李胤慷，佘宇琛，李 爽，王淑一，陸棟寧

(1. 南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院·南京·210016；2. 北京控制工程研究所·北京·100190)

0 引 言

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展以及航天器任務(wù)的復(fù)雜化，航天器上攜帶的載荷變得越來越復(fù)雜，對航天器平臺本身的姿態(tài)控制需求和姿態(tài)指向精度的要求也都在不斷增加。運動天線作為航天器最重要的外設(shè)附件之一，負責(zé)整星與地面控制中心或中繼衛(wèi)星之間的數(shù)據(jù)傳輸，是當代高分辨率成像衛(wèi)星實現(xiàn)大規(guī)模載荷數(shù)據(jù)快速下傳的關(guān)鍵部件。然而，運動天線在其對地面站或中繼衛(wèi)星的定向運動過程中，不可避免地會對航天器姿態(tài)產(chǎn)生重要影響，是整星姿態(tài)擾動的重要來源之一，嚴重時可能導(dǎo)致整星姿態(tài)穩(wěn)定度無法滿足高精度有效載荷的成像要求。不僅如此，星載天線多體系統(tǒng)中的撓性關(guān)節(jié)、天線反射面撓性以及動力學(xué)參數(shù)不確定性等不利因素，都會對天線的指向精度造成不可忽略的影響，使得星載天線動態(tài)指向精度難以滿足未來航天任務(wù)需求[1]。針對這一難題，一些學(xué)者從研究星載天線機構(gòu)本身的靜態(tài)誤差出發(fā)，對天線的指向精度進行了分析。文獻[2]針對存在未知結(jié)構(gòu)變形的星載天線系統(tǒng)，提出了一種基于二階擴展卡爾曼濾波器的在軌誤差校正方法，提高了星載天線的跟蹤與指向精度。文獻[3]綜合考慮衛(wèi)星姿態(tài)控制誤差、展開機構(gòu)誤差、雙軸驅(qū)動機構(gòu)誤差和反射面誤差等因素，利用齊次變換矩陣得到天線指向運動學(xué)誤差等式，從而得到天線指向精度分析的一般方法。文獻[4]以星載天線雙軸定位機構(gòu)為對象, 分析了其指向精度的影響因素, 從傳動誤差、測量誤差、安裝誤差以及熱變形誤差等方面, 研究了各項精度影響因素的分析模型和計算方法, 建立了指向精度的分析模型。還有一些學(xué)者從天線結(jié)構(gòu)的角度出發(fā)，分析結(jié)構(gòu)變形對星載天線指向精度的影響。文獻[5]推導(dǎo)了柔性關(guān)節(jié)動態(tài)誤差非線性動力學(xué)模型，并分析了柔性關(guān)節(jié)動態(tài)誤差對星載天線的擾動影響。文獻[6]通過固定界面法和拉格朗日方法，推導(dǎo)出了大范圍運動的星載天線剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，并分析了柔性天線反射面彈性形變對星載天線的擾動影響。文獻[7]針對傳動結(jié)構(gòu)含鉸間隙的星載天線，提出了一種考慮徑向和軸向間隙的轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的誤差等效模型，并分析了鉸間隙對星載天線指向精度的擾動影響。文獻[8]考慮熱效應(yīng)對星載天線指向精度的影響，建立了考慮熱效應(yīng)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，并在考慮參數(shù)不確定性的影響下設(shè)計了自適應(yīng)控制律。但上述文章都只是單一考慮了某一種擾動因素對天線系統(tǒng)的影響，而現(xiàn)實情況中星載天線處于一個極其復(fù)雜的動力學(xué)環(huán)境之下，所以需要綜合考慮各個擾動因素的影響。本文將綜合考慮關(guān)節(jié)撓性、天線反射面撓性以及動力學(xué)參數(shù)不確定性的擾動影響，從天線系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)建模、指向跟蹤控制以及振動抑制等方面研究柔性星載運動部件的指向控制方法。

1 星載天線多體系統(tǒng)動力模型

考慮如圖1所示的星載天線多體系統(tǒng)，該系統(tǒng)由基座衛(wèi)星以及一個二軸自由度的運動天線組成。為了方便對問題的數(shù)學(xué)描述，建立如下坐標系：

(1)慣性坐標系Oi-XiYiZi：該坐標系中心定義為航天器質(zhì)心，三軸指向在慣性空間保持不變。這里需要指出，本課題所述的慣性空間采用與空間機械臂研究方式類似的定義模式，認為提供軌道運動的向心力與萬有引力完全一致，從而將多體系統(tǒng)在質(zhì)心附近的位置姿態(tài)運動與軌道運動完全解耦處理。不考慮航天器系統(tǒng)本身在太空中所受到的軌道運動和萬有引力。即假設(shè)航天器是一個自由漂浮狀態(tài)的空間多體系統(tǒng)。

