淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(235000)李佳佳 張 昆

平面幾何的教育價(jià)值主要體現(xiàn)于邏輯思維與理性思維，這些思維形式的特點(diǎn)在于需要避開(kāi)物質(zhì)性材料的干擾，使學(xué)生能深入到空間點(diǎn)線面體的結(jié)構(gòu)性本質(zhì)[1]，然而多數(shù)教師直接將作輔助線的方法拋給學(xué)生，學(xué)生誤以為找到輔助線很容易，這對(duì)平面幾何教育價(jià)值的實(shí)現(xiàn)并沒(méi)有什么幫助，學(xué)生如果長(zhǎng)期在這樣的教學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行學(xué)習(xí)，當(dāng)再次遇到新的幾何題需要探究輔助線時(shí)還可能依然會(huì)束手無(wú)策，這么容易找出的輔助線為何找不到，使學(xué)生對(duì)自我存在懷疑從而喪失信心.對(duì)此，在平面幾何證明題教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用分析的方法，充分發(fā)散自己的思維，訓(xùn)練自己的邏輯，有理有據(jù)，隨著分析層次的遞進(jìn)，一步一步產(chǎn)生出合適的輔助線.為此，本文主要考察基于分析法構(gòu)建輔助線的途徑.

一、分析法概念的內(nèi)涵

牛頓談到分析法時(shí)說(shuō):“一般來(lái)說(shuō)，從結(jié)果到原因，從特殊原因到普遍原因，直到論證止于最普遍的原因?yàn)橹?，這就是分析的方法.”[2]分析就是將被研究對(duì)象的整體分為各個(gè)部分、方面、因素和層次，并分別加以考察的認(rèn)識(shí)活動(dòng).經(jīng)常使用的分析方法有如下幾類(lèi):1、組成分析;2、過(guò)程分析;3、因素分析.在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，要經(jīng)常綜合的使用上述分析方法.分析的過(guò)程常由三個(gè)階段構(gòu)成即為:解剖，探究本質(zhì)和綜合.分析的方法是執(zhí)果索因的方法，即它從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的原因[3].下面給出使用分析法探索證明命題“若A 則B”時(shí)的思路圖，在圖中首先假定結(jié)論B 成立.

從圖中可以看出，在大多數(shù)情況下，分析法可以將變幻不定的富有嘗試性的探索活動(dòng)納入方向明確，途經(jīng)單一的軌道，分析是在原有的綜合指導(dǎo)下進(jìn)行的，同時(shí)分析又以達(dá)到新的綜合為目的.可見(jiàn)問(wèn)題的結(jié)論對(duì)于探索活動(dòng)的定向作用比綜合法更為強(qiáng)烈，分析法相對(duì)于綜合法對(duì)邏輯思維、與發(fā)散思維的培養(yǎng)更為合適[2](58).為了說(shuō)明問(wèn)題，我們看一個(gè)奠定的輔助線方法的例子.

二、教學(xué)示例

當(dāng)一道稍微復(fù)雜的平面幾何證明題呈現(xiàn)出來(lái)，我們即刻會(huì)想到借用輔助線的方法來(lái)進(jìn)行證明.至于到底怎么找到正確的輔助線，許多教師是直接地將輔助線畫(huà)在圖形中，或者引導(dǎo)學(xué)生觀察直接作出輔助線，看似學(xué)生好像會(huì)找輔助線了，事實(shí)卻是學(xué)生只是按照教師指定的方向進(jìn)行操作，并非學(xué)生自己摸索出來(lái)的方向.這樣的教學(xué)方式學(xué)生的思維很難展開(kāi)，數(shù)學(xué)能力也很難提升.這個(gè)時(shí)候就需要教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)文字進(jìn)行分析，對(duì)圖形進(jìn)行分析，然后將文字與圖形進(jìn)行結(jié)合分析找出輔助線.對(duì)此，這里舉出一個(gè)具體的例子進(jìn)行說(shuō)明:

在等腰三角形△ABC(如圖1)的兩腰AB,AB分別取E、F，使AE=CF，BC=2，求證EF≥1.

(一)設(shè)計(jì)一

1.文字分析

當(dāng)學(xué)生拿到一個(gè)題目，他們的思維就會(huì)理解作用于問(wèn)題，但卻往往容易在解題過(guò)程中迷路，既浪費(fèi)時(shí)間又磨滅信心.如果我們對(duì)題目進(jìn)行有條理、有順序的分析，了解題目的結(jié)構(gòu)，捋清題目的出題意圖，就會(huì)有后面解題成功的可能，從而實(shí)現(xiàn)事半功倍的結(jié)果，否則即使后面的思路、方法再正確，也是徒勞無(wú)功.

師:請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)研究這道題的相關(guān)內(nèi)容，有誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)從中我們知道了哪些信息?

