王康，史賢俊，周紹磊，龍玉峰，孫美美

海軍航空大學，煙臺 264001

經(jīng)典的驗證試驗設(shè)計、參數(shù)估計與檢驗方法主要以大樣本試驗為前提而開展的，但是對于導彈這類高精度武器系統(tǒng)而言，由于其高昂的造價致使投入使用的樣機較少，試驗周期較長，導致實際開展驗證試驗時樣本量受到小子樣條件限制[1]。

隨著試驗方法的多樣化、系統(tǒng)仿真技術(shù)的成熟化，使得在驗證試驗開展前具備多源先驗信息，包括同類武器系統(tǒng)的歷史試驗信息、專家基于武器裝備水平認知的經(jīng)驗信息及預(yù)計信息、武器裝備研制過程中各層級的試驗信息及仿真試驗信息等[2]?？梢?，多源信息融合技術(shù)的運用就成為基于小子樣條件下驗證試驗的核心環(huán)節(jié)。

由于Bayes方法能夠充分運用各種已有的先驗信息，可在小子樣條件下對導彈等高精度復(fù)雜裝備系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷做出可信度較高的估計，故Bayes方法在不同工程領(lǐng)域(如可靠性[3]、維修性[4]以及測試性[5]等)、不同的應(yīng)用背景(如驗證試驗設(shè)計[6]、參數(shù)估計[7]與檢驗[8]等)中得到了廣泛的應(yīng)用。

在Bayes方法的驗證試驗設(shè)計方面，通過在序貫試驗設(shè)計方案中引入Bayes方法來融合相關(guān)先驗信息，得到了國內(nèi)外廣大研究者的青睞?？紤]簡單假設(shè)條件，文獻[9]基于成功率序貫抽樣方法，將產(chǎn)品研制階段獲得的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為等效的實際數(shù)據(jù)，利用貝葉斯統(tǒng)計公式將等效的實際數(shù)據(jù)融合為真實的驗證測試數(shù)據(jù)，能有效地降低現(xiàn)場驗證試驗樣本量；文獻[10]基于二項分布模型推導了Bayes截尾序貫概率比檢驗(SPRT)方法，證明該方法能充分運用先驗信息，得到其平均試驗樣本量優(yōu)于傳統(tǒng)SPRT方法，適合于小子樣條件下的驗證試驗設(shè)計。考慮復(fù)雜假設(shè)條件，文獻[11]充分結(jié)合SPRT方法和Bayes方法的優(yōu)點，提出一種序貫驗后加權(quán)檢驗(SPOT)方法，能充分運用先驗信息，達到減少驗證試驗樣本量的目的；文獻[12]針對二項分布模型的測試性驗證試驗方案的制定，利用SPOT方法通過序貫后驗概率比和決策閾值實現(xiàn)樣本量的動態(tài)判決，在相同約束參數(shù)下證明SPOT方法的實際樣本量要優(yōu)于SPRT方法，達到減少樣本量的目的。無論是考慮簡單假設(shè)亦或復(fù)雜假設(shè)，均未能考慮原假設(shè)和備擇假設(shè)間的模糊參數(shù)空間，當實際指標值位于模糊參數(shù)空間時會導致較高的誤判率，所需樣本量也會相應(yīng)增加。

針對模糊參數(shù)空間的處理問題，文獻[13]以導彈命中概率為研究對象，通過MSPOT方法有效考慮了最低可接受值和設(shè)計指標值之間的模糊參數(shù)空間處理問題；文獻[14]提出了多簡單假設(shè)的MSPRT方法，并考慮了先驗信息，研究了試驗風險與試驗樣本量期望值的估計方法。以上分別針對多簡單假設(shè)和多復(fù)雜假設(shè)條件下的模糊參數(shù)空間的問題，但未能將序貫試驗設(shè)計的具體過程作為研究重點，同時未能充分運用多源先驗信息。