(2)基座衛(wèi)星本體系Ob-XbYbZb：該坐標系中心建立在基座衛(wèi)星質(zhì)心位置，其三軸指向與基座衛(wèi)星固連，并指向基座衛(wèi)星最大、最小慣量軸方向。在任務(wù)場景中，航天器姿態(tài)指向的定義為基座衛(wèi)星本體系Ob-XbYbZb與慣性坐標系Oi-XiYiZi之間的相對姿態(tài)。

(3)天線坐標系Oa-XaYaZa：該坐標系的中心定義在天線質(zhì)心位置，三軸指向與天線系統(tǒng)固連。在任務(wù)場景中，控制系統(tǒng)所測得的天線指向為天線坐標系Oa-XaYaZa與基座衛(wèi)星本體系Oi-XiYiZi的相對姿態(tài)。

圖1 帶有運動天線部件的航天器Fig.1 Spacecraft with movable antenna components

航天器的姿態(tài)機動可以描述為繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的姿態(tài)角φ、?、φ。由基座衛(wèi)星本體系Ob-XbYbZb到慣性坐標系Oi-XiYiZi的坐標變換可以被通過繞三軸的三次旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)，衛(wèi)星在慣性系下的坐標可以表示為:

vi=Rx(-φ)Ry(-?)Rz(-φ)vb

(1)

其中vi為衛(wèi)星在慣性系下的坐標向量，vb為衛(wèi)星在本體系下的坐標向量，Rx、Ry、Rz為3個基本的坐標變換矩陣。而對于天線的指向的表示則更加復(fù)雜，首先需要在慣性系下定義天線指向向量vant_inertial，再通過式(1)將該向量轉(zhuǎn)換到基座衛(wèi)星本體系下：

vant_bd=Rz(φ)Ry(?)Rx(φ)vant_inertial

(2)

再通過單位向量解算得到在基座衛(wèi)星本體系下的二軸天線指向參數(shù)，即天線方位角δ和傾角σ：

(3)

而天線指向機構(gòu)的工作則是控制天線的實際指向跟隨控制需求δ和σ。

對于帶有運動天線的衛(wèi)星系統(tǒng)這種空間多體系統(tǒng)，一般采用拉格朗日動力學(xué)的建模方法：

(4)

上式中，q代表系統(tǒng)廣義自由度狀態(tài)向量，F(xiàn)為系統(tǒng)各自由度所受的廣義力，t為時間變量，L則為拉格朗日量，其具體定義為：

L=T-V

(5)

對于自由漂浮的多體系統(tǒng)，我們往往認為其總重力勢能為0，因此有：

(6)

上式中mi、Ji、ωi和vi分別代表第i個剛體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、相對于慣性系的絕對角速度和線速度，T和V分別代表系統(tǒng)的總動能和總勢能。其中，剛體質(zhì)量和慣量為不隨時間變化的動力學(xué)參數(shù)，而ωi和vi的值可以通過牛頓-歐拉方法求得[9-10]：

(7)

(8)

其中，各個矩陣的定義分別為：

(9)

具體到本文考慮的星載天線多體系統(tǒng)，廣義坐標q應(yīng)該至少包含衛(wèi)星基座的位置姿態(tài)坐標以及天線的方位角，即：

q=(xyzφ?φδσ)T

(10)

式中，x、y、z代表衛(wèi)星基座在慣性系下的位置坐標，φ、?、φ為衛(wèi)星基座三軸姿態(tài)角。通過上式可知，在不考慮其他擾動的情況下，星載天線多體系統(tǒng)的自由度為8個。

2 動力模型的完善

在實際工程應(yīng)用中，由于星載天線多體系統(tǒng)中存在撓性關(guān)節(jié)、天線反射面撓性等擾動影響，多剛體模型不再完全適用，所以需要對動力學(xué)模型加以完善。

2.1 考慮關(guān)節(jié)撓性的影響

撓性關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，由圖中結(jié)構(gòu)可以看出，當實際控制電機轉(zhuǎn)動時，由于電機與臂桿之間的傳動軸具有一定的扭轉(zhuǎn)撓性，會使得傳動軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)形變，從而導(dǎo)致電機的輸出力矩?zé)o法準確地傳遞到臂桿上，而是通過一個類似于彈簧阻尼的系統(tǒng)進行傳遞。這就是撓性關(guān)節(jié)的由來[11]。

圖2 撓性關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Sketch of flexible joint structure