生1:整個(gè)題目是圍繞著一個(gè)等腰三角形進(jìn)行的，已知AE=CF，且邊底BC=2，求證EF不小于1.

師:非常正確，即這個(gè)題目中我們知道三個(gè)部分，第一個(gè)即為在等腰三角形中這一大的限制條件，第二個(gè)即為已知數(shù)據(jù)及其關(guān)系，第三個(gè)即為求證問(wèn)題.

師:這三個(gè)是題目中用肉眼可找出的信息，我們能從這些信息中通過(guò)推理發(fā)掘出什么聯(lián)系嗎?

生1:E、F點(diǎn)的位置沒(méi)有確定，說(shuō)明是一個(gè)動(dòng)態(tài)的，但是在動(dòng)的同時(shí)始終遵循AE=CF.

生2:兩個(gè)數(shù)字2 和1，剛好是一倍的關(guān)系，而等腰三角形我們會(huì)想到中位線與底邊是一倍的關(guān)系.

生3:剛剛生2 說(shuō)到中位線讓我想到了，當(dāng)E、F分別在兩等腰邊的中點(diǎn)時(shí)，EF一定是1.而EF不小于1，現(xiàn)在只要想EF為什么會(huì)大于1 就行了.

師:三位同學(xué)都分析得很到位.

2.圖形分析

對(duì)文字進(jìn)行分析以后，我們將會(huì)對(duì)文字有一個(gè)初步的了解.然而僅僅對(duì)文字分析只是停留在字面上的理解，沒(méi)有利用圖形直觀.加上圖形，學(xué)生可以很好的運(yùn)用想象力，便于發(fā)散思維的產(chǎn)生與形象思維的建立.很大程度上能提高解題效率，因此這也是解題的關(guān)鍵之所在.

師:剛剛對(duì)文字進(jìn)行了分析，現(xiàn)在我們開(kāi)始對(duì)圖形進(jìn)行分析.

生2:因?yàn)镋、F兩點(diǎn)位置不定，因此我將這兩點(diǎn)看成一個(gè)有伸縮效果的運(yùn)動(dòng)過(guò)程(如圖2).因?yàn)楫?dāng)E、F分別運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)特殊值即中位線，對(duì)此我將這個(gè)等腰三角形的底邊的垂線與中位線的交點(diǎn)設(shè)為O，我猜想這個(gè)EF線總是經(jīng)過(guò)這個(gè)O點(diǎn).

師:把EF看成一個(gè)有伸縮效果的運(yùn)動(dòng)線是一個(gè)非常好的想法，這個(gè)猜想也很大膽，但是生2 這個(gè)想法能證明出來(lái)嗎?

生3:不能證明出來(lái)，假如當(dāng)E、F分別與A、B無(wú)限接近時(shí)，很明顯的看出來(lái)，EF線不經(jīng)過(guò)O點(diǎn).所以猜想不成立.

生4:因?yàn)橹形痪€，且BE=AF，那么過(guò)E、F分別做BC的平行線，設(shè)FM與AB交與點(diǎn)M，EN與AC交與點(diǎn)N.那么就有FM+EN等于兩倍的中位線(如圖3).這個(gè)是從生2 想法中推出的一個(gè)發(fā)現(xiàn)，不知道對(duì)解題有沒(méi)有幫助.

師:非常好，不管有沒(méi)有幫助，能發(fā)現(xiàn)就說(shuō)明我們對(duì)圖形分析的更透徹了，離解答肯定也更近了一步.

生5:根據(jù)剛剛生2 設(shè)的O點(diǎn)，O點(diǎn)肯定平分EF和垂線，我想到了對(duì)角線，由對(duì)角線我想到了平行四邊形.是否可以轉(zhuǎn)換成平行四邊形來(lái)嘗試解答.

師:怎樣來(lái)利用平行四邊形呢?

生3:作出如圖4，做E點(diǎn)平行BC并且與CD邊連線為G，EG長(zhǎng)與FM+EN和長(zhǎng)相等，連接FG.發(fā)現(xiàn)EF與FG有某種關(guān)系，應(yīng)該是相等.

生5:多做幾個(gè)這樣的圖形，發(fā)現(xiàn)底邊不會(huì)變.只有兩腰的長(zhǎng)在不斷改變.

3.文字與圖形結(jié)合分析

通過(guò)前面對(duì)文字和圖形的分析，由于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)不足，他們會(huì)得出各種各樣的信息和猜測(cè)，這個(gè)時(shí)候還不能快速并且合理的添加輔助線，因此需要將文字與圖形結(jié)合，驗(yàn)證檢驗(yàn)猜測(cè)，這樣將變幻不定的富有嘗試性的探索活動(dòng)納入方向明確，途經(jīng)單一的軌道，最后便借助于輔助線的方法將證明過(guò)程表示出來(lái).

