張建科, 王 源，魏至柔

(1.西安郵電大學 理學院， 陜西 西安 710121； 2.南京理工大學 化工學院， 江蘇 南京 210094)

分數階微分方程在流體力學、黏彈性力學、生物數學、分數控制系統(tǒng)以及物理學等領域得到了廣泛應用，但大多數問題很難得到解析解。目前的近似解析方法包括：同倫擾動法(HPM)[1]、李群方法[2]、變分迭代法(VIM)[3]、同倫變換[4]、同倫漸近法[5]、G′/G展開法[6]、多項式最小二乘法[7]、有限差分法[8]等。本文將采用殘差冪級數法(RPSM)[9]求分數階Rosenau-Haynam方程的近似解析解，這是一種基于分數階冪級數展開的分析方法，已被成功應用于多種分數階微分方程。

分數階Rosenau-Haynam方程如下：

(1)

初始條件為

(2)

其中u=u(x,t)，α(0<α<1)是微分階數參數，t是時間，x是空間坐標。

當α=1時，方程精確解：

(3)

1 殘差冪級數法

定義1[10-11]給定連續(xù)函數f(t),設n是大于等于α(α≥0)的最小整數，則Caputo分數階導數定義為

定理1[12]通過Caputo分數階導數，可得：

定義2[13-14]當n-1<α≤n，t≥t0時，冪級數展開式為

稱之為在t=t0時的分數階冪級數，其中cm是一個常數，為冪級數的系數。

定理2[13]設f表示t=t0時分數階冪級數的展開形式，則f(t)為

若Dmαf(t)∈(t0,t0+R),m=0,1,2,…，則分數階冪級數展開式的系數cm為

其中R是收斂半徑。

定義3[14]當n-1<α≤n，t≥t0時，冪級數展開式為

稱之為t=t0時的廣義分數階冪級數。其中t是變量，fm是關于x的函數。

定理3[13-14]假設u(x,t)在t=t0時的廣義分數階冪級數展開式為

(4)

則分數階冪級數展開式可被寫為

定義u(x,t)的冪級數展開式的前i+1項和ui(x,t)為

(5)

該展開式為式(1)的近似解。

如果t=0,u(x,0)=f0(x),基于式(1)的基礎上定義第i個殘差函數為

(6)

為了得到fn(x),令：

2 殘差冪級數法計算分數階Rosenau-Haynam方程

本文中Rosenau-Haynam方程的初始條件是式(2)，α=1時精確解是式(3)，第i個殘差函數Resi(x,t)如式(6)。

第一步，令i=1，則分數階Rosenau-Haynam方程為

將i=1代入式(5)得：

則：

第二步，令t=0,則：

且：

則：

第三步，依照上法：

令：

因此,分數階Rosenau-Haynam方程的三項近似解為

3 結果分析

使用殘差冪級數法計算了分數階Rosenau-Haynam方程的近似解析解。在表1—表3中對x和t分別取與文獻[1]相同的值以便與之比較。

表1 當α=1時殘差冪級數法的絕對誤差

表1中，在相同的x、t之下令α=1、c=0.5，求方程的精確解和近似解，絕對誤差如表中所示?？梢钥闯鲈趚不變的條件下t越大，誤差越大；在t不變的條件下x越大，誤差越小。

表2 殘差冪級數法與變分迭代法絕對誤差對比

表2中，在相同的x、t下令α=1、c=0.5，在展開相同的項數條件下，將殘差冪級數法求得的誤差與文獻[1]中給出的變分迭代法三項近似解的表達式求得的誤差進行了比較，由表中看出殘差冪級數法求得的誤差更小、精度更高。

表3 不同α與x對三項殘差函數值的影響

表3中，得到三項殘差函數Res3(x,t)的值。如果t和α的值是固定的，則Res3(x,t)的值隨著x的增加而增大。當Res3(x,t)的值接近0時，近似解接近精確解。

4 結 論

利用殘差冪級數法求解分數階Rosenau-Haynam方程的解析解，并通過表的方式展現出解的精度，在相同條件下與變分迭代法(VIM)做了比較。結果表明殘差冪級數法所得的解更接近精確解，是求解分數階Rosenau-Haynam方程近似解析解的一種有效方法。