武錦輝， 王 高， 劉 吉

（1.中北大學(xué)儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原030051；2.中北大學(xué)電子測(cè)試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原030051）

0 引言

國(guó)防及工業(yè)生產(chǎn)中，惡劣環(huán)境下的腔內(nèi)溫度測(cè)量如發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室、鍋爐爐膛、熱流管道等無(wú)法直接進(jìn)行。這些測(cè)溫應(yīng)用由于測(cè)試條件惡劣、溫度高、變化快并伴有高壓或高速氣流流動(dòng)，常為不可重復(fù)的一次過(guò)程。因此，對(duì)測(cè)溫傳感器提出了更為苛刻要求。

傳統(tǒng)的接觸式測(cè)試方法需破壞整體結(jié)構(gòu)或增加附加測(cè)溫組件，且存在安裝困難、測(cè)量位置單一、材料抗高溫性能要求高等問(wèn)題［1-3］；而非接觸式如超聲測(cè)量法、紅外測(cè)溫法［4-6］無(wú)法直接測(cè)量?jī)?nèi)部溫度，也需要通過(guò)測(cè)量外表溫度來(lái)內(nèi)推腔內(nèi)溫度。另外，如航空發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室、熱電鍋爐、鋼企高爐爐膛由于溫度高、變化快等原因，傳統(tǒng)的單點(diǎn)測(cè)量溫度方法達(dá)不到實(shí)際的需求［7］，為獲取內(nèi)腔溫度必須深入分析殼體材料的熱傳遞過(guò)程。

本文按照熱力學(xué)和彈性力學(xué)理論將鋼質(zhì)薄板材料看作封閉系統(tǒng)，并且要求材料均勻、連續(xù)，各個(gè)方向上的力學(xué)性質(zhì)相同?；谝陨弦?guī)定建立鋼質(zhì)薄板熱變形固體物態(tài)方程，即建立薄板溫度與幾何、力學(xué)等參量之間的函數(shù)關(guān)系方程式，解決目前熱變形模型分析按照傳統(tǒng)方法無(wú)法求解的問(wèn)題，并對(duì)薄板的熱變形過(guò)程進(jìn)行仿真驗(yàn)證，分析了恒定溫度場(chǎng)與薄板受熱應(yīng)變的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

1 熱變形理論分析

物體的受熱變形有彈性變形和塑性變形，一般裝備正常運(yùn)行為彈性變形。研究物體彈性的受力變形，首先如下假設(shè)：被研究物體是滿足Hooke定律即應(yīng)變和應(yīng)力成比例；研究彈性體是均勻、連續(xù)、各向同性，材料彈性模量相同且彈性體的位移／變形遠(yuǎn)小于本體尺寸［8］。然后，結(jié)合靜態(tài)力學(xué)Navier方程（平衡方程）、Cauchy方程（幾何方程）、物理學(xué)應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系理論建立應(yīng)力與位移（形變）的方程關(guān)系。

彈性體受熱變形時(shí)，彈性體內(nèi)各晶體由于幾何位置的不同必然會(huì)造成受熱溫度的差異，導(dǎo)致熱變形不同。但由于它們之間相互制約，在內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力，也導(dǎo)致了熱彈性體發(fā)生變形。內(nèi)部結(jié)構(gòu)隨著溫度的升高發(fā)生膨脹，根據(jù)熱傳導(dǎo)理論作用在彈性體上的溫度場(chǎng)分布，研究溫度場(chǎng)的分布情況，獲取彈性體的應(yīng)力。

假設(shè)理想熱變形溫度場(chǎng)為均勻的，且彈性體材料各向同性，彈性體上的溫度受熱均勻，從應(yīng)用廣義Hooke定律公式可以表示彈性體內(nèi)溫度變化和應(yīng)力共同作用引起的應(yīng)變［9］。根據(jù)廣義Hooke定律、幾何方程、平衡方程，可以消去應(yīng)變和應(yīng)力量，獲得位移量和溫度表示的熱變形方程［10-11］。如果要求出熱變形位移關(guān)系，必須獲取溫度分布數(shù)據(jù)后求解微分方程。但該微分方程在力學(xué)求解過(guò)程中，除去一些特殊情況外，一般很難求出其解［12］。

