廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454)孟金鑫

幾何畫板是在數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教學(xué)軟件，它的很多功能都能契合數(shù)學(xué)課程改革的需要，它的產(chǎn)生和發(fā)展有利于推動數(shù)學(xué)新課程改革.《相交線和平行線》是七年級下冊第五章的內(nèi)容，平行線間的拐點(diǎn)問題是?？碱}型，初中生生往往不知從何入手，如果教師使用幾何畫板演示拐點(diǎn)的移動，并給出角度的度量，能讓學(xué)生直觀感受角度之間的數(shù)量關(guān)系，大膽猜測角度之間的數(shù)量關(guān)系，然后給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀瓮评磉^程.

平行線間的拐點(diǎn)位置共分三情況:1.拐點(diǎn)在平行線間偏左位置;2.拐點(diǎn)在平行線間偏右位置;3.拐點(diǎn)不在平行線之間.為此，我將這類題型總結(jié)為以下三種基本圖形.

例題已知AB//CD，點(diǎn)P是一個動點(diǎn)，隨著點(diǎn)P的位置的變化，分析∠AEP,∠EPF，∠CFP三者之間的關(guān)系.

一、拐點(diǎn)在平行線間偏左位置

圖1

教師拖動點(diǎn)P的位置，但點(diǎn)P始終在直線AB，CD之間，并且在線段EF的左側(cè)，學(xué)生通過觀察幾何畫板中∠AEP,∠EPF和∠CFP三個角之間的數(shù)量關(guān)系，猜想出三角的數(shù)量關(guān)系為∠AEP+∠CFP=∠EPF.根據(jù)圖形的形狀，師生一起給圖形命名為“M圖”，便于理解和記憶.

學(xué)生給出證明過程:

證明:過點(diǎn)P做MN//AB，因?yàn)锳B//CD，所以MN//CD(平行公理的推論).因?yàn)镸N//AB，所以∠AEP= ∠EPN(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).因?yàn)镸N//CD.所以∠NPF= ∠CFP(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，所以∠AEP+∠CFP= ∠EPM+∠MPF= ∠EPF所以∠AEP+∠CFP=∠EPF.

圖2

二、拐點(diǎn)在平行線間偏右位置

圖3

教師拖動點(diǎn)P的位置，但點(diǎn)P始終在直線AB，CD之間，并且在線段EF的右側(cè)，學(xué)生通過觀察幾何畫板中∠AEP,∠EPF和∠CFP三個角之間的數(shù)量關(guān)系，猜想出三角的數(shù)量關(guān)系為∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°.根據(jù)圖形的形狀，師生一起給圖形命名為“子彈圖”，便于理解和記憶.

學(xué)生給出證明過程:

圖4

證明:過點(diǎn)P做MN//AB，因 為AB//CD，所以MN//CD(平行公理的推論).因?yàn)镸N//AB，所以∠AEP+∠EPM=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)).因?yàn)镸N//CD，所以∠MPF+∠CFP= 180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))，所以∠AEP+∠EPM+∠MPF+∠CFP=360°，所以∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°.

三、拐點(diǎn)不在平行線之間

圖5

圖6

圖7

圖8

教師拖動點(diǎn)P的位置，但點(diǎn)P始終在直線AB上方或CD的下方，在線段EF的左側(cè)或者右側(cè)，通過幾何畫板演示得到上面4 個圖形，學(xué)生通過觀察∠AEP,∠EPF和∠CFP三個角之間的數(shù)量關(guān)系，其中圖6和圖8的結(jié)論是相同的，∠AEP+∠EPF= ∠CFP; 圖5和圖7的結(jié)論是相同的，∠CFP+∠EPF= ∠AEP.根據(jù)圖形的形狀，師生一起給四個圖形命名為“靴子圖”，便于理解和記憶.

學(xué)生給出證明過程:(以圖6為例)

圖9

證明:設(shè)AB與PF相交于點(diǎn)M，因?yàn)锳B//CD，所以∠AMP= ∠CFP(兩直線平行，同位角相等).由外角定理可得:∠AMP=∠FPE+∠AEP，所以∠AEP+∠EPF=∠CFP(等量代換).

圖5，圖7，圖8的證明方法是一樣的，利用“兩直線平行，同位角相等”和“外角定理”就可以證明.

綜上所述，隨著點(diǎn)P的位置變化，三個角之間的關(guān)系為∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°，或者∠AEP+∠CFP=∠EPF，或者∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°.

在探究平行線間的拐點(diǎn)問題中，首先利用幾何畫板中的幾何作圖和角度之間的度量，讓學(xué)生直觀感受三個角之間的數(shù)量的變化，并采取動畫演示三個角之間的變化過程，讓學(xué)生更加深刻地理解三個角之間的數(shù)量關(guān)系;在學(xué)生得到三個角之間的變化之后，總結(jié)出應(yīng)該在拐點(diǎn)處添加平行線，從而給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理證明過程，加深學(xué)生對此問題的認(rèn)識.

在這類題目的解題過程中，應(yīng)用幾何畫板軟件演示來進(jìn)行講解，滲透了數(shù)學(xué)中的從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，為后面的歸納猜想奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)，還能充分體現(xiàn)幾何畫板“現(xiàn)代技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具”的數(shù)學(xué)課程的新理念，讓每個學(xué)生都能學(xué)到有價值的數(shù)學(xué).

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用幾何畫板，能將靜態(tài)的圖形動態(tài)化，幫助學(xué)生感知圖象變化關(guān)系、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，將復(fù)雜的知識簡單化;它還能優(yōu)化教師的教學(xué)方法，豐富教學(xué)手段;它還能提供學(xué)生獨(dú)立思考的環(huán)境，發(fā)展學(xué)生的思維想象能力，有利于開展初中生自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的活動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.