李 清 徐偉俊 張 猛 楊海艦 劉云進(jìn)

1.天津大學(xué)青島海洋工程研究院，青島,2660002.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津，300350 3.寧波海伯集團(tuán)有限公司，寧波,315800

0 引言

相比傳統(tǒng)齒輪，面齒輪傳動(dòng)具有重合度更高、結(jié)構(gòu)更加緊湊、傳動(dòng)噪聲更小、承載能力更強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、汽車及航空等領(lǐng)域[1-2]。面齒輪按照其齒頂線的不同可分為直齒面齒輪、斜齒面齒輪和曲齒面齒輪三種類型。直齒面齒輪和斜齒面齒輪因其齒形相對簡單，已有許多研究人員提出了可行的加工方法。STADTFELD[3]采用高階滾比多項(xiàng)式法使直廓刀具模擬出近似的漸開線產(chǎn)形輪齒廓，利用Coniflex 直廓刀具在Phoenix 機(jī)床上進(jìn)行了直齒面齒輪的粗切和磨削實(shí)驗(yàn)。王延忠等[4]提出了面齒輪的插齒刀齒形設(shè)計(jì)方法。趙寧等[5]提出了利用球形滾刀滾切加工面齒輪的加工方法。為實(shí)現(xiàn)硬齒面面齒輪的加工，王曉軍等[6]研究了磨齒加工過程中的蝸桿砂輪設(shè)計(jì)方法及磨損蝸桿砂輪的修正方法。董皓等[7]采用增材制造的方法加工斜齒面齒輪，為斜齒面齒輪的快速成形加工提供了依據(jù)。

本文所涉及的偏置圓柱蝸桿傳動(dòng)是由圓柱蝸桿與蝸桿面齒輪(是曲齒面齒輪的一種)構(gòu)成的一類傳遞交錯(cuò)軸運(yùn)動(dòng)的傳動(dòng)，蝸桿面齒輪是由阿基米德蝸桿依據(jù)齒輪嚙合原理包絡(luò)而成的，相比其他類型的面齒輪，優(yōu)點(diǎn)更加突出，傳動(dòng)更加平穩(wěn)[8]。但蝸桿面齒輪的缺點(diǎn)是齒面比較復(fù)雜，上述加工直齒或斜齒面齒輪的方法都無法運(yùn)用到該類面齒輪的加工中。目前加工該類面齒輪的方法有三種：①蝸桿滾刀滾切加工[9-11]；②Freeform自由曲面加工[12]；③壓鑄加工[1]。三種方法各有弊端：對于蝸桿滾刀滾切加工，一方面滾刀制造和刃磨比較復(fù)雜，另一方面，在加工小模數(shù)面齒輪時(shí)，與之相匹配的蝸桿滾刀十分纖小，其強(qiáng)度無法滿足加工要求；對于Freeform自由曲面加工，加工所需機(jī)床設(shè)備的成本高昂，最重要的是加工效率低，僅適用于單件小批量生產(chǎn)；對于壓鑄加工，其加工精度較低，加工出的齒輪僅適用于低速輕載的場合，無法發(fā)揮出蝸桿面齒輪的優(yōu)勢[13-15]。

本文以四軸數(shù)控鏜床為加工平臺，提出了一種蝸桿面齒輪加工的新方法，基于齒面共軛原理，利用阿基米德蝸桿軸截面作為飛刀的刃形，使得所提方法能夠快速精確地完成面齒輪齒面的加工，并可分為如下兩個(gè)階段：①飛刀做螺旋運(yùn)動(dòng)模擬出蝸桿，形成加工蝸桿面齒輪的假想產(chǎn)形輪；②該假想產(chǎn)形輪在齒坯上做滾切運(yùn)動(dòng)完成分度加工。本文的主要任務(wù)是整合上述加工過程，求解飛刀的軌跡，編制蝸桿面齒輪的加工程序，并完成加工。

1 偏置圓柱蝸桿傳動(dòng)的理論建模

1.1 傳動(dòng)空間坐標(biāo)系

為得到蝸桿面齒輪傳動(dòng)的理論模型，建立了偏置圓柱蝸桿傳動(dòng)的空間坐標(biāo)系，各坐標(biāo)系的空間位置關(guān)系如圖1所示。

