孫 凱，肖梅玲，張菊輝，劉守順，羅 賢

（1. 云南大學(xué) 建筑與規(guī)劃學(xué)院，昆明 650504；2. 上海理工大學(xué) 環(huán)境與建筑學(xué)院，上海 200093）

1959 年，Housner[1]給出了第一條設(shè)計(jì)反應(yīng)譜，關(guān)于反應(yīng)譜理論的研究逐漸發(fā)展，目前世界上很多國(guó)家用反應(yīng)譜理論來進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。我國(guó)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范[2]中用反應(yīng)譜理論來確定地震作用，但不同地區(qū)收集到的地震記錄有很大區(qū)別，這說明不同地區(qū)的工程地質(zhì)環(huán)境有很大差異[3-4]。因此，如果按照目前抗震規(guī)范提出的反應(yīng)譜進(jìn)行設(shè)計(jì)會(huì)對(duì)工程結(jié)構(gòu)物的抗震設(shè)計(jì)造成影響。Mohraz[5]研究發(fā)現(xiàn)場(chǎng)地對(duì)反應(yīng)譜的形狀有較明顯的影響，且反應(yīng)譜的中長(zhǎng)周期段在軟弱場(chǎng)地上會(huì)出現(xiàn)顯著的放大效應(yīng)。有學(xué)者提出[6-7]目前設(shè)計(jì)譜中出現(xiàn)的這些問題要通過研究不同地震動(dòng)反應(yīng)譜的統(tǒng)一性才能有望取得較好的結(jié)果。肖梅玲等[8]通過對(duì)瀾滄—耿馬地震記錄分析發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)反應(yīng)譜的拐點(diǎn)周期與抗震規(guī)范使用的拐點(diǎn)周期有很大的差別。周云等[9]提出了考慮地震動(dòng)三要素和結(jié)構(gòu)阻尼的三段式簡(jiǎn)化能量譜，但所涉及的參數(shù)確定較復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用。趙培培等[10-11]通過提出的差分進(jìn)化算法對(duì)川滇甘陜地區(qū)的強(qiáng)震記錄進(jìn)行設(shè)計(jì)反應(yīng)譜特性研究，但該算法對(duì)于標(biāo)定的參數(shù)取值存在局限性。陳清軍等[12]采用美國(guó)場(chǎng)地的地震記錄對(duì)線彈性單自由度系統(tǒng)進(jìn)行分析得到了三段式的簡(jiǎn)化能量譜。但這些研究所用的地震記錄沒有針對(duì)云南的場(chǎng)地，且反應(yīng)譜形式及參數(shù)確定較復(fù)雜，不便使用。

本文根據(jù)永勝地震動(dòng)記錄，利用三參數(shù)Weibull分布對(duì)反應(yīng)譜的拐點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，根據(jù)得到的拐點(diǎn)期望值進(jìn)行設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的研究，提出了四段式的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜公式，即第一段為直線上升段，第二段為極大平穩(wěn)段，第三段為指數(shù)衰減段，第四段為極小平穩(wěn)段，最后與實(shí)際地震動(dòng)反應(yīng)譜進(jìn)行誤差分析以驗(yàn)證模型。

2001 年10 月27 日 云 南 永 勝 縣（100°34′E，26°14′N）發(fā)生震級(jí)為Ms 6.0，震源深度為15 km 的地震。本文收集100 條該次地震的余震記錄，主要余震深度范圍為5～9 km，地震記錄收集地區(qū)上部覆蓋層平均厚度大于40 m。

1 實(shí)際速度反應(yīng)譜分析

1.1 速度反應(yīng)譜

通過求解線彈性單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程可得到其相對(duì)速度反應(yīng)[4]：

式中： t為持時(shí)； τ為延時(shí)； ω為體系自振角頻率；ωd為 有阻尼的體系自振角頻率； ξ為體系阻尼，取0.05； x¨g是 地面加速度；x˙(t)是結(jié)構(gòu)的相對(duì)速度。