為了準確地表達出臂桿上收到的實際控制力矩，必須考慮傳動軸的彈性勢能，顯然式(9)已經(jīng)不再適用，而使用式(10)中所示的八個自由度不足以對撓性關(guān)節(jié)進行建模，所以，在原有星載天線多體系統(tǒng)動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上增加兩個關(guān)節(jié)自由度。對于撓性關(guān)節(jié)來說，如果將其代入拉格朗日動力學(xué)方程進行完整的推導(dǎo)，那么推導(dǎo)出來的動力學(xué)模型表達式將含有非常復(fù)雜的耦合項，這將使控制器的設(shè)計變得極其困難?？紤]到撓性關(guān)節(jié)的耦合項的復(fù)雜程度，并且對于系統(tǒng)來說耦合項是一個小量，所以實際建模時通常會忽略耦合項[12]，進而得到以下考慮撓性關(guān)節(jié)的星載天線多體系統(tǒng)動力學(xué)模型：

(11)

其中q7,8為兩臂桿的轉(zhuǎn)角，θ1,2為控制兩臂桿轉(zhuǎn)動的兩撓性關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角，J為撓性關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，K為撓性關(guān)節(jié)的剛度矩陣，F(xiàn)(θ)為作用在撓性關(guān)節(jié)上的控制力矩[13]。在此模型框架下，系統(tǒng)的廣義自由度從8維擴展到了10維。由式(11)可知，控制力(矩)無法直接作用在臂桿上，只能通過控制撓性關(guān)節(jié)對臂桿間接進行控制。

2.2 考慮天線撓性的影響

星載天線反射面具有面積大、質(zhì)量小等結(jié)構(gòu)特性，這種結(jié)構(gòu)特性就導(dǎo)致了天線反射面會具有很強的撓性，在天線指向控制的過程中天線反射面的振動會對整個系統(tǒng)造成相當可觀的影響，所以必須對天線反射面撓性加以考慮。由于撓性天線反射面實際結(jié)構(gòu)為一個連續(xù)體，是一個復(fù)雜的無限自由度系統(tǒng)，無法對其動力學(xué)進行分析，所以本文運用假設(shè)模態(tài)法，將天線反射面離散成有限自由度的多自由度系統(tǒng)，并進行適當?shù)哪B(tài)縮減，在保證系統(tǒng)實質(zhì)的同時大幅縮減天線反射面的模態(tài)，進而簡化建模過程[14]。通過有限單元法求得天線反射面的模態(tài)矩陣，取前兩階振動模態(tài)計算[15]。則天線反射面在發(fā)生振動變形后，其質(zhì)心的速度與角速度都會產(chǎn)生偏離：

(12)

其中，ve、ωe為天線反射面質(zhì)心相對于慣性系的絕對速度和角速度。Btran、Brot分別為天線反射面的平動撓性耦合矩陣與轉(zhuǎn)動撓性耦合矩陣。ξ為天線反射面的模態(tài)坐標。相應(yīng)的，系統(tǒng)的總動能會增加含模態(tài)坐標的項，而系統(tǒng)的總勢能變?yōu)閾闲蕴炀€反射面的勢能：

(13)

其中，V為系統(tǒng)的總勢能，K為天線反射面的剛度矩陣?？紤]天線撓性之后依然符合拉格朗日動力學(xué)的形式，可以使用拉格朗日方程進行建模，與原本系統(tǒng)動力學(xué)模型的不同點在于系統(tǒng)的廣義自由度由原來的8維拓展到10維，系統(tǒng)總勢能由原來的0變?yōu)閂，推導(dǎo)可得以下緊湊形式的動力學(xué)模型：

(14)

其中，系統(tǒng)的廣義自由度為

q=(xyzφ?φδσξ1ξ2)T

(15)

2.3 考慮動力學(xué)參數(shù)誤差的影響

考慮到實際工程中往往會出現(xiàn)動力學(xué)模型參數(shù)誤差，所以需要對動力學(xué)參數(shù)誤差進行建模。星載天線動力學(xué)系統(tǒng)所具備的參數(shù)主要包括衛(wèi)星基座質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)心位置、天線安裝位置，以及星載運動天線的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)心位置等?？此品浅７倍?，但是上述所有動力學(xué)參數(shù)在基于拉格朗日動力學(xué)方法的緊湊動力學(xué)推導(dǎo)中都可以寫成矩陣形式：

(16)

上式中，矩陣Me，De，Ce分別為廣義質(zhì)量矩陣、廣義阻尼矩陣和非線性矩陣的誤差值。由于所有動力學(xué)參數(shù)均為定值，因此其誤差也是定值。所以上述3個誤差矩陣實際上也是定值矩陣。在實際操作過程中，由于所有動力學(xué)模型的解算都是基于傳感器所測量的速度、加速度來進行計算的，因此傳感器的隨機誤差同樣會影響到控制器的設(shè)計和精度。

