汪滿新 諶秋生 劉 方 祖 莉 安守和

(1.南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院， 南京 210094； 2.宜昌測試技術(shù)研究所， 宜昌 443003)

0 引言

并聯(lián)機構(gòu)因具有剛度大、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、承載能力強、精度高、運動慣性小、實時控制性好等特點而得到廣泛應(yīng)用[1]，特別是1T2R 3自由度并聯(lián)機構(gòu)，如Z3主軸頭中3-PRS并聯(lián)機構(gòu)[2]，Tricept、Exechon、以及TriVariant等混聯(lián)機器人中的3自由度并聯(lián)模塊[3-5]，已在飛機大部件加工與自動鉆鉚、機身與機翼對接面現(xiàn)場加工、汽車發(fā)動機缸體銷孔過盈裝配，以及大型鋼構(gòu)相貫線切割等方面得到應(yīng)用。

靜剛度可表征機構(gòu)在外載荷作用下抵抗變形的能力，是并聯(lián)機構(gòu)最重要的性能之一，因而常常被作為評價機構(gòu)性能以及機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的指標(biāo)。早期剛度性能優(yōu)化所用剛度指標(biāo)大都參考運動學(xué)性能指標(biāo)的研究思路提出，即使用剛度矩陣的代數(shù)特征值[6-11]。HUANG等[6]提出以機構(gòu)末端剛度的全域均值為性能指標(biāo)，考察了該指標(biāo)隨機構(gòu)截面參數(shù)變化的規(guī)律。XU等[7]與WU等[8]以剛度矩陣最小特征值為評價依據(jù)，分別對一類以3自由度并聯(lián)機構(gòu)為主體的拋光機及一類3自由度非對稱球面并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)開展優(yōu)化。值得指出，以上述代數(shù)特征值為性能指標(biāo)所代表的物理意義與使用場景不甚清晰，且大部分僅僅局限于以某個指標(biāo)為依據(jù)考察剛度在工作空間內(nèi)的分布規(guī)律，而未實施基于剛度的優(yōu)化設(shè)計。

剛度矩陣同時包含線剛度與角剛度，存在量綱不一致的問題。為此，學(xué)者們主要采取了2種方法：①利用特征長度對剛度矩陣作歸一化處理，在剛度矩陣前乘或后乘某一矩陣，該矩陣也稱為權(quán)重矩陣[12-13]。如SUN等[13]對3自由度冗余驅(qū)動機構(gòu)剛度分析時，提出以剛度矩陣的特征值對剛度矩陣作歸一化處理。剛度矩陣作歸一化處理后其數(shù)學(xué)特征值往往和特征長度關(guān)聯(lián)密切，但特征長度的選擇目前暫無統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。PORTMAN等[14]提出共線剛度作為優(yōu)化設(shè)計的剛度性能指標(biāo)，通過對剛度矩陣同時前乘和后乘無窮小位移旋量得到共線剛度，包括線剛度和角剛度。②利用無阻尼振動方程中質(zhì)量與剛度的關(guān)系，以得到具有齊次量綱的矩陣[15]，此方法會將得到的矩陣單位轉(zhuǎn)變成固有頻率的單位，故優(yōu)化設(shè)計無法保證機構(gòu)的剛度性能。

上述剛度評價指標(biāo)大部分為了使機構(gòu)具有良好的剛度性能，雖可使機構(gòu)具備高剛度，但是質(zhì)量與體積或變大，影響機構(gòu)動態(tài)特性，故在剛度設(shè)計時應(yīng)兼顧機構(gòu)的動態(tài)性能。固有頻率作為動態(tài)特性的重要評價指標(biāo)之一，常常被用于機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計[16-18]。ZHAO等[16]以有限元分析與子結(jié)構(gòu)綜合技術(shù)構(gòu)建8-PSS并聯(lián)機構(gòu)的彈性動力學(xué)模型，并通過靈敏度分析了影響低階固有頻率的要素，進而為該機構(gòu)的動態(tài)性能改進奠定了理論基礎(chǔ)。ZHANG等[18]以3-RPS并聯(lián)機構(gòu)為對象，通過旋量理論和能量法構(gòu)建其剛體動力學(xué)模型，并據(jù)此考察了機構(gòu)一階固有頻率隨尺度參數(shù)的變化情況。為得到低階固有頻率，以上研究工作必須先通過復(fù)雜的流程構(gòu)建機構(gòu)的動力學(xué)模型。

