楊勝奇，張永存，劉書田

大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024

層合結(jié)構(gòu)是由不同材料屬性的薄片通過某種工藝(如粘接)復(fù)合而成?，F(xiàn)有的層合結(jié)構(gòu)包括纖維增強(qiáng)復(fù)合材料[1-2]、三明治夾層結(jié)構(gòu)[3-4]和鈦合金層合結(jié)構(gòu)[5]等多種形式，具有參數(shù)可設(shè)計(jì)性強(qiáng)、性價(jià)比優(yōu)等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域[6-7]。在層合結(jié)構(gòu)中，通常不同材料之間連接界面的力學(xué)性能最為薄弱。過大的層間應(yīng)力會(huì)導(dǎo)致層合結(jié)構(gòu)損傷破壞，成為其失效的主要形式[8-9]。如纖維增強(qiáng)復(fù)合材料損傷失效有50%以上是分層引起的[10]。因此，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)層合結(jié)構(gòu)的層間應(yīng)力尤為重要。

層合梁是航空航天領(lǐng)域典型的承力構(gòu)件，已經(jīng)發(fā)展了多種分析模型，用于計(jì)算其橫向剪應(yīng)力，從而獲得層間應(yīng)力?，F(xiàn)有的分析模型主要分為3類：等效單層理論[11-12]、分層理論[13-14]和鋸齒理論[15-18]。等效單層理論的計(jì)算效率較高，然而由于無法滿足層間剪應(yīng)力連續(xù)條件，計(jì)算誤差較大。如Timoshenko梁理論預(yù)測(cè)的三明治夾層梁的橫向剪應(yīng)力，計(jì)算誤差高達(dá)351%[18]。理論上，分層理論能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的層間剪應(yīng)力，但所需的計(jì)算量十分龐大。如300層的層合板，每個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)高達(dá)1 803個(gè)[19]。鋸齒理論是在整體高階理論的基礎(chǔ)上添加合適的局部鋸齒函數(shù)構(gòu)造而成的。通常整體理論不超過三階，而鋸齒函數(shù)能夠描述面內(nèi)位移沿厚度方向的鋸齒[20]變化。顯然，如果選擇合適的鋸齒函數(shù)，鋸齒理論只需較少的未知變量就能夠準(zhǔn)確計(jì)算層合結(jié)構(gòu)的橫向剪應(yīng)力，從而很好地兼顧計(jì)算效率和計(jì)算精度，成為當(dāng)前研究的主要方向。