圖1 偏置圓柱蝸桿傳動(dòng)空間坐標(biāo)系Fig.1 Space coordinate systems of the offset cylindrical worm drive

圖1中，坐標(biāo)系{S1}、{S2}分別與蝸桿和面齒輪固連；{S3}、{Sm}為空間固定坐標(biāo)系，分別表示蝸桿和面齒輪的初始位置；其他坐標(biāo)系{S4}、{S5}為輔助坐標(biāo)系。i、j、k為坐標(biāo)軸的單位矢量。從坐標(biāo)系{S1}到{S2}的變換矩陣為

M21=M2m·Mm5·M54·M43·M31=

(1)

式中，M31為坐標(biāo)系{S1}到{S3}的變換矩陣，其他類同；φ1、φ2分別為蝸桿及面齒輪的轉(zhuǎn)角；A、H、L為安裝參數(shù)，分別表示各坐標(biāo)系原點(diǎn)間的距離。

1.2 嚙合點(diǎn)處相對速度

為了運(yùn)用齒輪嚙合原理求出面齒輪的齒面方程，需先求出嚙合點(diǎn)的單位法線矢量及兩齒面的相對速度。文獻(xiàn)[15]已給出了阿基米德蝸桿的齒面方程及齒面的單位法線矢量，以右旋蝸桿為例，其輪齒兩側(cè)面分別記為Ⅰ和Ⅱ，齒面方程可分別表示為

(2)

(3)

右旋蝸桿兩側(cè)齒面的單位法線矢量可分別表示為

(4)

(5)

k=1/(p2+u2)0.5

嚙合點(diǎn)處兩齒面的相對速度可表示為[16]

v(1)=[(ω1-ω2)×r]-(β×ω2)

(6)

ω1=ω1k1

(7)

(8)

i12=ω1/ω2=φ1/φ2

β=Ai3-Hj3-Lk1= (Acosφ1-Hsinφ1)i1-(Asinφ1+Hcosφ1)j1-Lk1

(9)

式中，r為嚙合點(diǎn)在坐標(biāo)系{S1}中的位置矢量;ω1、ω2分別為蝸桿和面齒輪的角速度；i12為傳動(dòng)比；β為坐標(biāo)系{S2}的坐標(biāo)原點(diǎn)O2在坐標(biāo)系{S1}中的位置矢量。

將式(2) 、式(7)～式(9)代入式(6)中，便可求出嚙合點(diǎn)處的相對速度：

(10)

當(dāng)σ=σ1=-usinα+(rptanα-0.5sp)+pθ時(shí)，v(1)為蝸桿齒側(cè)Ⅰ處嚙合點(diǎn)的相對速度；當(dāng)σ=σ2=usinα-(rptanα-0.5sp)+pθ時(shí)，v(1)為蝸桿齒側(cè)Ⅱ處嚙合點(diǎn)的相對速度。

1.3 面齒輪理論模型

蝸桿與面齒輪嚙合時(shí)兩齒面不能相互脫離或是嵌入，這就要求相互接觸的兩齒面在接觸點(diǎn)處有公共的切平面和法向量，因此，兩齒面接觸點(diǎn)的相對速度方向必須與公共法向量方向垂直，即兩齒面必須滿足如下嚙合方程[15]：

n·v=0

(11)

將式(4)、式(10)代入式(11)中，便可得到蝸桿齒側(cè)Ⅰ與面齒輪的嚙合方程：

(12)

同理，將式(5)、式(10)代入式(11)中，可得到蝸桿齒側(cè)Ⅱ與面齒輪的嚙合方程：

(13)

面齒輪由蝸桿包絡(luò)而成，其齒面上的點(diǎn)不僅要滿足嚙合方程，還需要與蝸桿上的對應(yīng)點(diǎn)相重合。蝸桿齒面對應(yīng)點(diǎn)在坐標(biāo)系{S2}中可表示為

(14)

依據(jù)嚙合原理，面齒輪的兩齒面可分別表示為

(15)