3 星載天線轉(zhuǎn)動控制器設(shè)計

星載天線多體系統(tǒng)作為動力學(xué)參數(shù)已知的系統(tǒng)，可以使用基于計算力矩法的滑?？刂撇呗詫崿F(xiàn)對星載天線的轉(zhuǎn)動控制[16]。利用模型參數(shù)值估計誤差模型與滑?？刂破飨嘟Y(jié)合的方式，進行星載天線轉(zhuǎn)動控制器設(shè)計。

星載天線多體系統(tǒng)動力學(xué)模型如下：

(17)

根據(jù)計算力矩法，設(shè)計如下控制律：

(18)

將式(18)代入式(17)，得閉環(huán)系統(tǒng)方程為：

(19)

(20)

利用星載天線多體系統(tǒng)的如下動力學(xué)特性：

(21)

(22)

(23)

定義

(24)

定義跟蹤控制誤差：

e=qd-q

(25)

其中qd為系統(tǒng)期望的軌跡，取滑模面為：

(26)

其中，Λ為正對角矩陣。則對應(yīng)的李雅普諾夫函數(shù)為：

(27)

對s求導(dǎo)得：

(28)

若設(shè)

(29)

式中d為待設(shè)計向量，其作用為切換項，則式(27)變?yōu)椋?/p>

(30)

選取

(31)

則對李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo)得：

≤-η|s|≤0

(32)

滿足李雅普諾夫穩(wěn)定。

由此得出如下滑?？刂坡桑?/p>

(33)

由于還考慮了關(guān)節(jié)撓性的存在，注意到在動力學(xué)模型里，施加在臂桿上的控制量為0，即只能通過控制撓性關(guān)節(jié)來間接實現(xiàn)對臂桿的控制，因此需要在上述方法的基礎(chǔ)上對控制器系統(tǒng)進行進一步的改進。

由式(11)可知，撓性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角只與連桿轉(zhuǎn)角是耦合的，而與星載天線系統(tǒng)基體的姿態(tài)無關(guān)。即相當于控制力矩只施加在撓性關(guān)節(jié)上，而連桿轉(zhuǎn)角也只與撓性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角有關(guān)，即控制力矩?zé)o法直接作用于連桿上，而是通過控制撓性關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動進而間接控制連桿的轉(zhuǎn)動，此過程構(gòu)成一個標準的反步法，因此可以使用反步法進行控制律設(shè)計。

將式(11)變形為：

(34)

然后令

F7,8=K(θ1,2-q7,8)

(35)

即星載天線系統(tǒng)動力學(xué)模型變?yōu)椋?/p>

(36)

由于在上式中撓性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角僅與連桿轉(zhuǎn)角是耦合的，可通過之前的不含撓性關(guān)節(jié)的模型求解出控制連桿轉(zhuǎn)動需要的控制力矩，即式(35)中的F7,8，再將其代入到撓性關(guān)節(jié)的動力學(xué)方程中，可構(gòu)建一個只含撓性關(guān)節(jié)的子系統(tǒng)：

(37)

即可通過F7,8求解出控制量F(θ)。

對式(37)設(shè)計如下控制律[16]：

(38)

定義Lyapunov函數(shù)

(39)

則對式(39)求導(dǎo)得

(40)

將式(38)代入式(40)得

(41)

V(t)=V(0)e-ηt

(42)

4 數(shù)值仿真

基于以上所有的動力學(xué)模型以及控制算法，分析在不同動力學(xué)模型的情況下控制算法的正確性和可靠性。系統(tǒng)的參數(shù)為：

表1 動力學(xué)參數(shù)Tab.1 Kinetic parameters

以表2中所示算例進行仿真驗證：

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters

(a) 衛(wèi)星基座三軸位置

(b)衛(wèi)星基座三軸姿態(tài)角

(c)天線傾角與方位角

(d)撓性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角

(e)天線振動位移

(f)衛(wèi)星基座三軸位置誤差

(g)衛(wèi)星基座三軸姿態(tài)角誤差

(h)天線傾角與方位角誤差圖3 仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results

5 結(jié) 論

本文研究了考慮復(fù)雜動力學(xué)模型的星載運動天線跟瞄控制問題，利用拉格朗日方法建立動力學(xué)模型，并引入動力學(xué)參數(shù)不確定性，撓性關(guān)節(jié)以及天線反射面撓性對動力學(xué)模型進行了完善。設(shè)計了基于計算力矩法的滑?？刂破鳎_到了比較好的控制效果。