速度反應(yīng)譜為

PGV 為地面運(yùn)動(dòng)的加速度峰值，因此計(jì)算V/PGV 可得設(shè)計(jì)反應(yīng)譜，本文選取的反應(yīng)譜曲線周期為6 s。

1.2 V/PGV 的特征點(diǎn)選取

本文把收集到的地震動(dòng)記錄分為兩類，分類標(biāo)準(zhǔn)是綜合V/PGV 譜值范圍及V/PGV 峰值對(duì)應(yīng)周期范圍兩個(gè)指標(biāo)，分類情況如表1 所示。

表 1 地震動(dòng)反應(yīng)譜分類情況Tab.1 Classification of seismic response spectrums

本文取第I 類、第II 類地震動(dòng)記錄的反應(yīng)譜各50 條，分別對(duì)統(tǒng)計(jì)到的第I、第II 類反應(yīng)譜進(jìn)行拐點(diǎn)選取[2]，第一、第二、第三及第四拐點(diǎn)選取如圖1 所示，此處從兩類反應(yīng)譜中隨機(jī)各挑選一條反應(yīng)譜進(jìn)行拐點(diǎn)選取示意。

第一拐點(diǎn)為直線上升段與極大平穩(wěn)段交接處，第二拐點(diǎn)為極大平穩(wěn)段與指數(shù)衰減段的交接處，第三拐點(diǎn)為指數(shù)衰減段與極小平穩(wěn)段交接處，第四拐點(diǎn)為極小平穩(wěn)段至6 s 周期處。對(duì)兩類反應(yīng)譜曲線上的4 個(gè)拐點(diǎn)群分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到特征拐點(diǎn)分布圖。

圖 1 拐點(diǎn)選取示意圖Fig.1 Selection of inflection points

1.3 V/PGV 拐點(diǎn)統(tǒng)計(jì)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]建議的三參數(shù)Weibull 分布，其函數(shù)表達(dá)式為

式中： μ為位置參數(shù)； η為尺度參數(shù)； β為形狀參數(shù)； θ表示任意特征拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)（周期T）或縱坐標(biāo)（速度V）。

式（3）中3 個(gè)參數(shù)用概率權(quán)重矩估計(jì)法可得

式中，M1,0,0，M1,0,1及M1,0,3為每個(gè)拐點(diǎn)群的概率權(quán)重矩，這3 個(gè)概率權(quán)重矩可由以下公式求得：

由K-S 檢驗(yàn)可以查出顯著水平α 上的臨界值 Dαn，其中Dn是統(tǒng)計(jì)參數(shù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，若Dn＜Dαn，則所擬合的Weibull 分布函數(shù)可接受。

2 V/PGV 譜拐點(diǎn)特征

2.1 第I 類反應(yīng)譜拐點(diǎn)

把50 條第I 類反應(yīng)譜的第一、第二、第三及第四拐點(diǎn)分別取出，可以得到4 個(gè)特征拐點(diǎn)群的分布圖，如圖2 所示。

圖 2 第I 類反應(yīng)譜特征拐點(diǎn)群的分布Fig.2 Distribution of characteristic inflection point groups in the first kind of response spectrums

根據(jù)圖2 可以得到第I 類反應(yīng)譜各拐點(diǎn)的分布情況如表2 所示，可以看出第一、第二及第四拐點(diǎn)的周期值較集中，分別集中于0.5，1.5，6 s，而三者V/PGV 譜值較分散。第三拐點(diǎn)的周期值較分散而其V/PGV 譜值集中于1.0。

可知當(dāng)結(jié)構(gòu)周期小于T1時(shí)，在地震作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的放大反應(yīng)隨結(jié)構(gòu)周期的增加而增大；地震作用對(duì)自振周期處于（T1，T2）的結(jié)構(gòu)影響穩(wěn)定，該區(qū)間段的結(jié)構(gòu)放大效應(yīng)相同；地震對(duì)自振周期處于（T2，T3）結(jié)構(gòu)影響較大；由（T3，6 s）段的分布情況可知，自振周期處于該區(qū)間的長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)的作用下放大反應(yīng)較弱。