2 應(yīng)變-溫度模型的建立

2.1 熱應(yīng)變方程的建立

本文研究的熱變形介質(zhì)擬采用厚度為1mm、直徑為50mm的圓盤且徑向固定，均勻溫度場(chǎng)對(duì)金屬薄板單面加熱。熱變形介質(zhì)受熱示意圖如圖1所示。

圖1 熱變形介質(zhì)受熱示意圖Fig.1 Schematic diagram of thermal deformation material heating

根據(jù)實(shí)際介質(zhì)參數(shù)，研究對(duì)象可以看作為圓柱體，具有軸對(duì)稱的特性。因此，可以對(duì)上述一般狀態(tài)平衡方程、幾何方程、物理方程按照軸對(duì)稱原則簡(jiǎn)化。

首先軸對(duì)稱平衡方程，運(yùn)用圓柱坐標(biāo)表示

由于薄板不受外力作用，故有R＝Z＝0，空間軸對(duì)稱物體的平衡方程簡(jiǎn)化。

由于軸對(duì)稱關(guān)系不存在切向位移，物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變分量與位移關(guān)系為

式（2）中，u、ω分別為質(zhì)點(diǎn)沿r（徑）方向和z軸方向的位移。

為了獲得軸對(duì)稱熱彈性體的應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系，按照線性熱應(yīng)力理論，應(yīng)變是溫度變化T和應(yīng)力共同引起的。因此，獲得圓柱坐標(biāo)下軸對(duì)稱對(duì)象的廣義Hooke定律，關(guān)系為應(yīng)力和溫差表示的應(yīng)變關(guān)系。

2.2 熱應(yīng)變方程的求解

計(jì)算軸向和徑向應(yīng)力表達(dá)式，將公式轉(zhuǎn)換為溫差和應(yīng)變表示應(yīng)力的函數(shù)將式（2）代入式（4），就得到了位移和溫差表示應(yīng)力的關(guān)系式

其中，徑向位移、軸向位移和溫度均為r和z的函數(shù)， 可以表示為u（r，z）、ω（r，z）和T（r，z）。

由于圓盤厚徑比非常小，在彈性力學(xué)中可以近似為平面問(wèn)題。因此，徑向位移和軸向位移函數(shù)可以近似為

根據(jù)設(shè)計(jì)的初始溫度場(chǎng)條件，溫度場(chǎng)對(duì)圓盤為單面均勻加熱。因此，在薄板的兩面形成兩個(gè)不同的溫度場(chǎng)。定義未加熱面初始溫度為T0，溫度函數(shù)關(guān)系可以表示為

式（8）中，k為薄板的熱傳導(dǎo)系數(shù)。

將式（5）的應(yīng)力表達(dá)式代入式（1）得到兩個(gè)方程， 并將式（6）、 式（7）、 式（8）代入求解位移函數(shù)u（r，z）和ω（r，z）中， 得

式（9）中，C1、C2、C3、C4為受邊界條件約束的待定系數(shù)，按照r的邊界條件求取待定系數(shù)。當(dāng)r＝0時(shí)， 有

3 金屬薄板的熱變形仿真分析

基于上述熱變形彈性理論分析和數(shù)學(xué)模型的建立，應(yīng)用ANSYS分析圓形金屬薄板受熱狀態(tài)下各點(diǎn)的熱變形和熱應(yīng)力分布。

設(shè)置單元的材料屬性，材料選為結(jié)構(gòu)鋼，如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)鋼熱物理參數(shù)Table 1 Thermophysical parameters of structural steel

3.1 仿真環(huán)境設(shè)置

在ANSYS中建立分析模型，建立xyz坐標(biāo)系。本次仿真模型圓盤為普通鋼板，圓盤的半徑為50mm、厚度為1mm，熱源的半徑設(shè)計(jì)為50mm；溫度加載，環(huán)境溫度設(shè)置為23℃，表面上施加生熱載荷，根據(jù)發(fā)熱器的功率和圓盤的體積計(jì)算得到熱生成為0.25×1010W／m3，空氣的對(duì)流換熱系數(shù)取15W／（m2·℃）。熱源選恒溫源，持續(xù)對(duì)鋼板單面加熱。