鑒于此，綜述相關(guān)文獻，一方面目前融合先驗信息的序貫試驗設(shè)計方案未能在測試性驗證領(lǐng)域得到充分應(yīng)用，另一方面現(xiàn)有研究測試性驗證試驗設(shè)計的文獻亦未能考慮測試性指標之間的模糊參數(shù)區(qū)間以及多源先驗信息的問題。針對模糊參數(shù)空間的問題，本文以測試性承制方要求值和使用方要求值構(gòu)建三參數(shù)空間復(fù)雜假設(shè)，并基于Bayes方法研究序貫試驗設(shè)計的具體過程，包括決策因子和決策閾值的確定，以及基于Bayes理論研究序貫決策規(guī)則；針對多源先驗信息的問題，本文以測試性指標構(gòu)成的參數(shù)空間為辨識框架，基于D-S證據(jù)理論融合測試性專家信息以及測試性試驗數(shù)據(jù)。兩者結(jié)合起來，提出一種基于優(yōu)化SPOT和D-S證據(jù)理論的測試性驗證試驗方案(下稱優(yōu)化DS-SPOT方案)，在保證測試性驗證樣本充分性和試驗結(jié)果置信度的同時，旨在充分利用先驗信息解決工程應(yīng)用中測試性驗證試驗受費用的限制性和故障樣本量注入的困難性，期使在實際工程應(yīng)用中達到優(yōu)化驗證試驗樣本、縮短試驗周期，降低試驗費用的問題。

1 問題描述

設(shè)p0為承制方測試性水平要求值，p1為使用方測試性水平要求值(p0>p1)，則測試性指標參數(shù)空間Θ可以劃分為3部分Θ={Θ0,Θ1,Θ2}，其中Θ0={p:p≥p0}，Θ1={p:p1

(1)

同時假設(shè)n次測試性驗證試驗結(jié)果序貫序列表示為X={X1,…,Xi,…,Xn}，Xi={0,1}，Xi=1表示驗證試驗成功，Xi=0表示驗證試驗失敗，記c為n次試驗結(jié)果序貫序列中Xi=0的個數(shù)，即表示累積驗證失敗次數(shù)。在采用Bayes方法進行統(tǒng)計分析時，通過武器系統(tǒng)歷史試驗信息以及裝備各層級試驗信息等得到測試性指標的先驗分布為π(p)，結(jié)合序貫序列X可以得到驗后分布π(p|X)，則傳統(tǒng)SPOT方法給出的序貫后驗概率比可表示為[15]

(2)

根據(jù)On(X)和決策常數(shù)A和B的動態(tài)比較即可完成測試性驗證試驗的接收/拒收判定，決策常數(shù)A和B可表示為[15]

(3)

問題2兩假設(shè)的復(fù)雜假設(shè)問題僅考慮了測試性指標參數(shù)是否被接收/拒收，當指標參數(shù)p∈Θ1時，兩假設(shè)檢驗問題的驗證方案無法做出判斷，會判給Θ0或者Θ2，直接導致風險απ0和βπ1增加；同時，未能從“小概率事件原理”[16]的角度解釋接受/拒收原假設(shè)，即未能給出接受/拒收原假設(shè)的后驗概率值。

問題3對導彈類高精度武器裝備開展測試性驗證試驗前，其研制階段存在專家信息以及成敗型試驗信息等多源測試性先驗信息，這些先驗信息反映了裝備在不同研制階段的測試性水平，如何運用這些先驗信息對先驗分布π(p)進行有效補充，并合理制定裝備的測試性驗證方案也是問題之一。

2 優(yōu)化SPOT序貫試驗方案設(shè)計

論文將模糊參數(shù)空間納入假設(shè)檢驗中，構(gòu)造測試性指標的三參數(shù)空間復(fù)雜假設(shè)：

H0:p≥p0，H1:p1

(4)

針對問題1，重新定義各假設(shè)的驗前概率為

(5)