(16)

選取適當(dāng)?shù)膮?shù)可得到偏置圓柱蝸桿傳動(dòng)的CAD模型(圖2)，偏置圓柱蝸桿傳動(dòng)的參數(shù)見表2。

圖2 偏置圓柱蝸桿傳動(dòng)CAD模型Fig.2 The CAD model of offset cylindrical worm drive

基本參數(shù)數(shù)值蝸桿頭數(shù)z13面齒輪齒數(shù)z248A(mm)32H(mm)21.94L(mm)62壓力角α (°)20傳動(dòng)比i1216模數(shù)m(mm)1.5蝸桿直徑系數(shù)q14.89蝸桿導(dǎo)程Px(mm)13.92面齒輪小端半徑R1(mm)35面齒輪大端半徑R2(mm)48

2 加工機(jī)理分析

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，蝸桿面齒輪可由與之相匹配的蝸桿滾刀加工而成(圖3)，而蝸桿可由車刀車削產(chǎn)生。為尋求一種利用簡單刀具快速加工該類型面齒輪的方法，基于共軛原理，將上述兩個(gè)過程進(jìn)行整合，將面齒輪的加工分成兩個(gè)階段：第一階段為蝸桿軸截面飛刀做螺旋運(yùn)動(dòng)模擬出蝸桿，形成假想產(chǎn)形輪(即仿形階段)；第二階段為飛刀模擬蝸桿滾刀滾切面齒輪(即分度加工階段)，該階段是為了使假想產(chǎn)形輪做展成運(yùn)動(dòng)切削整個(gè)面齒輪。通過坐標(biāo)變換，可求解出蝸桿軸截面飛刀加工面齒輪的切觸軌跡線。依據(jù)機(jī)床的切削運(yùn)動(dòng)關(guān)系，分解切觸軌跡線，使其轉(zhuǎn)化為刀具主軸、工件軸及Z軸(進(jìn)給方向)之間的關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)。為了求解刀具的軌跡，建立了圖4所示的坐標(biāo)系。坐標(biāo)系{S}與刀具固連，其他坐標(biāo)系含義與圖1相同。

圖3 蝸桿滾刀滾切加工蝸桿面齒輪示意圖Fig.3 Schematic diagram of cutting worm-face gear by worm hob

圖4 蝸桿面齒輪加工坐標(biāo)系Fig.4 Machining coordinate systems of worm-face gear

2.1 仿形階段

為產(chǎn)生假想產(chǎn)形輪，需要求解飛刀的刃形及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，本文根據(jù)蝸桿的形成原理，選取蝸桿的軸截面作為飛刀的刃形。阿基米德蝸桿在軸截面上的齒廓為直線，如圖5所示，該直線為阿基米德蝸桿的產(chǎn)形線。

圖5 阿基米德蝸桿軸截面示意圖Fig.5 Schematic diagram of the shaft section of ZA worm

假定坐標(biāo)系{S}的k軸與蝸桿的軸線重合，i軸穿過蝸桿軸截面齒廓的中心，點(diǎn)M為蝸桿節(jié)圓與軸截面齒廓的交點(diǎn)，其坐標(biāo)可表示為(mq/2，0,πm/4)，則直線齒廓ab上某點(diǎn)在坐標(biāo)系{S}中的位置矢量可表示為

(17)

k1=tan(π/2+α)

式中，λ為參變量。

同理，直線齒廓cd上某點(diǎn)的位置矢量可表示為

(18)

k2=tan(π/2-α)

仿形階段的目的是模擬出蝸桿螺旋齒面(假想產(chǎn)形輪)，因此，該過程中面齒輪齒坯靜止不動(dòng)，飛刀做螺旋運(yùn)動(dòng)，刀具沿k軸負(fù)方向的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)需要與繞k軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)保持對應(yīng)的比例關(guān)系。圖6給出了阿基米德蝸桿螺旋線展開角γ與導(dǎo)程Px之間的對應(yīng)關(guān)系，由此得出刀具的軸向位移量與轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系：

(19)