生4:確實(shí)可以借助于平行四邊形，因?yàn)楫?dāng)經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的EF線長(zhǎng)為1 由題目知證明EF不小于1，延長(zhǎng)此時(shí)的EF，作出與AB平行的CD，可以畫(huà)出一個(gè)平行四邊形.

師:我們剛剛已經(jīng)通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行分析有了一個(gè)大概的了解，我們知道題目當(dāng)中等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2，這個(gè)和什么邊長(zhǎng)是一樣的?

生4:和構(gòu)造出來(lái)的平行四邊形中的等腰三角形的底邊長(zhǎng)是一樣的.

師:非常好，但是題中只出現(xiàn)了1，我們能通過(guò)平行四邊形中的等腰三角形的底邊長(zhǎng)等于2 找出與數(shù)字1 有關(guān)的情況嗎?

生4:能，當(dāng)?shù)妊切巍鱁FG 的兩腰移動(dòng)到邊AB、DC的中點(diǎn)時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)時(shí)候等腰三角形的底被AC截成了兩半，各半長(zhǎng)即為1(如圖4).

生3:當(dāng)E、G移到邊AB、DC的中點(diǎn)時(shí)，這個(gè)時(shí)候已經(jīng)不是等腰三角形了，因?yàn)镕點(diǎn)也移動(dòng)到了AC的中點(diǎn)，此時(shí)是一條直線(如圖4).

生4:是的，當(dāng)E繼續(xù)往A點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)會(huì)繼續(xù)往C點(diǎn)移動(dòng)，這個(gè)時(shí)候等腰三角形又出現(xiàn)了(如圖4).

師:很好同學(xué)們已經(jīng)把圖形結(jié)合題目的解決軌跡描述出來(lái)了.那現(xiàn)在能判斷出來(lái)EF不小于1 嗎?

生4:可以，E點(diǎn)從B點(diǎn)移動(dòng)到AB中點(diǎn)前，一直是一個(gè)等腰三角形，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)等腰三角形的高在逐漸變小，以至于變成0，我們知道等腰三角形兩腰之和一定大于第三邊，假如設(shè)腰為r，用式子來(lái)表示就是2r ＞2，所以r就大于1.而當(dāng)E點(diǎn)從B點(diǎn)移動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，r就為1.而當(dāng)E點(diǎn)繼續(xù)往上移動(dòng)，F(xiàn)點(diǎn)繼續(xù)往下移動(dòng)時(shí)，等腰三角形又出現(xiàn)了，這個(gè)時(shí)候同樣也可以按照剛剛的想法，發(fā)現(xiàn)r仍然大于1.所以可以得出證明.

生5:我有一個(gè)更好的解釋?zhuān)覀冎赖妊切蔚牡资且恢辈蛔兊?，剛剛? 也說(shuō)了，高在逐漸變小，我們可以把這個(gè)平行四邊形中的等腰三角形看成兩個(gè)直角三角形(如圖5)，即這是一個(gè)高在一直變但是底邊不變且為1 的兩個(gè)直角三角形，我們知道直角三角形的斜邊一定大于直角邊，而在三角形△FEH 中，EF為斜邊，所以EF一定大于底邊1.

師:非常好，幾位同學(xué)的逐漸深入的設(shè)想最終使問(wèn)題獲得了解決.

(二)設(shè)計(jì)二

1.文字分析

文字分析可以理解為某種程度上的結(jié)構(gòu)性分析，是將這道題的題設(shè)條件之間、題設(shè)條件與所證明的結(jié)論之間的關(guān)鍵性聯(lián)結(jié)的線索發(fā)掘出來(lái)，從而引導(dǎo)我們從全局上、整體上檢視所有的元素，從而獲得其中內(nèi)涵的意義，為合理地生成輔助線打下基礎(chǔ).

師:從文字中我們可以分析出什么?

生1:文字中說(shuō)等腰三角形的底為2，而求得證明EF不小于1，等腰三角形的中位線等于1，也即一定不小于等腰三角形的中位線長(zhǎng).

生2:等腰三角形的兩腰相等，我們可以從這個(gè)話中做文章.

生3:BE等于AF，又有兩腰，估計(jì)可以構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形.

生4:構(gòu)造的兩個(gè)全等三角形通過(guò)嘗試可能會(huì)出現(xiàn)在一些特殊位置，從而發(fā)現(xiàn)關(guān)系.

師:同學(xué)們分析的都非常好.

2.圖形分析

平面幾何直線型問(wèn)題的輔助線一般是由圖形直觀所賦予解題主體相關(guān)知識(shí)的意義決定的.因此，圖形分析就是借助于圖形的直觀經(jīng)過(guò)想象而生成意義的過(guò)程，當(dāng)解題主體理解了圖形中不同線條的意義后，這些線條之間的關(guān)系也就比較清楚了，一般情況下，輔助線也就可能出現(xiàn)了.