式(5)中π(H0)+π(H1)+π(H2)=1，考慮承制方和使用方要求值間的模糊區(qū)域，保證了指標空間劃分的完備性。

針對問題2，考慮傳統(tǒng)SPOT方法中僅做出接受/拒收判決以及未能從“小概率事件原理”的角度解釋接受/拒收原假設(shè)的問題，制定三參數(shù)空間復(fù)雜假設(shè)的決策規(guī)則，實現(xiàn)對測試性真實指標所屬參數(shù)空間的有效判定。

2.1 三參數(shù)空間的序貫后驗概率

設(shè)測試性指標參數(shù)p的先驗分布服從Beta分布，則有：

(6)

式中：a和b表示先驗分布的超參數(shù)。

根據(jù)驗證試驗序貫序列X={X1,X2,…,Xn}得到的(n,c)值，由Bayes公式可得的后驗分布具備如下形式：

π(p|(n,c))=

Beta(p;a+n-c,b+c)

(7)

則通過式(7)以及式(5)可計算出假設(shè)Hi(i=0,1,2)成立的后驗概率為

(8)

據(jù)此，可以建立三參數(shù)空間復(fù)雜假設(shè)的Bayes序貫檢驗決策規(guī)則。

2.2 三參數(shù)空間的Bayes序貫檢驗決策規(guī)則

1) 決策因子

為了建立Bayes序貫檢驗決策規(guī)則，首先對后驗概率π(Hi|(n,c))進行分析，根據(jù)式(8)有

(9)

基于式(9)給出決策因子的定義為

(10)

從式(10)中可以看出，決策因子Λi(X)相對于傳統(tǒng)SPOT方法的序貫概率比On(X)(見式(2))而言，將待測指標模糊參數(shù)空間的后驗概率融入進來，保證了假設(shè)檢驗問題的完備性。

2) 決策閾值

假設(shè)做出決策接受假設(shè)Hi時，決策因子Λi(X)的閾值上界為Ai，由于序貫驗證試驗過程的動態(tài)性，導致難以確定Ai確切的數(shù)學表達式，同時由式(10)知，π(Hi|(n,c))越大，Λi(X)的值越小，同時π(Hi|(n,c))越大也說明需要更加準確的先驗分布和更充足的實際序貫驗證數(shù)據(jù)，因此確定決策閾值A(chǔ)i對于確定序貫驗證試驗樣本量有著直接的約束作用，進而影響序貫決策的準確性。決策閾值A(chǔ)i越小，相應(yīng)的樣本需求越大，決策結(jié)果越精確。本文基于后驗概率和“小概率事件原理”，通過引入三參數(shù)空間的誤判風險αHi，給出了決策閾值的確定方法，如下：

① 從“小概率事件原理”上而言，當根據(jù)實際序貫驗證試驗數(shù)據(jù)以及先驗分布支持接受假設(shè)Hi成立時，可認為后驗概率π(Hi|(n,c))具備較大的值，以此證明假設(shè)Hi的正確性。因此在接受假設(shè)Hi時，作如下要求：

(11)

式中：αHi表示接受假設(shè)Hi的誤判風險接受值(由承制方和使用方提供)。

② 根據(jù)式(9)和式(10)有

(12)

(13)

3) 決策規(guī)則

通過以上序貫驗證試驗設(shè)計分析，根據(jù)式(10)、式(11)和式(13)的約束要求，則有如下序貫決策規(guī)則：

?i, s.t.Na=infn≥1:

(14)

式中：Na表示序貫停止時的最小樣本量；δ表示決策結(jié)果。

至此，完成了優(yōu)化SPOT方法序貫試驗的設(shè)計過程。

3 D-S證據(jù)理論融合多源先驗信息

針對問題3，導彈裝備在研制階段的測試性信息來源廣泛，包括專家信息以及成敗型試驗信息，而D-S證據(jù)理論在對隨機不確定性問題和認知不確定性問題的表達和處理方面具備較強的能力，本文為合理有效的運用研制階段的測試性多源先驗信息，利用D-S證據(jù)理論融合多源先驗信息，對第2節(jié)序貫驗證試驗方案進一步優(yōu)化。