鋸齒理論最早由Lekhnitskii[21]于1935年提出，提出后并未引起重視，直到1986年Murakami鋸齒理論[15]和Di Sciuva鋸齒理論[22]的提出，鋸齒理論才逐漸被認(rèn)可。由于Di Sciuva鋸齒理論能夠預(yù)先滿足層間應(yīng)力連續(xù)條件，得到快速發(fā)展。基于Di Sciuva鋸齒理論，Cho和Oh[23]提出了一種三階鋸齒模型，并將之用于預(yù)測(cè)承受力、熱和電載荷的復(fù)合材料厚板的變形和應(yīng)力。早期的鋸齒理論[15-17,22-23]僅適用于預(yù)測(cè)層數(shù)較少的層合梁和材料屬性差異不大的三明治夾層梁的橫向剪應(yīng)力。2015年，Tessler等[18]基于經(jīng)典的修正鋸齒理論(RZT)，提出了一種混合修正鋸齒理論(RZTM)[24-25]。賀丹和楊萬里[26]應(yīng)用該理論分析了層合梁的彎曲和自由振動(dòng)問題。該理論能夠準(zhǔn)確計(jì)算出材料屬性差異較大的夾層梁的橫向剪應(yīng)力。然而對(duì)于層數(shù)較多的層合梁，預(yù)測(cè)精度較差。常見的T300/QY8911復(fù)合材料的單層厚度為0.12 mm[27]，在實(shí)際的航空結(jié)構(gòu)中，超過25層的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(即厚度超過3 mm)十分常見，如機(jī)翼蒙皮[28]。因此，發(fā)展能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)較多層數(shù)的層合結(jié)構(gòu)橫向剪應(yīng)力的鋸齒理論是非常必要的?；谡w高階鋸齒理論[29]，Wu和Chen[30]提出了一種混合整體高階鋸齒理論(GHZTM)，能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)大多數(shù)的多層厚梁的橫向剪應(yīng)力，然而個(gè)別多層梁橫向剪應(yīng)力預(yù)測(cè)精度稍差(如3層層合梁[30])。另外，該理論的撓度場(chǎng)要求滿足C1連續(xù)，為C1型鋸齒理論，不利于梁?jiǎn)卧臉?gòu)造。早期的鋸齒理論大都是C1型鋸齒理論。2011年，Ren等[31]提出了一種C0型鋸齒理論的構(gòu)造方法，并提出了一種C0板單元。由于C0型鋸齒理論具有計(jì)算效率高，容易在商業(yè)軟件實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，而得到快速發(fā)展。隨后，許多C0型鋸齒理論[32-34]和C0單元[35-38]被提出。Wu等[39]比較了大量的C0和C1型鋸齒理論模型，發(fā)現(xiàn)相比于C1型鋸齒理論C0型鋸齒理論不僅有更高的計(jì)算效率還具有更高的計(jì)算精度。

本文提出了一個(gè)新的線性分段鋸齒函數(shù)，采用Ren等[31]提出的C0型鋸齒理論構(gòu)造方法，建立了一種面向?qū)雍狭航Y(jié)構(gòu)的C0型新鋸齒理論模型。該模型不僅能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)層數(shù)較多的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合梁的橫向剪應(yīng)力，同時(shí)能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)芯層與上下面板材料屬性差異較大的三明治夾層梁的橫向剪應(yīng)力。

1 鋸齒理論描述

鋸齒層合梁理論的位移場(chǎng)可統(tǒng)一表示為

(1)

式中：z為厚度坐標(biāo)；k表示第k層；u0和w0為中面位移；u1為中面法線方向繞y軸的轉(zhuǎn)角,ui為泰勒級(jí)數(shù)展開的高階項(xiàng)；j表示整體部分的階次，如j=1表示整體一階，j=3表示整體三階；uz(x)為鋸齒函數(shù)。

MZZT鋸齒理論[15]的鋸齒函數(shù)可寫為

uz(x,z)=(-1)kζkψ(x)

(2)

式中：ζk為每層z方向的局部坐標(biāo)，ζk=akz-bk,ζk∈(-1,1)，ak=2/(zk+1-zk)，bk=(zk+1+zk)/(zk+1-zk)；ψ(x)為鋸齒轉(zhuǎn)角，度量鋸齒函數(shù)對(duì)沿厚度分布的軸向位移的影響程度。對(duì)于任意x=xa，MZZT鋸齒函數(shù)沿厚度的變化如圖1所示[15]。從圖1和式(2)可知，MZZT鋸齒函數(shù)在層和層交界面處的值，只能從-ψ(xa)和ψ(xa)中選取。此外，該鋸齒函數(shù)不依賴于每層材料的性質(zhì)，無法描述每層材料屬性的變化，導(dǎo)致該理論無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)橫向各向異性的層合梁的變形和應(yīng)力[40]。尤其對(duì)于面板軟夾層硬的夾層結(jié)構(gòu)，其預(yù)測(cè)精度較差[41]。

圖1 MZZT鋸齒函數(shù)[15](三層梁)Fig.1 MZZT zig-zag function[15](for a three-layer beam)

RZT鋸齒理論[18]的鋸齒函數(shù)可寫為

(3)