輕量化設(shè)計是指在滿足機構(gòu)所需剛度約束前提下，減輕機構(gòu)零部件的質(zhì)量，或在保持質(zhì)量不變的前提下，提升機構(gòu)的剛度。因此輕量化設(shè)計為在兼顧剛度的前提下提升機構(gòu)動態(tài)特性的有效途徑。該思路已被用于機床零部件的優(yōu)化設(shè)計中，如ZULAIKA等[19]提出一種可兼顧加工效率的銑床輕量化設(shè)計方法。

1 系統(tǒng)簡介與剛度模型

圖三維模型Fig.1 3D model of parallel mechanism1.機架 2.轉(zhuǎn)動副從動臂 4.球幅S 5.動平臺 6.主動臂 7.轉(zhuǎn)動副R

圖并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Schematic of parallel manipulator

圖3 支鏈體裝配體連體坐標(biāo)系Fig.3 Body fixed frames of limb body assembly

參照文獻[20]，在不考慮重力且假設(shè)靜平臺和動平臺為剛體的前提下，點O′的剛度模型為

(1)

式中J——全雅可比矩陣[21]

ka,i、kc,i——點Ai沿z3,i(驅(qū)動)和x3,i(約束)方向的界面剛度

(2)

對于子裝配體1，其剛度可表示為

(3)

式中θ1——主動臂BiPi與從動臂PiAi間的夾角

對于子裝配體2，其剛度可表示為

(4)

由于S副尺度參數(shù)比較小，變化幅度不大，故為簡化計算，將其視為常數(shù)。

(5)

其中

K1、K2——僅考慮子裝配體1和子裝配體2彈性時末端剛度矩陣

2 輕量化設(shè)計

2.1 設(shè)計變量

2.1.1子裝配體1

圖4 主動臂L1關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.4 Critical structural parameters of active link

圖5 轉(zhuǎn)動副結(jié)構(gòu)示意圖1.制動器 2.機架 3.主動臂 4.減速機法蘭 5.電機 6.減速機1 7.減速機2 8.旋轉(zhuǎn)軸

2.1.2子裝配體2

子裝配體2包括球副S、從動臂L2及轉(zhuǎn)動副R?，F(xiàn)分別對他們的結(jié)構(gòu)進行剖析如下：

(1)如圖6所示，球副S一端由虎克鉸連接于動平臺，一端由自轉(zhuǎn)銷軸旋轉(zhuǎn)連接于從動臂L2。當(dāng)虎克鉸的尺寸確定后，自轉(zhuǎn)銷軸的直徑也隨之確定，故球副的設(shè)計關(guān)鍵在于虎克鉸的選型，由文獻[20]可知，球副在驅(qū)動與約束方向的剛性貢獻率均小于其他構(gòu)件，故將在考慮構(gòu)件間的尺度關(guān)聯(lián)關(guān)系和整機尺寸之后，盡可能增大球副尺寸以提高其剛性。

圖6 球副S示意圖Fig.6 Diagrams of S joint1.從動臂 2.自轉(zhuǎn)銷軸 3.虎克鉸 4.動平臺

(2)如圖7所示，從動臂軸向長度較大，故影響其剛度和質(zhì)量的主要因素為從動臂自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，包括從動臂長度l2、寬度lb、高度lh以及筋板厚度lt4、lt5與lt6。其中，l2為機構(gòu)尺度參數(shù)，可由運動學(xué)設(shè)計提前確定。當(dāng)球副尺寸確定后，從動臂寬度lb也隨之確定。此外，為保證從動臂在驅(qū)動方向的剛度分布均勻，令lt4=lt6。綜上可知，從動臂的獨立設(shè)計變量為lt4、lt5、lh。

圖7 從動臂L2關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.7 Critical structural parameters of driven link