根據(jù)D-S證據(jù)理論的定義[17]，考慮到測試性指標參數(shù)空間Θ的非空性以及Θ中元素滿足互不相容的條件，因此定義辨識框架為Θ={Θ0,Θ1,Θ2}，在此基礎(chǔ)上針對多源先驗信息構(gòu)建其相應(yīng)的基本信任分配函數(shù)m。

3.1 成敗型試驗信息的基本信任分配函數(shù)

對于歷史成敗型試驗信息(n,c)可視為辨識框架Θ上的一個證據(jù)，根據(jù)第2節(jié)的分析，基于式(8)可以建立該證據(jù)在辨識框架Θ的基本信任分配函數(shù)m1：

(15)

3.2 專家信息的基本信任分配函數(shù)

在導彈武器裝備的研制過程中，測試性領(lǐng)域?qū)＜一谄渥陨韺椦b備測試性水平的認知，能通過不同評估形式[18](區(qū)間估計形式以及單側(cè)置信下限形式)給出導彈裝備測試性水平的評估信息。

(16)

其次，在給定置信度水平γ1下，實現(xiàn)區(qū)間估計形式數(shù)據(jù)[pL,pU]向成敗型數(shù)據(jù)(n′,c′)的折合：

(17)

根據(jù)式(17)將區(qū)間形式的專家信息轉(zhuǎn)化為成敗型數(shù)據(jù)(n′,c′)，據(jù)此構(gòu)建區(qū)間形式的專家信息基本信任分配函數(shù)m21：

(18)

(19)

(20)

根據(jù)式(20)將單側(cè)置信下限形式的專家信息轉(zhuǎn)化為成敗型數(shù)據(jù)(n″,c″)，據(jù)此構(gòu)建區(qū)間估計形式的專家信息的基本信任分配函數(shù)m22：

(21)

3.3 優(yōu)化序貫驗證方案確定

為了確定測試性序貫驗證試驗方案及給出序貫決策結(jié)果δ，根據(jù)序貫判決規(guī)則式(14)，現(xiàn)假設(shè)Na次序貫驗證試驗后作出決策，對應(yīng)的檢測/隔離失敗數(shù)為Ca，將該序貫驗證方案(Na,Ca)視為一個證據(jù)，構(gòu)建其基本信任分配函數(shù)m0：

(22)

(23)

式中：由于對測試性指標進行評估時，一般僅會約定一種形式的專家信息，所以基本信任分配函數(shù)m2表示m21和m22中的任意一種，具體根據(jù)所約定的專家信息的形式而決定。

定理1如果優(yōu)化序貫驗證方案進行到第Na次時(對應(yīng)的檢測/隔離失敗數(shù)為Ca)，滿足以下條件：

?i,s.t.

(24)

則(Na,Ca)為在接受假設(shè)δ=Hi下的一次序貫驗證試驗方案。

證明對m0(Θ1)而言，根據(jù)第2節(jié)所設(shè)計的優(yōu)化SPOT序貫試驗方案，(Na,Ca)為其一次序貫方案，則根據(jù)序貫規(guī)則式(14)，如若接受假設(shè)δ=Hi，則必然存在：

(25)

(26)

(27)

顯然，對于?ε>0，總存在(Na,Ca)使得式(28)成立：

(28)

同時，由于研制信息已知，則研制信息確定的m函數(shù)確定，根據(jù)D-S證據(jù)理論合成公式有

(29)

式中：Mki為常數(shù)。進一步可得：

(30)