圖2 不同梁截面處RZT鋸齒函數(shù)[18](3層梁)Fig.2 RZT zig-zag function at different beam sections[18](for a three-layer beam)

2 新鋸齒理論模型

2.1 新鋸齒函數(shù)

新鋸齒函數(shù)為

(4)

2.2 位移場(chǎng)

位移場(chǎng)的整體部分仍取三階，因此，構(gòu)造的初始位移場(chǎng)為

(5)

式(5)中共含有n+6(n為層數(shù))個(gè)未知變量，并且未知量個(gè)數(shù)與層數(shù)相關(guān)。下面推導(dǎo)的目的是消去部分未知量，得到最終位移場(chǎng)。

其次，使用橫向剪應(yīng)力層間連續(xù)條件

(6)

和橫向剪應(yīng)力自由表面條件

(7)

Ku=Au1+Bu3

(8)

u=K-1Au1+K-1Bu3

(9)

式(9)可重寫為

u=C1u1+C3u3

(10)

式中：C1=K-1A，C3=K-1B。

將式(10)代入式(5)中，高階鋸齒理論最終位移場(chǎng)可寫為

(11)

當(dāng)k=1時(shí)：

當(dāng)k=2～n-1時(shí)：

當(dāng)k=n時(shí)：

該理論僅含有4個(gè)與層數(shù)無關(guān)的未知量。不含有橫向位移的一階導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造有限單元時(shí)，僅需滿足C0連續(xù)。

2.3 幾何方程和本構(gòu)方程

對(duì)于線彈性問題，層合梁的幾何方程為

(12)

第k層層合梁的本構(gòu)方程為

(13)

2.4 橫向剪應(yīng)力的預(yù)處理

為了獲得更為精確的橫向剪應(yīng)力，Tessler[24]提出了一種通過局部平衡方程獲得橫向剪應(yīng)力的方法。忽略體力，第k層局部平衡方程可表示為

(14)

將式(14)沿z向積分，并強(qiáng)迫橫向剪應(yīng)力滿足層間連續(xù)條件。橫向剪應(yīng)力可重寫為

(15)

式中：Tb為下表面的橫向剪應(yīng)力。

將式(13)代入式(15)中，可得

(16)

當(dāng)z=zn+1時(shí)，有

Tt(x)=-Tb(x)-CUx

(17)

式中：Tt為上表面的橫向剪應(yīng)力；

由橫向剪應(yīng)力自由表面條件Tt=Tb=0，消去面內(nèi)位移的二階導(dǎo)可得

(18)

將式(18)代入式(16)中，可得橫向剪應(yīng)力表達(dá)式為

(19)

式中：

2.5 Reissner混合變分原理和平衡方程

Reissner混合變分原理假定位移和橫向剪應(yīng)力和橫向法應(yīng)力是相互獨(dú)立。Reissner混合變分原理可以看作Hellinger-Reissner變分原理[42]的特例，可由Hellinger-Reissner變分原理退化得到。Hellinger-Reissner變分原理的總勢(shì)能函數(shù)可表示為

(20)

應(yīng)用拉格朗日乘子法修正式(20)可得

(21)

根據(jù)Reissner的假定，應(yīng)變和應(yīng)力滿足本構(gòu)關(guān)系

(22)

式中：Wc(σij)為應(yīng)變余能密度。

將式(22)代入式(21)中，可得Reissner混合變分原理的總勢(shì)能函數(shù)

ΠR(ui,σij)=

(23)

根據(jù)式(22)，橫向切應(yīng)變和橫向正應(yīng)變可以寫成式(24)的形式[43]

(24)

式中：α=x,y；上標(biāo)a表示由應(yīng)變余能密度得到的橫向應(yīng)變。

將式(24)代入式(23)，并對(duì)式(23)進(jìn)行變分可得

(25)

對(duì)于層合梁，忽略正應(yīng)力，Reissner混合變分原理可寫為

δWe=0

(26)

(27)