式中，F(xiàn)s為刀具的軸向位移量；φs1為刀具在仿形加工階段時(shí)的轉(zhuǎn)角。

圖6 蝸桿螺旋線展開角與導(dǎo)程的關(guān)系Fig.6 Relationship between the expansion angle and lead of thread line

刀具在坐標(biāo)系{S1}中的軌跡可表示為

(20)

式中，M為坐標(biāo)系{S}到{S1}的變換矩陣；rS為刀具齒廓在坐標(biāo)系{S}中的坐標(biāo)。

將式(17)、式(19)代入式(20)中，可得到齒廓ab在坐標(biāo)系{S1}中的軌跡方程：

(21)

同理，將式(18)、式(19)代入式(20)中，可得到齒廓cd在坐標(biāo)系{S1}中的軌跡方程：

(22)

將表1中的參數(shù)代入式(21)、式(22)中，可以得到坐標(biāo)系{S1}中刀具的軌跡圖像,見圖7a，其中vf為刀具進(jìn)給速度，該軌跡即飛刀模擬出的產(chǎn)形輪。仿形階段刀具走刀一次切削后的面齒輪齒廓見圖7b。

(a)刀具軌跡

(b)面齒輪齒廓圖7 仿形階段Fig.7 Imitation stage

2.2 分度加工階段

在仿形階段，飛刀模擬出了產(chǎn)形輪，當(dāng)?shù)毒叩能壽E穿過面齒輪齒坯時(shí)，切出的齒形只能滿足在某一特定時(shí)刻蝸桿與面齒輪的嚙合，要想加工出完整的面齒輪齒面，保證蝸桿與面齒輪連續(xù)的嚙合傳動(dòng)，就需要產(chǎn)形輪做展成運(yùn)動(dòng)來完成，上述過程稱之為分度加工過程。分度加工過程是為了模擬蝸桿滾刀滾切加工面齒輪，過程中飛刀和面齒輪齒坯分別做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，刀具主軸與工件軸的轉(zhuǎn)角則需滿足如下比例關(guān)系:

φs2=i12φb

(23)

式中，φb為面齒輪齒坯繞其軸線的轉(zhuǎn)角；φs2為刀具在分度加工階段繞其軸線的轉(zhuǎn)角。

假定面齒輪齒坯靜止不動(dòng)，根據(jù)相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系，刀具在繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，還要繞面齒輪齒坯的軸線做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，刀具齒廓ab在坐標(biāo)系{S2}中的運(yùn)動(dòng)軌跡可表示為

(24)

λ1=k1(λ-πm/4)+mq/2

同理，刀具齒廓cd的運(yùn)動(dòng)軌跡可以表示為

(25)

λ2=k2(λ+πm/4)+mq/2

由式(24)、式(25)可知，刀具齒廓在坐標(biāo)系{S2}中的軌跡方程包含3個(gè)獨(dú)立變量：λ、φs1、φb，無法直接獲得刀具的軌跡，因此需要選定一系列φb的值來構(gòu)建刀具的三維軌跡。當(dāng)φb取值為0°，20°，40°，…，360°時(shí)，得到的刀具軌跡如圖8所示。該軌跡實(shí)質(zhì)為假想產(chǎn)形輪對面齒輪齒坯的包絡(luò)線。

圖8 分度加工階段刀具軌跡Fig.8 Trajectory of cutter in rolling cutting stage

3 仿真加工

3.1 仿真加工環(huán)境

利用VERICUT仿真加工軟件來驗(yàn)證所提出的蝸桿面齒輪新型加工方法的有效性和可行性。由于該加工方法中的兩個(gè)階段分別是聯(lián)動(dòng)的，因此選擇進(jìn)行仿真加工的機(jī)床必須能夠?qū)崿F(xiàn)工件軸與刀具主軸之間、機(jī)床坐標(biāo)系Z軸(與km軸方向一致)與刀具主軸之間的精確聯(lián)動(dòng)。該新型面齒輪加工方法的目的是通過上述聯(lián)動(dòng)作用來完成面齒輪的加工。仿真加工所用的數(shù)控機(jī)床如圖9所示，該機(jī)床為四軸數(shù)控鏜床，可滿足上述加工要求。