4 案例分析

4.1 先驗信息確定

以某型導彈裝備的飛控系統(tǒng)故障檢測率(FDR)為研究對象，待驗證裝備的先驗信息來源于歷史裝備的試驗數(shù)據(jù)。由于歷史裝備已經(jīng)具備較好的測試性水平，待驗證裝備只是在歷史裝備的基礎(chǔ)上增加新的BIT(Build In Test)設(shè)計及測試性設(shè)計。在歷史裝備的測試性驗證試驗中，共注入了82次故障，正確檢測故障78次，未能成功檢測故障4次，采用Hart運用的經(jīng)驗Bayes方法[19]對歷史裝備信息進行處理，即認為歷史裝備的驗證試驗等價于對當前裝備進行了60%次數(shù)的試驗。因此可確定先驗分布滿足：

π(p)=Beta(p;78×0.6,4×0.6)=

Beta(p;46.8,2.4)

(31)

同時，經(jīng)承制方和使用方共同確定，承制方要求值p0=0.95，使用方要求值p1=0.90，雙方風險值α=β=0.1，以及本文為實現(xiàn)三參數(shù)空間的Bayes序貫決策需提供的接受假設(shè)Hi(i=0,1,2)時的誤判風險接受值αHi=0.1。

根據(jù)式(15)和式(21)，可以得到辨識框架Θ上的各先驗信息的m函數(shù)如表1所示。

表1 不同先驗信息的m函數(shù)表Table 1 m function table for different prior information

4.2 測試性驗證方案對比分析

4.2.1 固定抽樣類測試性驗證方案

1)經(jīng)典測試性驗證方案。依據(jù)文獻[21]可得測試性驗證試驗方案為(187,13)，實際的雙方風險為α=0.087 4，β=0.098 1。

2)傳統(tǒng)Bayes測試性驗證方案。確定先驗分布為π(p)=Beta(p;46.8,2.4)，依據(jù)文獻[22]可得傳統(tǒng)Bayes驗證試驗方案為(66,4)，實際的雙方風險為α=0.069 7，β=0.096 2。

4.2.2 序貫類測試性驗證方案

本文對飛控系統(tǒng)進行了2次模擬仿真驗證試驗，以所有方案均作出判決則停止驗證試驗為準則，得到各序貫類試驗的試驗次數(shù)，以及對應(yīng)的檢測失敗數(shù)。

1) SPRT測試性驗證方案。根據(jù)文獻[23]，計算得到閾值上界ASPRT=9，閾值下界BSPRT=1/9，2次模擬仿真驗證如圖1所示。

2) SPOT測試性驗證方案。先驗分布即為π(p)=Beta(p;46.8,2.4)，根據(jù)文獻[24]計算得到閾值上界ASPOT=79.948 7，閾值下界BSPOT=0.060 9。2次模擬仿真驗證亦如圖1所示。

3) 本文方案。決策閾值為A0=A1=A2=1/9，從決策因子角度給出了序貫驗證過程如圖2(a)和圖2(b)所示，圖中分別給出了不融合先驗信息、只融合成敗型信息、只融合專家信息以及同時融合成敗型信息和專家信息的序貫決策曲線，同時也從后驗概率分布角度給出了序貫決策過程，如圖2(c)和圖2(d)所示。

圖1 SPRT和SPOT測試性驗證試驗序貫判決Fig.1 Sequential judgment of SPRT and SPOT testability verification test

不同序貫類方案2次測試性驗證試驗決策情況如表2所示。

4.2.3 結(jié)果分析

1) 結(jié)合表2的序貫決策結(jié)果，分析圖1(a)和圖2(a)可得，不融合先驗信息的優(yōu)化DS-SPOT序貫方案實際所需的樣本量，比SPRT方案略少，而多于SPOT方案，3種序貫方案均優(yōu)于固定抽樣方案，且均接受H0:p≥p0的決策。

