廣東番禺中學(511483)葉悅珍

新修訂的《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出:學科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括:數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析六個方面.這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相互獨立、又相互交融，是一個有機的整體.

基于高中數(shù)學的這六大核心素養(yǎng)，筆者在數(shù)學人教A 版必修5 第一章《解三角形》的教學中，注重了邏輯推理和數(shù)學建模這兩大核心素養(yǎng)的滲透，分析如下.

一、對于公式教學，注重數(shù)學公式的證明

教師要引導學生親自參與公式的推導證明過程，讓學生知道公式是怎樣來的，在公式的證明過程中滲透數(shù)學思想和數(shù)學方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

(一).正弦定理的證明

1.利用三角形的高證明正弦定理

(1)當△ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB,CD=bsinA.由此，得同理可得，故有從而這個結(jié)論在銳角三角形中成立.

圖1

(2)當△ABC是鈍角三角形時，過點C作AB邊上的高，交AB的延長線于點D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CD=asin ∠CBD=asin ∠ABC，CD=bsinA.由此，得同理可得故有

圖2

由(1)(2)可知，在△ABC中，成立.從而得到:在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即

2.利用三角形面積證明正弦定理

已知△ABC，設(shè)BC=a,CA=b,AB=c，作AD ⊥ BC，垂足為D.則Rt△ADB中，所以AD=AB ·sinB=csinB.所以同理，可證S△ABC=所以所以absinc=bcsinA= acsinB，在等式兩端同除以abc，可得即

圖3

3.利用外接圓證明正弦定理

在△ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c，作△ABC的外接圓，O為圓心，連結(jié)BO并延長交圓于B′，設(shè)BB′= 2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到∠BAB′=90° ,∠C= ∠B′，所以所以同理，可得所以這就是說，對于任意的三角形，我們得到等式

圖4

(二).余弦定理的證明

1.平面幾何方法

在△ABC中，已知AC=b,BC=a，求c.

過A作AD ⊥BC于D，于是AD=ACsinC=BCsinC，CD=ACcos =bcosc，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2=(bsinc)2+(a-bcosc)2=a2+b2-2abcosc.

圖5

2.平面向量方法

3.解析幾何方法

把頂點C置于原點，CA落在x軸的正半軸上，由于△ABC的AC=b, CB=a, AB=c，則A,B,C點的坐標分別為A(b,0),B(acosC,asinC),C(0,0).

圖6

|AB|2= (acosC - b)2+(asinC -0)2=a2cos2C -2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2-2abcosC.

二、利用解三角形的應(yīng)用提升學生的數(shù)學建模能力

數(shù)學建模是指對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學建模過程主要包括:在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.數(shù)學建模是應(yīng)用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力.

例1為了開鑿隧道，要測量隧道上D，E間的距離，為此在山的一側(cè)選取適當點C，如圖，測得CA=400m, CB=600m,∠ACB= 60°，又測得A，B兩點到隧道口的距離AD= 80m, BE=40m(A,D,E,B在一條直線上)，計算隧道DE的長.

圖7

解析在△ABC中，AC= 400m,BC=600m，∠ACB= 60°，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC · BC ·cos 60°，所以AB=

答:隧道長為(2007－120)m.

例2如圖，隔河看兩目標A，B，但不能到達，在岸邊選取距離相距3km 的C，D兩點，并測得∠ACB = 75°,∠BCD =45°,∠ADC = 30°,∠ADB = 45°(A,B,C,D在同一平面內(nèi))，求A，B之間的距離.

圖8

解析在△ACD中，∠ADC= 30°,∠ACD= 120°，所以∠CAD= 30°.所以在△BCD中，∠CBD=180°-(45°+30°+45°)=60°，由正弦定理，得則在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC ·BC ·cos ∠BCA=所以所以兩目標A，B之間的距離為

方法規(guī)律測量兩個不可到達的點之間的距離問題，一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題，然后把未知的另外邊長轉(zhuǎn)化為只有一點不能到達的兩點距離測量問題.測量長度、距離是解三角形應(yīng)用題的一種基本題型，在解這類問題時，首先要分析題意，確定已知與所求，然后畫好示意圖，通過解三角形確定實際問題的解.

例3如圖所示，當甲船位于A處時，獲悉在其正東方向相距20 海里的B處有一艘漁船遇險等待營救.甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10 海里的C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，求sinθ的值.

圖9

圖10

解析 如圖所示，連接CB.在△ABC中，∠CAB=90°+30°= 120°.由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB×AC ×cos 120°.又AC=10, AB=20，得BC2=202+102-2×20×10×所以.由正弦定理，得sin ∠ACB=又∠ACB為銳角，所以作CM ⊥ BA，交BA的延長線于點M，則θ= ∠BCM= 30°+∠ACB.所以sinθ= sin(30°+∠ACB)= sin 30°cos ∠ACB+

關(guān)于學生核心素養(yǎng)的提升，需要我們教師在教學過程中，更加深入地研讀教材，研析考綱和課程標準，更加合理地整合教學資源.只有這樣，才能提高學生學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力，不斷提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).