(3)轉(zhuǎn)動副R包含旋轉(zhuǎn)軸及軸承，一般軸承的剛性小于相同直徑軸的剛性，故轉(zhuǎn)動副R的剛性主要由其內(nèi)軸承決定。由文獻[20]可知，轉(zhuǎn)動副R的剛性遠大于其他運動部件，故設(shè)計時在考慮標(biāo)準(zhǔn)件的安裝和關(guān)聯(lián)部件的尺度關(guān)聯(lián)關(guān)系的前提下，盡量減小設(shè)計尺寸以減小質(zhì)量。

2.2 目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計流程

圖并聯(lián)機構(gòu)輕量化設(shè)計流程圖Fig.8 Process of lightweight design for parallel mechanism

據(jù)此，可得輕量化設(shè)計目標(biāo)為

(6)

式中mk——支鏈的第k個子裝配體的質(zhì)量

f——機構(gòu)低階固有頻率

2.3 剛度約束

2.3.1機構(gòu)末端靜剛度約束

(7)

考慮機構(gòu)常用的工作范圍，令60%工作空間(θ=0～18°，ψ=0°～360°)內(nèi)上述各向線剛度和角剛度滿足

(8)

式中 [ku]、[kv]、[kw]——各線剛度在60%工作空間內(nèi)的下限值

[kru]、[krv]、[krw]——各角剛度在60%工作空間內(nèi)的下限值

2.3.2剛度匹配準(zhǔn)則

由力學(xué)原理可知，對于串聯(lián)彈簧系統(tǒng)，其剛度由系統(tǒng)內(nèi)剛度最薄弱的子系統(tǒng)決定。故在總質(zhì)量一定的前提下，合理分配各子系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度，有利于在保持質(zhì)量不增加的前提下大幅提升整機的剛度。為此，需制定各子系統(tǒng)間的剛度匹配準(zhǔn)則。

式中ku,L1、kv,L1、kw,L1——子裝配體1彈性時機構(gòu)末端點沿x′、y′、z′軸的線剛度

kru,L1、krv,L1、krw,L1——子裝配體1彈性時機構(gòu)末端點繞x′、y′、z′軸的角剛度

ku,L2、kv,L2、kw,L2——子裝配體2彈性時機構(gòu)末端點沿x′、y′、z′軸的線剛度

kru,L2、krv,L2、krw,L2——子裝配體2彈性時機構(gòu)末點繞x′、y′、z′軸的角剛度

ηu,L、ηv,L、ηw,L——子裝配體1與子裝配體2之間的線剛度匹配系數(shù)

ηru,L、ηrv,L、ηrw,L——子裝配體1與子裝配體2之間的角剛度匹配系數(shù)

其中，[]表示對應(yīng)參數(shù)的下限值。ηL,min和ηL,max為系數(shù)上、下限。

因此，為使機構(gòu)靜剛度能滿足式(9)所給出的約束條件，可確定支鏈體子裝配體1與子裝配體2的靜剛度約束為

(10)

(11)

式(10)、(11)分別給出了由剛度匹配系數(shù)確立子裝配體1與子裝配體2需滿足的靜剛度約束。剛度匹配系數(shù)的不同將導(dǎo)致各子裝配體的剛度約束不同，從而將得出不同的設(shè)計結(jié)果，并影響機構(gòu)的固有頻率，因此本文將采用以使機構(gòu)低階固有頻率最高為依據(jù)確定剛度匹配系數(shù)。

2.3 幾何干涉分析

如圖9所示，為保證3條支鏈的轉(zhuǎn)動副R之間不發(fā)生干涉，當(dāng)機構(gòu)的3條主動臂均位于水平面時，轉(zhuǎn)動副R的寬度hR應(yīng)滿足

(12)

式中l(wèi)R——轉(zhuǎn)動副R的半徑

δ——防止干涉而預(yù)留的余量

其中，lR即其內(nèi)所含軸承的外徑，取決于軸承的選型；注意到R副對于從動臂而言相當(dāng)于懸臂梁的固定端，故其寬度應(yīng)盡可能大，為此，可取其上限值，該約束主要應(yīng)用于轉(zhuǎn)動副的設(shè)計。

圖9 干涉位形示意圖Fig.9 Diagram of interference of mechanism

2.4 制造工藝約束

主動臂設(shè)計變量lt1、lt2及從動臂設(shè)計變量lt4、lt5均為壁厚尺寸，故考慮到制造工藝需滿足一定要求，設(shè)置各壁厚的約束為

δmin≤lt1、lt2、lt4、lt5≤δmax

(13)