2) 分析圖1(b)和圖2(b)可得，不融合先驗信息的優(yōu)化DS-SPOT方案較之SPOT方案需要相對較多的樣本量，這是由于本文方案從后驗概率來描述決策過程，其作出決策時后驗概率為0.901 7，而傳統(tǒng)SPOT方案作出決策時后驗概率為0.758 9，從后驗概率而言本文方法更容易得到使用方的認可。

3) 從圖2(a)和圖2(b)中可以反映出通過證據(jù)理論融合專家經(jīng)驗信息和成敗型信息后優(yōu)化DS-SPOT方案均能在一定程度上減少試驗所需的樣本量，說明專家信息和成敗型信息支持接受對假設(shè)H0的決策，且同時融合專家信息和成敗型信息實際所需序貫樣本量更小，2次驗證試驗所需樣本量均優(yōu)于SPOT方案、SPRT方案。同時，圖2(a)和圖2(b)還反映出通過專家信息和成敗型信息融合后所需樣本量相當，表明二者對于接受對假設(shè)H0的決策具備相當?shù)闹С侄取?/p>

4) 圖2(c)和圖2(d)從后驗概率的角度給出了優(yōu)化DS-SPOT方法的序貫決策過程，表明作出決策時后驗概率的取值情況，便于決策者基于“小概率原理”進行相應(yīng)的決策判斷。

表2 不同序貫方案決策結(jié)果
Table 2 Results of different sequential programs

序貫方案(驗證試驗次數(shù),檢測隔離情況)第1次驗證試驗第2次驗證試驗決策結(jié)果SPRT方案(41,0)(55,1)SPOT方案(23,0)(40,1)優(yōu)化DS-SPOT方案未融合先驗信息(40,0)(68,1)融合成敗型信息(29,0)(56,1)融合專家信息(28,0)(55,1)融合成敗型和專家信息(18,0)(18,0)均接受假設(shè)H0

可見，本文所提優(yōu)化DS-SPOT方案，一方面能很好地融合專家信息和成敗型信息，相應(yīng)地減少試驗樣本量，另一方面能從后驗概率的角度作出決策，解決了傳統(tǒng)SPOT方法作出決策時后驗概率可能不大而使決策難以得到認可的不足。

4.3 平均樣本量

上述對飛控系統(tǒng)的2次模擬仿真驗證試驗以實例的形式表明了優(yōu)化方案的有效性，為了從一般層面上驗證所提方案的有效性，選用序貫類驗證試驗的度量指標—平均樣本量(ASN)，對所提方案進行分析。為了保證不同方法ASN比較的合理性，首先應(yīng)對方法的抽樣特性進行比較，在抽樣特性接近的情況下開展ASN的比較。經(jīng)典驗證方案和傳統(tǒng)Bayes驗證方案是基于二項分布模型的，具備相同抽樣特性函數(shù)[12]，可據(jù)此繪制抽樣特性曲線。SPRT方案抽樣特性和平均樣本量的圖形繪制可通過文獻[25]給出的解析公式進行繪制，而SPOT方案和本文方案的抽樣特性和平均樣本量不具備解析解，采用Monte Carlo仿真的方式進行，具體如下：

步驟1將測試性指標劃p劃分為1 000個離散測試性水平值pi=0.001×i,i=1,2,…,1 000。

步驟2對于劃分的1 000個離散測試性水平值進行N次判決過程試驗。當測試性水平離散值取為pi時，以概率pi隨機生成成敗型試驗數(shù)據(jù)，在第j(j=1,2,…,N)次仿真過程中，可得到作出決策的試驗次數(shù)為Nij，對應(yīng)的檢測失敗次數(shù)為Cij(對于SPOT方案而言決策即為接受或拒收，對于本文方案而言決策為判斷屬于假設(shè)H0，H1或者是H2)；同時，作出決策且判斷為接收時，則pi對應(yīng)的接收判決次數(shù)Tij相應(yīng)加1。