圖9 VERICUT仿真加工環(huán)境Fig.9 Simulation machining environment in VERICUT

仿真加工刀具為直廓飛刀，刀具刃形為阿基米德蝸桿軸截面齒廓,如圖10所示，其具體參數(shù)與圖5一致。仿真加工時(shí)的刀具不考慮前角、后角及刃傾角等參數(shù)的取值，也不考慮安裝誤差及受力變形的影響。

圖10 仿真加工刀具示意圖Fig.10 Schematic diagram of the cutter in simulation process

3.2 仿真加工程序

由刀具軌跡(圖8)可以看出，刀路是十分復(fù)雜的，仿形階段飛刀軌跡形成假想產(chǎn)形輪，分度加工階段完成包絡(luò)運(yùn)動(dòng)，來進(jìn)行面齒輪圓周方向的加工。為了在數(shù)控機(jī)床上完成上述過程，必須將兩個(gè)過程進(jìn)行整合。刀具主軸與工件軸按固定傳動(dòng)比進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，刀具先進(jìn)行滾切運(yùn)動(dòng)，采用刀具軸向進(jìn)給的方式來加工，飛刀滾切面齒輪毛坯一周后，沿刀具軸向進(jìn)給的同時(shí)進(jìn)行螺旋進(jìn)給，如此循環(huán)，直至切削整個(gè)面齒輪齒長。該方法的加工程序可由兩個(gè)循環(huán)來完成。取分度加工階段齒坯轉(zhuǎn)角φb=0.4°，仿形階段刀具軸向進(jìn)給量Fs=0.01 mm。該方法仿形階段中的軸向進(jìn)給量應(yīng)足夠小，以便獲得表面粗糙度值較小的齒面。蝸桿面齒輪的具體加工流程見圖11，其中I1為面輪轉(zhuǎn)角角度值計(jì)數(shù)，I2為刀具軸向進(jìn)給次數(shù)計(jì)數(shù)。

圖11 蝸桿面齒輪加工流程Fig.11 Machining process of worm-face gear

在VERICUT仿真加工時(shí)，為了模擬刀具主軸與工件軸的聯(lián)動(dòng)，需要對機(jī)床模型稍作修改，刪除機(jī)床主軸，并添加刀具主軸，通過對刀具主軸及工件軸的角度控制完成分度加工運(yùn)動(dòng)，通過對刀具主軸及Z軸的聯(lián)動(dòng)控制實(shí)現(xiàn)仿形運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而完成進(jìn)給加工。由于涉及循環(huán)和聯(lián)動(dòng)控制，因此選用宏程序，具體加工程序如下：

N1 %0001 ∥主程序

N2CGTECH_MACRO “BroaChModeOnOff” “” 1 ∥開啟拉削模式

N3 T03 M06 ∥選擇03號刀具

N4 G90 G01 G54 Y21.94 X32 Z76 ∥調(diào)整刀具到加工位置

N5 A0 C0 ∥刀具主軸與工件軸初始化

N6 #1=-0.4 ∥工件軸轉(zhuǎn)角賦初值

N7 #2=6.4 ∥刀具主軸轉(zhuǎn)角賦初值

N8 #3=0.4 ∥圓周方法轉(zhuǎn)角計(jì)數(shù)賦初值

N9 #4=-0.01 ∥進(jìn)給量

N10 #5=1 ∥進(jìn)給次數(shù)計(jì)數(shù)賦初值

N11 WHILE #5 LE 120 ∥仿形加工循環(huán)120次

N12 M98 P0002 ∥分度加工

N13 #1=-0.4 ∥工件軸轉(zhuǎn)角賦初值

N14 #2=6.4 ∥刀具主軸轉(zhuǎn)角賦初值

N15 #3=0 ∥圓周方法轉(zhuǎn)角計(jì)數(shù)初始化

N16 #5=#5+1 ∥刀具軸向進(jìn)給次數(shù)計(jì)數(shù)(即I2)

