元網(wǎng)格。第一層全為碳纖維復(fù)合材料，備選鋪設(shè)角度為[0°,±45°,90°]，第二層到第五層除了碳纖維材料，還有各向同性泡沫材料，第六層為各向同性的壓電材料與人為定義的材料屬性很小的孔隙材料。初始設(shè)計結(jié)構(gòu)為各備選材料均勻分布。在懸臂板右端中心位置(A點)施加一個垂直板面的f=Feiωpt，F(xiàn)為外加機械載荷的幅值向量，其中幅值為10 N。根據(jù)初始結(jié)構(gòu)的自由振動頻率，選取激勵頻率為35 Hz(在第二、三階的自由振動頻率之間)。第六層的壓電片厚為0.2 mm，長和寬均為50 mm。外加電壓的頻率和機械載荷的頻率相同且幅值為1 V。選取全部節(jié)點的響應(yīng)作為優(yōu)化目標(biāo)，即L為單位矩陣。壓電材料的性能參數(shù)如表 1所示，η=40%。使用移動漸近線法(MMA)[10]求解式中的優(yōu)化問題。壓電材料、碳纖維復(fù)合材料和各向同性泡沫材料的彈性模量E、質(zhì)量密度ρ、剪切模量G、泊松比υ及壓電應(yīng)力系數(shù)e分別如表1～3所示。

表1 壓電材料性能參數(shù)表

表2 碳纖維復(fù)合材料性能參數(shù)表

表3 泡沫材料性能參數(shù)表

此模型在外激勵頻率35 Hz時得到的優(yōu)化設(shè)計如圖 2所示，其中第一層到第五層里的黑色短線代表碳纖維的鋪設(shè)角度;第二層和第五層空白處為泡沫材料。第六層中黑色部分代表壓電材料?；疑糠直硎疚凑掣綁弘姴牧?。

圖2 35 Hz激勵頻率下優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

圖3為優(yōu)化前、后的結(jié)構(gòu)在外激勵頻率35 Hz下的位移幅值分布對比圖，為了使對比結(jié)果明顯，圖中顯示的位移幅值為放大5倍后的結(jié)果。對比圖3(a)、(b)可知，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)位移幅值明顯小于初始結(jié)構(gòu)。目標(biāo)函數(shù)(g)由初始的20.84下降到0.046。對比圖3(a)、(c)發(fā)現(xiàn)，壓電材料的機械性能可以在一定程度上減小結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。觀察圖2可看出，纖維材料和第六層壓電材料片的分布具有較好的對稱性；泡沫材料主要分布在中間層，即第二層到第四層；對比圖3中的位移幅值分布圖，圖2中第五層的纖維材料與第六層壓電層的材料主要分布在位移幅值較大的區(qū)域。該結(jié)果充分說明了該抑振方法的有效性。

圖3 位移幅值分布圖

4 結(jié)束語

在本文中，壓電材料作為壓電致動器使用，其正壓電效應(yīng)對結(jié)構(gòu)振動產(chǎn)生的影響忽略不計。數(shù)值算例表明經(jīng)過優(yōu)化，結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)明顯減小。同時優(yōu)化壓電材料的分布與結(jié)構(gòu)本身可有效地實現(xiàn)結(jié)構(gòu)振動最小化，其中壓電材料的分布說明，由壓電材料的逆壓電效應(yīng)產(chǎn)生的力不僅可以有效地抑制結(jié)構(gòu)振動，且壓電材料本身具有的剛度與質(zhì)量也可以增強結(jié)構(gòu)本身的機械性能。