用三參數(shù)Weibull 分布來分析所選取拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)是否可接受，并求其期望。由表3可得反應(yīng)譜拐點(diǎn)符合三參數(shù)Weibull 分布，則第I 類設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的4 個(gè)拐點(diǎn)坐標(biāo)分別為[0.477 s,1.81]，[1.495 s, 2.02]，[3.388 s, 0.99]，[6 s, 0.91]。

表 2 第I 類實(shí)際反應(yīng)譜拐點(diǎn)分布情況Tab.2 Distribution of inflection points of the first kind of actual response spectrums

表 3 第I 類設(shè)計(jì)反應(yīng)譜拐點(diǎn)坐標(biāo)分析Tab.3 Inflection point coordinate analysis of the first kind of design response spectrums

2.2 第II 類V/PGV 反應(yīng)譜拐點(diǎn)

把50 條第II 類反應(yīng)譜的各個(gè)拐點(diǎn)群分別取出，得到4 個(gè)特征拐點(diǎn)群分布圖，如圖3 所示。

根據(jù)圖3 可得第II 類反應(yīng)譜各拐點(diǎn)的分布情況如表4 所示，也可以看出第一、第二及第四拐點(diǎn)的周期值較集中，分別集中于0.4，1.1，6 s，而三者V/PGV 譜值較分散。第三拐點(diǎn)的周期值較分散，而其V/PGV 譜值集中于0.6。

同樣可得第II 類反應(yīng)譜的特征趨勢(shì)與第I 類反應(yīng)譜的趨勢(shì)相同，下面用三參數(shù)Weibull 分布來分析所選取拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)是否可接受，并求其期望。由表5 可得第II 類設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的4 個(gè)拐點(diǎn)坐標(biāo)為[0.407 s,1.49]，[1.073 s, 1.48]，[2.406 s, 0.68]，[6 s, 0.62]。

圖 3 第II 類反應(yīng)譜各個(gè)拐點(diǎn)的分布Fig. 3 Distribution of inflection points of the second kind of response spectrums

表 4 第II 類實(shí)際反應(yīng)譜拐點(diǎn)分布情況Tab.4 Distribution of inflection points of the second kind of actual response spectrums

表 5 第II 類設(shè)計(jì)反應(yīng)譜拐點(diǎn)坐標(biāo)分析Tab.5 Inflection point coordinate analysis of the second kind of design response spectrums

3 設(shè)計(jì)反應(yīng)譜研究

3.1 設(shè)計(jì)反應(yīng)譜擬合分析

根據(jù)第I、第II 類反應(yīng)譜的拐點(diǎn)，把反應(yīng)譜分為4 段（見圖4）。T1為直線上升段拐點(diǎn)，T2是平穩(wěn)段拐點(diǎn)，T3是曲線衰減段拐點(diǎn)。運(yùn)用最小二乘法對(duì)第一、第二、第四區(qū)間段進(jìn)行線性擬合，對(duì)第三區(qū)間段進(jìn)行指數(shù)衰減擬合，得到本文建議的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。

圖 4 設(shè)計(jì)反應(yīng)譜與實(shí)測(cè)地震動(dòng)反應(yīng)譜Fig.4 Design and measured ground motion response spectrum

圖4 可以看出，通過設(shè)計(jì)反應(yīng)譜能較直觀地得到不同周期結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的放大效應(yīng)。圖4（a）中的極大平穩(wěn)段是一條斜率不為0 的線段，即第二個(gè)特征拐點(diǎn)周期對(duì)應(yīng)的反應(yīng)較第一特征拐點(diǎn)周期對(duì)應(yīng)的V/PGV 值較大，說明在地震記錄樣本獲取地區(qū)，結(jié)構(gòu)自振頻率與場(chǎng)地卓越周期相近時(shí)結(jié)構(gòu)反應(yīng)最大。圖4（b）中極大平穩(wěn)段的直線段通過分析還是一條水平段。本文建議的設(shè)計(jì)譜研究方法，不同于以往反應(yīng)譜研究方法的是反應(yīng)譜中最大的平臺(tái)段不一定為水平直線段，可以根據(jù)各地區(qū)實(shí)際地震動(dòng)記錄來確定最大平臺(tái)段的斜率。