其中：L為梁的長度；q為橫向載荷；Tx0和Tz0分別為梁左端的軸向載荷和剪切載荷；TxL和TzL分別為梁右端的軸向載荷和剪切載荷。

式(26)可以寫成

(28)

(29)

將式(12)和式(19)代入式(29)中可得

(30)

將式(30)代入式(19)，可得最終的橫向剪應(yīng)力的表達(dá)式

(31)

將式(12)、式(13)和式(31)代入式(28)中，分部積分可得平衡方程

(32)

和在x=0和x=L處的邊界條件：

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

3 算 例

為了測(cè)試所提出的新鋸齒理論(NZT)的計(jì)算精度和穩(wěn)健性，以層數(shù)較多的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合梁和面板，芯層材料屬性差異較大的三明治夾層梁以及出現(xiàn)分層的非對(duì)稱夾層梁為研究對(duì)象，考慮靜力彎曲特性，給出了上表面承受正弦載荷的簡(jiǎn)支梁和自由端承受集中載荷的懸臂梁的解析解。計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有多種理論的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。具體包括Pagano[44]提出的精確三維彈性解(Exact)，Tahani[45]給出的分層理論解(BLWT)，Tessler等[46]給出的高精度有限元的解(2D-FEM)和混合修正鋸齒理論解(RZTM)[24]，Wu和Chen[30]提出的混合整體高階鋸齒理論解(GHZTM)，Ren等[31]提出的C0型鋸齒理論解(ZZTC-C0)，Han等[47]提出的C0型高階鋸齒理論解(EHOZT)，Oate等[48]給出的二維有限元解(PS)和基于修正鋸齒理論提出的兩節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧慕?，基于?jīng)典鋸齒理論(ZZT)[49]和混合變分原理提出的混合鋸齒理論解(ZZTM)、Reddy梁理論解(Reddy)、一階剪切變形理論解(FSDT)以及基于FSDT和混合變分原理提出的混合一階剪切變形理論解(FSDTM)。

具體的材料參數(shù)如下：

1) 層合梁材料力學(xué)特性[50]

E1=25 GPa,E2=E3=1 GPa,G23=0.5 GPa,G12=G13=0.2 GPa,ν12=ν13=ν23=0.25。

2) 夾層梁材料力學(xué)特性[46]

下表層：E=73 GPa,G=29.2 GPa；夾芯層：E=0.073 GPa,G=0.029 2 GPa；上表層：E=21.9 GPa,G=8.76 GPa。

3.1 層數(shù)較多的簡(jiǎn)支梁

該算例是承受正弦載荷的簡(jiǎn)支梁，如圖4所示。層合梁每層的厚度和材料性質(zhì)相同(材料1)。

圖4 簡(jiǎn)支梁示意圖Fig.4 Schematic of simply supported beam

簡(jiǎn)支梁的邊界條件如下：

x=0,L，w=Nx=MΦ1=MΦ2=0

(38)

滿足全部邊界條件的位移函數(shù)可設(shè)為

w0(x)=w00sin(πx/L),

(u0(x),u1(x),u3(x))=

(u00,u10,u30)cos(πx/L)

(39)

位移和應(yīng)力的無量綱化為

式中：h為梁的厚度。

圖5 3層梁沿厚度分布的位移和應(yīng)力對(duì)比(L/h=4)Fig.5 Comparison of displacement and stress through thickness of 3-ply beam (L/h=4)

圖6 25層梁沿厚度分布的應(yīng)力對(duì)比(L/h=4)Fig.6 Comparison of stress through thickness of 25-ply beam (L/h=4)

圖7 4層梁沿厚度分布的橫向剪應(yīng)力對(duì)比 (L/h=4)Fig.7 Comparison of transverse shear stress through thickness of 4-ply beam (L/h=4)

圖8 8層梁沿厚度分布的橫向剪應(yīng)力對(duì)比 (L/h=4)Fig.8 Comparison of transverse shear stress through thickness of 8-ply beam (L/h=4)