N17 #4=#4-0.01 ∥進(jìn)給量

N18 G91 A[#4*360/13.92] Z[#4] ∥螺旋進(jìn)給

N19 ENDW

N20 M30 ∥主程序結(jié)束

N21 %0002 ∥子程序

N22 WHILE #3 LE 360 ∥分度加工循環(huán)

N23 G91 C[#1] A[#2] ∥分度加工

N24 #3=#3+0.4 ∥面輪轉(zhuǎn)角角度值計(jì)數(shù)(即I1)

N25 ENDW

N26 M99 ∥子程序結(jié)束

3.4 仿真加工結(jié)果

(a)開始

(b)中間

(c)結(jié)束圖12 VERICUT仿真加工蝸桿面齒輪Fig.12 Simulation machining of worm-face gear in VERICUT

(a)凸面模型對比 (b)凹面模型對比圖13 切削模型與理論模型誤差比較Fig.13 Error comparison of cutting and theoretical model

通過仿真可快速并精確地完成蝸桿面齒輪的加工，加工過程如圖12所示。將面齒輪理論模型導(dǎo)入VERICUT并與切削模型進(jìn)行比較，得到的結(jié)果見圖13,結(jié)果表明：當(dāng)?shù)毒咻S向進(jìn)給量取0.01 mm時(shí)，最大過切量為0.09 mm，最大殘余量為0.12 mm，兩者均在誤差允許范圍內(nèi)。該誤差與仿真過程中進(jìn)給量的取值有關(guān)，在實(shí)際加工時(shí)，選用具有電子齒輪箱功能的數(shù)控機(jī)床可實(shí)現(xiàn)各軸之間的精確聯(lián)動(dòng)，從而消除此類誤差。

4 加工實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提加工方法的可行性，在四軸CNC數(shù)控機(jī)床上進(jìn)行了加工實(shí)驗(yàn)，如圖14所示。加工刀具見圖14b，為了使刀具結(jié)構(gòu)簡單、易于制造，用單齒飛刀代替仿真時(shí)使用的三齒飛刀(圖10)。在加工過程中，使用單齒飛刀按上述方法進(jìn)行加工，每完成一個(gè)加工循環(huán)，飛刀轉(zhuǎn)動(dòng)120°，并繼續(xù)進(jìn)行加工，這樣三個(gè)循環(huán)即可完成整個(gè)面齒輪的加工。

(a)加工現(xiàn)場 (b)加工刀具

在DAISY三坐標(biāo)測量機(jī)上對面齒輪試件進(jìn)行檢測，如圖15所示，測得了面齒輪輪齒凸面和凹面離散點(diǎn)的坐標(biāo)值，并經(jīng)過坐標(biāo)變換后與理論坐標(biāo)值進(jìn)行了對比，得到的齒面法向偏差見圖16，可以看出，最大誤差出現(xiàn)在輪齒的凹面，為99.2 μm。該誤差是由刀具的制造誤差及切削過程中飛刀的變形所造成的。

圖16 蝸桿面齒輪齒面法向偏差示意圖(μm)Fig.16 Schematic diagram of normal deviation of the tooth surface for worm-face gear(μm)

5 結(jié)論

(1)本文提出了一種全新的蝸桿面齒輪加工方法，該方法可利用蝸桿軸截面作為刀具的刃形，快速并精確地完成面齒輪的加工，特別是在加工小模數(shù)蝸桿面齒輪時(shí)，該方法具有重要的參考價(jià)值。

(2)分析了蝸桿面齒輪加工所包含的兩個(gè)加工階段，分別求解了兩個(gè)加工階段中刀具的軌跡，并根據(jù)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)關(guān)系將兩個(gè)階段進(jìn)行整合，轉(zhuǎn)化為刀具主軸、工件軸及Z軸的關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)。

(3)對所提出的方法進(jìn)行了加工實(shí)驗(yàn)并對加工誤差進(jìn)行了檢測，齒面最大誤差為99.2 μm，檢測結(jié)果表明該飛刀加工法是可行的。

飛刀加工法所需的機(jī)床結(jié)構(gòu)較為簡單，可對三軸數(shù)控車床稍加改裝變?yōu)閷Ｓ脵C(jī)床，這對該類面齒輪的廣泛應(yīng)用非常有利。