本文提出的速度設(shè)計(jì)反應(yīng)譜為

式中：V/PGV 為任意周期下由設(shè)計(jì)反應(yīng)譜得到的放大系數(shù)值；是直線上升段拐點(diǎn)值；是極大平穩(wěn)段拐點(diǎn)值；是曲線衰減段拐點(diǎn)值；是極小平穩(wěn)段結(jié)束點(diǎn)（即周期為6 s 處的點(diǎn)）的反應(yīng)譜值；α 是衰減段的衰減指數(shù)。

設(shè)計(jì)反應(yīng)譜表達(dá)式中的相關(guān)參數(shù)取值見表6。

3.2 設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的誤差分析

本文對(duì)兩類設(shè)計(jì)反應(yīng)譜與實(shí)際地震動(dòng)反應(yīng)譜進(jìn)行誤差分析，采用擬合優(yōu)度（R2）及均方根誤差（RMSE）來比較。

表 6 設(shè)計(jì)反應(yīng)譜相關(guān)參數(shù)Tab.6 Parameters of design response spectrums

從圖5 可得：在第一區(qū)間段 [0，T1）之間，兩類場(chǎng)地的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜擬合優(yōu)度呈上升趨勢(shì)，均方根誤差呈下降趨勢(shì)，波動(dòng)較??；在第二區(qū)間段[T1，T2）及在第三區(qū)間段[T2，T3）之間，擬合優(yōu)度呈上升趨勢(shì)，均方根誤差呈下降趨勢(shì)，波動(dòng)較大；在第四區(qū)間段[T3，6 s）之間，擬合優(yōu)度基本呈平穩(wěn)趨勢(shì)，兩者均方根誤差基本也呈平穩(wěn)趨勢(shì)。

圖 5 第I，II 類設(shè)計(jì)反應(yīng)譜誤差分析Fig.5 Error analysis of the first and second kind of design response spectrums

第I 類設(shè)計(jì)反應(yīng)譜在1.5 s，即在特征周期T2處，擬合優(yōu)度為0.78，均方根誤差為0.25；第II 類設(shè)計(jì)反應(yīng)譜在1.0 s，即在特征周期T2處，擬合優(yōu)度為0.75，均方根誤差為0.28。由上可知，第I 類、第II 類設(shè)計(jì)反應(yīng)譜在1.5，1.0 s 處的擬合優(yōu)度均較小而均方根誤差較大，說明兩類反應(yīng)譜在對(duì)應(yīng)周期段上的反應(yīng)譜隨機(jī)性較強(qiáng)。

通過本文提供的研究方法對(duì)云南永勝地區(qū)的地震動(dòng)記錄進(jìn)行分析，得到了適用于該地區(qū)且較為可靠的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。

4 結(jié) 論

地震動(dòng)存在隨機(jī)性，本文建議的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜模型通過統(tǒng)計(jì)的方法，找到反應(yīng)譜特征拐點(diǎn)來研究速度設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。通過對(duì)反應(yīng)譜拐點(diǎn)分布的研究得到該類地震動(dòng)的特點(diǎn)，并運(yùn)用最小二乘法對(duì)設(shè)計(jì)反應(yīng)譜分段進(jìn)行擬合得到建議的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。本文研究得到以下結(jié)論：

a. 實(shí)際地震動(dòng)反應(yīng)譜曲線中的幾個(gè)特征拐點(diǎn)符合三參數(shù)Weibull 分布；

b. 該地區(qū)地震動(dòng)對(duì)長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)的影響較小，且當(dāng)結(jié)構(gòu)周期大于一定值以后地震動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響變化不大；

c. 本文提出的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜曲線分為4 段，分別是直線上升段、極大平穩(wěn)段、曲線衰減段和極小平穩(wěn)段，且極大平穩(wěn)段與極小平穩(wěn)段不再受限于必須是水平段，根據(jù)各地區(qū)實(shí)際地震記錄利用本文方法可以得到更合理的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。