圖9 50層梁沿厚度分布的橫向剪應(yīng)力對(duì)比(L/h=4)Fig.9 Comparison of transverse shear stress through thickness of 50-ply beam (L/h=4)

圖10 100層梁沿厚度分布的橫向剪應(yīng)力對(duì)比(L/h=4)Fig.10 Comparison of transverse shear stress through thickness of 100-ply beam (L/h=4)

表1 不同梁理論的最大撓度及其相對(duì)誤差Table 1 Maximum deflection and its relative error of different beam theories

表2 簡(jiǎn)支梁左端最大橫向剪應(yīng)力及其相對(duì)誤差Table 2 Maximum transverse shear stress and its relative error at left end of simply supported beam

從表1和表2可以看出,本文提出的NZT的計(jì)算結(jié)果和三維彈性解(Exact)吻合較好，對(duì)4種層合梁，撓度和橫向剪應(yīng)力誤差都不超過1%。而一階剪切變形理論(FSDT)預(yù)測(cè)撓度誤差較大，最大達(dá)到27.7%，Reddy梁理論預(yù)測(cè)橫向剪應(yīng)力的誤差較大，最大誤差超過50%。RZTM的計(jì)算精度會(huì)隨著層數(shù)的增加而降低，當(dāng)層數(shù)由3層增加到25層，RZTM的橫向剪應(yīng)力的誤差從1.7%增大到9.5%。當(dāng)層數(shù)超過50層時(shí)，GHZTM預(yù)測(cè)橫向剪應(yīng)力的精度降低。當(dāng)層數(shù)較少時(shí)，ZZTC-C0計(jì)算橫向剪應(yīng)力誤差較大，超過20%。然而，隨著層數(shù)的增加，ZZTC-C0預(yù)測(cè)橫向剪應(yīng)力的精度逐漸提高?？偨Y(jié)表1和表2分析可得如下結(jié)論：相比于FSDT、Reddy和RZTM，提出的NZT的變形和應(yīng)力的計(jì)算精度都有大幅度提升。當(dāng)層數(shù)少時(shí)，提出的NZT預(yù)測(cè)橫向剪應(yīng)力的精度高于ZZTC-C0，當(dāng)層數(shù)較多時(shí)，提出的NZT預(yù)測(cè)橫向剪應(yīng)力的精度高于GHZTM，NZT和EHOZT具有相當(dāng)?shù)挠?jì)算精度，表現(xiàn)出較好的穩(wěn)健性。

綜上，本文提出的NZT能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)對(duì)稱鋪設(shè)多層厚梁和層數(shù)較多的反對(duì)稱鋪設(shè)多層厚梁的撓度和應(yīng)力。對(duì)于層數(shù)較少的反對(duì)稱鋪設(shè)層合厚梁橫向剪應(yīng)力，NZT具有一定的誤差，但誤差隨著層數(shù)的增加，逐漸減小。

3.2 面板和芯層材料屬性差異較大的三明治懸臂夾層梁

準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)面板和芯層材料屬性差異較大的夾層梁的變形和應(yīng)力十分困難，Tessler提出的RZTM很好地解決了該難題。本文提出的新鋸齒理論模型不僅能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)層數(shù)較多的復(fù)合材料層合梁的變形和應(yīng)力，對(duì)該類結(jié)構(gòu)也具有較好的預(yù)測(cè)精度。這里以3層軟核夾層懸臂梁為例，每層厚度為(0.1h/0.8h/0.1h)，夾層梁每層具有不同的材料性質(zhì)(材料2)。懸臂梁在自由端承受橫向載荷F，如圖11所示。

邊界條件為

x=0,u0=u1=u3=w0=0

x=L,Nx=MΦ1=MΦ2=0,VΦ1=F

(40)