師:我們來(lái)看一下題目.

生1:構(gòu)造兩個(gè)相等的三角形，做AD平行于BC，三角形△AD′F全等于三角形ΔBB′E(如圖6).

生2:那樣好像沒(méi)有什么關(guān)系可找，做AO′垂直于FO′，會(huì)有三角形△BEB′與三角形ΔFAO′全等.

生3 :在生1 的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AD′，作出一個(gè)正方形GBCD出來(lái)，同時(shí)將E點(diǎn)作出EG′垂直于AG(如圖7).我感覺(jué)這樣會(huì)有幫助.

生4 :將F點(diǎn)作出FC′垂直于BC，這樣找出了兩對(duì)全等三角形，三角形△AD′F和三角形ΔCFC′，三角形和三角形(如圖8)，而這四個(gè)三角形面積之和等于長(zhǎng)方形G′D′C′B′面積.

師:這就是數(shù)學(xué)的美之處啊.

3.文字與圖形結(jié)合分析

一道平面幾何證明的問(wèn)題總是由文字(語(yǔ)言)與圖形(語(yǔ)言)組織而成的，因此，在分析問(wèn)題探究輔助線方法時(shí)，將這文字表述與圖形表達(dá)整合起來(lái)，在相互調(diào)整與平衡中生成意義，是探究平面幾何證明題輔助線的必不可少的途徑，因此，文字與圖形結(jié)合的分析在制作輔助線中起了十分重要的作用.

生4:多畫(huà)幾個(gè)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形△G′EA與三角形ΔFD′A有一種關(guān)系，即為這兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)之和G′D′剛好等于文字中出現(xiàn)的數(shù)字1，連接EF(如圖9).

生3:可以從梯形EFC′B′中看出，EF不小于1.因?yàn)楫?dāng)EF移動(dòng)到與BC平行時(shí)，是一個(gè)矩形，此時(shí)EF邊長(zhǎng)等于底邊長(zhǎng)1.而當(dāng)EF再移動(dòng)一點(diǎn)點(diǎn)就一定比1 大.

師:能不能再具體一點(diǎn).

生4:經(jīng)過(guò)E點(diǎn)做與BC平行的EH，H在FC′上(如圖10)，這時(shí)候出現(xiàn)一個(gè)直角三角形△FEH.在直角三角形中，斜邊總是大于任一直角邊，所以EF總是大于1.這樣就給證明出了想要的結(jié)果.

師:非常好，那么這樣我們找出了最合適的輔助線，從而可以繼續(xù)解題.

三、簡(jiǎn)要小結(jié)

問(wèn)題解決，其實(shí)就是找到問(wèn)題題設(shè)條件與所求結(jié)論之間的聯(lián)結(jié)，而題設(shè)條件與所求結(jié)論之間存在著某種千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.如何解題，就是要找到其中蘊(yùn)含的某種關(guān)系[4].以前學(xué)生聽(tīng)老師講解時(shí)清楚明白:一步一步順利的推出，使得學(xué)生誤認(rèn)為幾何證明有如先天預(yù)成的，對(duì)他們來(lái)說(shuō)平面幾何是“非學(xué)習(xí)和訓(xùn)練”所能達(dá)到的那種水平[5].從這兩個(gè)不同的解題方法中，我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)平面幾何解題的關(guān)鍵之處，在于對(duì)文字進(jìn)行深入分析，同時(shí)在圖形上進(jìn)行嘗試，最后將自己發(fā)散出來(lái)的想法與文字結(jié)合，一步一步向結(jié)果靠攏.如此，通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)，才有可能最大限度的促進(jìn)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的高層次目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，提高作為教育資源的數(shù)學(xué)知識(shí)的育人價(jià)值的基本保證.

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，利用分析法對(duì)平面幾何解題具有極好的意義，他從文字出發(fā)，通過(guò)分析題目中給出的條件，接著在圖形上用符號(hào)表示出來(lái)，最后，通過(guò)前面的探究嘗試活動(dòng)，將題目的分析與圖形中使用的符號(hào)結(jié)合起來(lái)，水到渠成的得出想要的輔助線，從而證明出結(jié)論.這樣學(xué)生在自己的探究過(guò)程中一步一步的分析出適合解題的輔助線，既不突兀，也讓學(xué)生體驗(yàn)到了探索的樂(lè)趣.也就是說(shuō)，平面幾何的解題教學(xué)已經(jīng)不僅僅只是在知識(shí)的層面上影響學(xué)生，它將對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和在征服困難時(shí)的情感態(tài)度有積極的助力作用.