3.2 溫度場(chǎng)軸向位移變化

圖2為中心點(diǎn)軸向位移隨時(shí)間變化的曲線圖。其中，徑向位移由于初始條件要求徑向約束，因此在變形過(guò)程中，徑向位移始終圍繞著位移零點(diǎn)振動(dòng)，隨著溫度的上升，振動(dòng)加劇。軸向位移隨著金屬薄板升溫，近似線性增加，位移量與時(shí)間在熱平衡到來(lái)之前成正比。其中，縱坐標(biāo)軸的負(fù)號(hào)僅代表方向熱變形位移方向。由于軸向位移向負(fù)方向延伸，因此表明金屬表面在單面受到溫度場(chǎng)作用的情況下，產(chǎn)生的位移與溫度場(chǎng)方向相反。因此，可以得出以下結(jié)論：金屬薄板在受單面溫度場(chǎng)加熱過(guò)程中，中心點(diǎn)軸向位移隨時(shí)間變化基本上是線性的，變化曲線近似為一條直線，位移隨著時(shí)間的增加而增加，位移的大小與溫度的增加成正比。

如圖3（a）所示，同心圓帶的大小代表節(jié)點(diǎn)的范圍，同心的顏色代表節(jié)點(diǎn)的位移大小和方向，與下面給出的數(shù)據(jù)中各顏色所代表的位移范圍和方向相對(duì)應(yīng)。 從圖3（b）～圖3（d）可以明顯看出， 金屬薄板軸向位移變化后呈中心位移大、邊緣位移小的漏斗狀。圓盤上各節(jié)點(diǎn)以中心點(diǎn)為圓心，不同顏色圓環(huán)區(qū)域?qū)?yīng)各自的位移范圍和方向。從圓心沿徑向圓環(huán)上各節(jié)點(diǎn)的位移逐漸減小，最后一個(gè)條紋位移量為0m。

圖3 溫度與軸向位移關(guān)系Fig.3 Relationship between temperature and axial displacement

溫度場(chǎng)作用下最終的節(jié)點(diǎn)沿軸向截面位移變化曲線如圖4所示。從圖4中可以看出，圓盤中心點(diǎn)軸向位移最大，最大直徑處位移為0m，圓盤中間節(jié)點(diǎn)位移量的變化呈現(xiàn)拋物線狀。該變化曲線滿足應(yīng)變-溫度模型公式所示的二次方程，將該仿真結(jié)果代入公式可求得與仿真結(jié)果一致的二次方程關(guān)系式。計(jì)算該仿真模型溫度應(yīng)變關(guān)系式得

圖4 最終溫度場(chǎng)下軸向位移變化曲線Fig.4 Change curve of axial displacement in the final temperature field

比較50℃、75℃、100℃時(shí)中心點(diǎn)軸向位移理論模型計(jì)算數(shù)據(jù)與ANSYS仿真結(jié)果，如表2所示。

表2 軸向位移模型計(jì)算數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果比較Table 2 Comparison between calculated data of axial displacement model and simulation results

由表2可知，應(yīng)變溫度關(guān)系模型得到的結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致，為下一步采用散斑干涉或其它微位移測(cè)量方法進(jìn)一步驗(yàn)證提供了理論依據(jù)。

4 結(jié)論

在深入研究溫度場(chǎng)、熱傳導(dǎo)、熱變形彈性和熱彈性熱變形理論的基礎(chǔ)上，本文提出了求解單軸面溫度場(chǎng)對(duì)金屬圓盤加熱變形分析。利用熱彈性力學(xué)平衡方程、幾何方程、物理方程，按照軸對(duì)稱原則建立了金屬圓盤熱變形與溫度場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型，得到薄板軸向位移與溫度的函數(shù)關(guān)系。為驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的有效性，利用ANSYS軟件對(duì)結(jié)構(gòu)鋼材料（厚度為1mm，直徑為50mm）圓盤進(jìn)行了有限元計(jì)算仿真。根據(jù)仿真結(jié)果與數(shù)學(xué)模型計(jì)算數(shù)據(jù)的比較，數(shù)學(xué)模型建立的溫度為自變量的位移函數(shù)符合仿真結(jié)果，上述理論為實(shí)際激光散斑干涉測(cè)溫、紅外表面測(cè)量等非破壞性內(nèi)推溫度計(jì)算提供了可行性依據(jù)。