滿足全部邊界條件的位移函數(shù)[32]可設(shè)為

圖11 懸臂梁示意圖Fig.11 Schematic of a cantilevered beam

u3(x)=a1cosh(Rx)+a2sinh(Rx)+a3

w0(x)=

(41)

式中：

其中:C2/C1<0，如果C2/C1>0，則式(41)中的雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)分別改為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)即可。

位移和應(yīng)力的無量綱化為

圖12和圖13分別給出了應(yīng)力沿厚度方向分布圖和中面撓度沿軸向分布圖。從圖12和圖13可以看出，一階剪切變形理論(FSDT)嚴(yán)重低估了最大撓度和最大軸向應(yīng)力，撓度最大誤差可達(dá)到82%，軸向應(yīng)力最大誤差可達(dá)到76.5%。受FSDT直法線假定的限制，即使使用混合變分原理進(jìn)行修正，混合一階剪切變形理論(FSDTM)同樣具有較大的誤差。圖12(b)中的2D-FEM解是使用Abaqus軟件計(jì)算得到，梁模型使用20萬(1 000(長)×200(高))個(gè)4節(jié)點(diǎn)，平面應(yīng)力，完整積分，CPS4單元進(jìn)行離散。結(jié)果顯示本文提出的NZT與2D-FEM解吻合較好，具有較高的精度。

圖12 沿懸臂梁厚度分布的應(yīng)力對(duì)比(L/h=5)Fig.12 Comparison of stress through thickness of a cantilevered beam (L/h=5)

圖13 沿懸臂梁跨度分布的撓度對(duì)比(L/h=5)Fig.13 Comparison of deflection along cantilevered beam span (L/h=5)

3.3 考慮分層的非對(duì)稱懸臂層合梁

圖14 分層的梁截面示意圖Fig.14 Diagram of beam section for delamination

表3 材料力學(xué)特性
Table 3 Mechanical properties of materials

參數(shù)復(fù)合材料第1層第2層第3層第4層h/mm2160.012E/MPa7.30×1050.0073×1052.19×1052.19×105G/MPa2.92×1050.0029×1058.76×10-60.876×105

表4 在x=L處的撓度Table 4 Deflection at x=L

圖15 發(fā)生分層的懸臂梁軸向位移對(duì)比(L/h=5)Fig.15 Comparison of axial displacement for a delamination cantilevered beam (L/h=5)

圖16 發(fā)生分層的懸臂梁橫向剪應(yīng)力對(duì)比 (L/h=5)Fig.16 Comparison of transverse shear stress for a delamination cantilevered beam (L/h=5)

4 結(jié) 論

本文通過構(gòu)造一個(gè)新的線性分段鋸齒函數(shù)，提出了一種能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)層合梁結(jié)構(gòu)橫向剪應(yīng)力的新鋸齒理論模型(NZT)。為了驗(yàn)證該理論模型精度，計(jì)算了層數(shù)較多的簡(jiǎn)支梁、材料屬性差異較大的三明治懸臂梁以及發(fā)生分層的非對(duì)稱懸臂梁的位移和應(yīng)力?？傻玫饺缦陆Y(jié)論：

1) 新鋸齒函數(shù)具備描述每層材料變化和不同橫截面處變化規(guī)律不同的能力，使得NZT能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)橫向各向異性的多層梁的變形和應(yīng)力。

2) NZT位移場(chǎng)中僅含有4個(gè)與層數(shù)無關(guān)的未知量，不含有橫向位移的一階導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造梁?jiǎn)卧獣r(shí)，僅需使用C0插值形函數(shù)。

3) NZT能夠預(yù)先滿足橫向剪應(yīng)力層間連續(xù)，無需后處理就能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)層合梁的層間應(yīng)力。

4) 算例結(jié)果顯示：NZT能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)層數(shù)較多的層合梁和材料屬性差異較大的三明治夾層梁的變形和應(yīng)力，能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)層合梁的分層。