步驟3當測試性水平取值為pi時，對應(yīng)的抽樣特性O(shè)Ci、平均抽樣次數(shù)ASNi和平均檢測失敗次數(shù)ACi可表示為

(32)

事實上，SPOT方案和本文方案可能存在驗證試驗無法決策的情況，此時需要對試驗方案進行截尾，本文均選用固定截尾NT=100，當樣本量達到100而無法進行決策時，2種方法均根據(jù)后驗概率進行決策，選擇不同假設(shè)中后驗概率較大者作為最終決策。

通過上述步驟和約定截尾措施，得到SPRT方案、SPOT方案以及本文方案的抽樣特性、平均樣本量和檢測失敗次數(shù)對比曲線如圖3～圖5所示(本文采用1∶5∶1 000的間隔步長進行繪圖，避免數(shù)據(jù)點密集而圖形辨識度不足的問題)。

圖3 抽樣特性對比曲線Fig.3 Comparison of sampling characteristics curves

圖4 平均樣本量對比曲線Fig.4 Comparison of average sample sizes curves

分析圖3～圖5可以得到以下結(jié)論：

1) 由于在整個FDR的取值區(qū)間[0,1]上，幾種不同方法的OC值大多為0，為使對比更明顯，圖3僅顯示了[0.6,1]區(qū)間內(nèi)的抽樣特性曲線。以經(jīng)典驗證方案的抽樣特性曲線為參考，其余不同方案得到的抽樣特性曲線相對接近。通過圖3中[0.95,1]區(qū)間的局部放大圖，且圖3反映出在相同F(xiàn)DR取值pi下，未融合優(yōu)化DS-SPOT方案OC值較之經(jīng)典驗證方案OC值差距相對最大，但融合專家和成敗型信息方案的OC值與經(jīng)典驗證方案OC值更為接近，這是由于融合信息會增加作出正確決策Tij的次數(shù)，故相應(yīng)的OC值會增加。

2) 圖4和圖5中給出了區(qū)間[0.95,1]的局部放大圖，可以看出在該區(qū)間內(nèi)融合專家信息、融合成敗型信息以及同時融合專家信息和成敗型信息的優(yōu)化DS-SPOT方案較之未融合的方案而言具備更小的平均樣本量和檢測失敗次數(shù)，同時通過計算當前平均樣本量下的后驗概率π(Hi|(ASN,AC))(i=0,1,2)，總有后驗概率π(H0|(ASN,AC))最大，且滿足本文設(shè)計的序貫決策要求，表明了先驗信息對于決策H0具備支持作用，融合能減少接受假設(shè)H0的平均樣本量。

3) 無論是從平均樣本量角度還是從平均檢測失敗數(shù)角度而言，單獨融合成敗型信息和單獨融合專家信息在接受假設(shè)H1和H2時(區(qū)間范圍為(0,0.95))，可能具備比不融合方案更多的平均樣本量和檢測失敗數(shù)，這是由于專家信息和成敗型信息是支持決策H0的，顯然如果要支持對H1和H2的決策則必然需要更多的樣本量，符合實際情況。同時，比較融合成敗型信息的優(yōu)化方案和融合專家信息的優(yōu)化方案，從圖4中反映出融合專家信息的優(yōu)化方案較之融合成敗型信息的優(yōu)化方案具備相對較少的平均樣本量，這說明專家信息對決策H0的支持度要高于成敗型信息，這一點從圖5平均檢驗失敗數(shù)也能得到印證，支持度高的方案等同于驗證試驗開展前提供了相應(yīng)的較多的檢測成功次數(shù)，如果要接受假設(shè)H2，則必然需要更多的檢測失敗數(shù)。

