溫州市龍灣中學 鄭壽好

一、前言

《普通高中數學課程標準》(2017 版)中提出:通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗(簡稱“四基”);提高從數學角度發(fā)現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”).在學習數學和應用數學的過程中，學生能發(fā)展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養(yǎng).筆者為了更好地體會與踐行《新課標》的理念，于是設計并實施了《三角恒等變換》(人教A 版數學必修4 第3 章)這堂復習課，在設計、實施、反思這堂課后，有諸多體會.

二、教學設計

教材分析

三角變換是傳統的三角學的精華之一，具有較高的研究價值，在理論和實際中都有廣泛的應用.而三角變換的基礎主要就是所學的眾多的三角公式以及變換的有關方法、技巧等.在運用公式解題時，需經常對已知條件和結論進行適當的變換，包括角的變換和函數的變換等，還要熟悉化未知為已知及等價化歸思想，培養(yǎng)良好的數學學科核心素養(yǎng).

三角函數恒等變化時高中教學的重要知識之一，也是歷年高考必考查的內容.一般考查對公式理解與熟練運用，以及考查運算能力﹑邏輯推理能力，考試類型有應用公式化簡求值﹑恒等變形﹑與其他知識交匯等.對數形結合﹑函數與方程思想﹑分類與整合思想﹑轉化與化歸等重要思想重點考查.

教學目標

通過本節(jié)的學習要掌握兩角和與差的正弦﹑余弦﹑正切公式，掌握二倍角的正弦﹑余弦﹑正切公式，能正確運用三角公式，進行簡單三角函數的化簡﹑求值和恒等證明.

教學重點

應用公式進行三角函數式的化簡﹑求值和恒等證明.

教學過程

1.問題引入，直奔主題

問題1:三角恒等變換這一章中出現了12 個公式，請問，這些公式都是由哪一個公式推出的?

生:C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

問題2:這個公式是如何推導出來的?

生:利用向量來推導，設A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)，則= (cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)= cosαcosβ+sinαsinβ.同 時，= cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ，而α - β= 2kπ ± θ，所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，即證.

圖1

師:其實，書上還有另外一種證明，但那種證明方式有些復雜;相較而言，向量的這種證明方式就非常簡單明了.實際上，在教材P108 習題2.4 的B 組T2，就已經告訴我們這個公式.所以，我們在高三復習的時候一定要靜下心來認真研讀教材，從教材中明了數學概念，領會數學思想，掌握數學方法.

2.師生互動，理清聯系

問題3:這12 個公式的邏輯聯系如何?

師:由學生來口述，教師板書(如下圖)，并讓說明如何變換而來.

師:三角恒等變換包含角的變換和名的變換.名的變換是指函數名的變換，主要通過正余弦的轉換和弦切的互換;角的變換是占第一位的，通過角的拼湊等變換方式，一般三角恒等變換主要是角的變換;同時，角又是相對的，像倍角與半角的理解，所以三角恒等變換只變其形不變其質.

3.典例解析，鞏固認知

例1(1)已知α,β都是銳角，求cosβ的值.(教材P137 習題3.1A 組T4)

生1:根據cos(α+β)= cosαcosβ -sinαsinβ，得所以

生2:cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sin

生1:令sinαcosβ=t，則=cosαsinβ+sinαcosβ=cos(α-β)∈[-1,1]，所以

師:這個答案對嗎? 大家有沒有補充的?

生2:=cosαsinβ-sinαcosβ=cos(α+β)∈[-1,1]，所以，所以最終

師:三角恒等變換還包含結構的變換，就是代數變換，它是通過四則運算來完成的.

所以sinαcosβ=5 cosαsinβ，即證tanα=5 tanβ.

變式已知sin2α-sin2β的值.

師:次數較高，如何處理?

師:2α與α+β、α-β有什么關系?

生3:sin2α-sin2β=(cos 2α-cos 2β)=[cos[(α+β)+(α-β)]-cos[(α+β)-(α-β)]]=sin(α+β)sin(α-β)=

師:非常好.這位同學在解題時，順便把和差化積的公式(教材P140 例2 和教材P142T3)證明了; 積化和差是和差化積的逆運算，只要把角變換一下即可;雖然我們對和差化積、積化和差公式不做要求，但新課標中指出:能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶).同時，推導這些公式的過程，就是三角恒等變換.

例2已知

(1)求cos(α-β)的值;(教材P147 復習參考題B 組T2)

生1:兩邊平方.

(2)求cos(α+β)的值.

師:③× ④會如何? 能求出什么值?

生3:③× ④:sinαcosα+cosαsinβ+sinαcosβ+cosβcosβ=sin 2β+sin(α+β)=?sin(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)=?sin(α+β)=

師:③÷ ④又會如何?

師:很好.根據萬能公式( sinα=cosα=這樣可求得所有我們要的值.

師:我再提供另外一種思路.如圖2，設A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)，則= (cosα+cosβ,sinα+sinβ)=，設∠AOB的角平分線交單位圓于點C，與AB交于點D;則而所以

圖2

4.歸納總結，加深理解

(1)三角恒等變換只變其形不變其質，它揭示某些外形不同但實質相同的三角函數式之間內在聯系;(2)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式是三角變換的基本依據;(3)形的變換集中在角、式、名，角是關鍵，這也是三角恒等變換的重要特點;(4)角的變換最重要的特點是角的相對性，和差是相對的，倍半也是相對的.

三、教學感悟

1.以生為本，提升素養(yǎng)

新課標要求，高中數學課程以學生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創(chuàng)新意識，提升數學學科核心素養(yǎng).高中數學課程面向全體學生，實現:人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發(fā)展.

因此，本節(jié)課考慮到學生在三角恒等變換中容易出現的問題:公式不清、變換不明等情況，展開教學，落實學生的“四基”“四能”，提升學生數學學科核心素養(yǎng).

2.立足書本，精選內容

新課標要求，高中數學課程體現社會發(fā)展的需求、數學學科的特征和學生的認知規(guī)律，發(fā)展學生數學學科核心素養(yǎng).優(yōu)化課程結構，為學生發(fā)展提供共同基礎和多樣化選擇;突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法;精選課程內容，處理好數學學科核心素養(yǎng)與知識技能之間的關系，強調數學與生活以及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力，同時注重數學文化的滲透.

本節(jié)課的例題基本來源于教材，是在教材總類繁多的優(yōu)秀題庫中精挑細選出來的，主要目的是要突出本節(jié)課的主線.

3.把握本質，精雕細琢

新課標要求，高中數學教學以發(fā)展學生數學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數學內容的本質.提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發(fā)學習數學的興趣，養(yǎng)成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展.注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性.不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

課堂教學是一個復雜而又動態(tài)的過程，在日常的課程教學中，要做到水到渠成，必須十分嚴格地把握住數學本質，再經過教師精雕細琢.本節(jié)課的核心公式是cos(α-β)，由它衍生出其他公式，而本質是三角恒等變換中角的變換;三角恒等變換的本質是形的變化，形的變換集中在角、式、名，它揭示某些外形不同但實質相同的三角函數式之間內在聯系.