4) 同時融合專家信息和融合成敗型信息的優(yōu)化方案具備比僅融合專家信息、僅融合成敗型信息以及不融合先驗信息方案更少的平均樣本量和平均檢測失敗次數(shù)。在決策域H1和H2上(區(qū)間范圍為(0,0.95))，通過計算后驗概率π(Hi|(ASN,AC))，同時融合兩者可能會使得π(H1|(n,c))≥1-αH1，即判定給模糊參數(shù)空間H1，并能從“小概率事件原理”進行合理解釋，說明裝備測試性水平仍有待提升。這也是造成融合專家信息和成敗型信息后，對于接受假設(shè)H0的支持度提高，而在決策域H1和H2上平均樣本量和平均檢測失敗次數(shù)卻減少的原因。

5) 由于先驗信息對于決策H0的支持，通過對比分析區(qū)間[0.95,1]上本文融合先驗信息的優(yōu)化方案和SPRT方案、SPOT方案，從圖4、圖5來看，不融合先驗信息的優(yōu)化方案不一定具備比SPRT方案和SPOT方案更少的平均樣本量，但是具備更小的后驗概率，能基于后驗概率以及“小概率事件原理”進行決策，同時融合先驗信息能很大程度上減少平均樣本量和平均檢測失敗次數(shù)，當FDR指標值越高，同時融合專家信息和成敗型信息的優(yōu)化DS-SPOT方案具備比SPRT方案、SPOT方案更小的平均樣本量。

6) 分析3種不同融合方式的曲線，能反映出先驗信息對于決策H0的支持度越高，則所需平均樣本量和平均檢測失敗數(shù)越小。由此可見，優(yōu)化DS-SPOT方案所需平均樣本量與先驗信息對于決策Hi的支持程度有關(guān)，如果先驗信息支持作出決策Hi，則所屬決策域所需平均樣本量相對會減少，能幫助測試性驗證試驗更快的進行決策判斷，縮短驗證周期以及控制驗證成本。

5 結(jié) 論

基于對SPOT測試性驗證方案中模糊參數(shù)空間的考慮不足以及未能充分利用研制階段多源先驗信息的問題，本文提出了一種基于優(yōu)化DS-SPOT的測試性驗證方案，具備以下優(yōu)點：

1) 考慮了假設(shè)檢驗問題中的模糊參數(shù)空間，不再是簡單的接收/拒收判決，決策給出測試性指標實際所在的參數(shù)空間，為承制方和使用方提供更合理的參考依據(jù)；考慮了研制階段的多源先驗信息，通過證據(jù)理論對其進行融合，使得裝備研制階段存在的測試性研制信息得到合理的運用。

2) 與固定抽樣方案相比，融合先驗信息的優(yōu)化DS-SPOT方案能根據(jù)實際序貫過程進行判決，且具備比固定抽樣方案小的平均樣本量；與序貫類測試性驗證方案相比，能充分融合多源信息，在先驗信息支持決策的參數(shù)空間內(nèi)具備比SPRT、SPOT方案相對較小的平均樣本量。

3) 隨著先驗信息對所支持決策的參數(shù)空間的支持度提高，相應(yīng)的平均樣本量相應(yīng)減小。

可見，本文所提方案能充分融合多源先驗信息以及考慮承制方和使用方測試性指標間的模糊參數(shù)空間，一方面能有效減少驗證試驗所需樣本量，另一方面能為承制方和使用方提供更加科學、合理的決策結(jié)果。

但是，除了文中進行討論的研究點外，仍有一些問題需要進行進一步的研究：

1) 由于序貫試驗的隨機性，序貫方案的最大樣本量可能無法有效控制，本文給出的固定截尾方案是一種有效形式，但同時也會造成決策風險，下一步應(yīng)當在控制風險的前提下研究更為合理有效的截尾措施。

2) 先驗信息的運用是優(yōu)化DS-SPOT方案的關(guān)鍵一環(huán)，準確的先驗信息有助于提高決策判定的可信度，現(xiàn)有文獻對先驗信息可信度的研究比較多，但不夠系統(tǒng)。因此有必要開展先驗信息納入體系的研究，以保證先驗信息來源和使用的合理性、準確性和便捷性。