式中δmin——壁厚的最小許用值

δmax——防止壁厚過大而設(shè)置的上限值

2.5 優(yōu)化設(shè)計問題構(gòu)造

若支鏈體部件間的剛度匹配系數(shù)可以確定，則子裝配體1與子裝配體2之間的剛度約束即可確定。在此基礎(chǔ)上，可根據(jù)子裝配體1及子裝配體2的剛度約束分別優(yōu)化得出主動臂及從動臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)。然而，對于實際的工程應(yīng)用，子裝配體1與子裝配體2的剛度并不能保證同時達到最小，因此，為保證支鏈體的總質(zhì)量最小，在以子裝配體1的剛度約束優(yōu)化得到子裝配體1的優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)之后，以整機末端剛度為約束優(yōu)化子裝配體2的結(jié)構(gòu)參數(shù)。故可分別構(gòu)造子裝配體1和子裝配體2結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化函數(shù)為

(14)

其中

xL1=(lt1，lt2，lm)

(15)

其中

xL2=(lt4,lt5,lh)

3 算例

表并聯(lián)機構(gòu)尺度參數(shù)與60%工作空間Tab.1 Dimensions and 60% workspace of parallel mechanism

表副各項剛度Tab.2 Stiffness coefficients of joint

表3 球副中標(biāo)準(zhǔn)件選型及其剛度與質(zhì)量Tab.3 Standard component, stiffness coefficients and masses of S joint

表4 R副軸承選型方案及其剛度與質(zhì)量Tab.4 Standard component, stiffness coefficients and masses of R joint

在此，假設(shè)機構(gòu)末端點各項剛度下限值分別為[ku]=[kv]=2 N/μm，[kw]=11 N/μm，[kru]=[krv]=2.6×104N·m/rad，[krw]=2.9×104N·m/rad。

若子裝配體間的剛度匹配系數(shù)ηL可以確定，則子裝配體1與子裝配體2之間的剛度約束亦可確定，各子裝配體輕量化設(shè)計即可完成。由式(10)、(11)可知，剛度匹配系數(shù)有6個。為簡化計算，可令ηL=ηu,L=ηv,L=ηw,L=ηru,L=ηrv,L=ηrw,L。關(guān)于剛度匹配系數(shù)ηL的優(yōu)選，現(xiàn)通過給定3種備選方案論述優(yōu)選流程。

令ηL=1、ηL=0.85、ηL=0.7。則可根據(jù)式(10)和式(11)確定上述3種方案下子裝配體1與子裝配體2的各項剛度的下限值如表5所示。

圖10 主動臂L1質(zhì)量與剛度響應(yīng)面模型Fig.10 RSM of mass and stiffness of active link

圖11 從動臂L2質(zhì)量與剛度響應(yīng)面模型Fig.11 RSM of mass and stiffness of driven link

ηL[kO′u,L1]/(N·μm-1)[kO′w,L1]/(N·μm-1)[kO′ru,L1]/(N·m·rad-1)[kO′rw,L1]/(N·m·rad-1)[kO′u,L2]/(N·μm-1)[kO′w,L2]/(N·μm-1)[kO′ru,L2]/(N·m·rad-1)[kO′rw,L2]/(N·m·rad-1)14.022.005.20×1045.800×1044.00022.005.200×1045.800×1040.853.720.354.81×1045.365×1044.35323.945.659×1046.312×1040.703.418.704.42×1044.930×1044.85726.716.314×1047.043×104

同理，使用上述相同的步驟，當(dāng)ηL=0.85、0.7時對應(yīng)主動臂及從動臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表6所示。

圖12為機構(gòu)末端點位于平面且在60%工作空間內(nèi)的前4階固有頻率分布情況，由圖可見，機構(gòu)的前4階固有頻率由大至小排序依次為：f4、f3、f2、f1因此，不同方案下固有頻率不同表明剛度匹配系數(shù)是影響機構(gòu)動態(tài)特性的重要因素。圖13為優(yōu)化后僅考慮支鏈體裝配體彈性時機構(gòu)的末端點剛度的分布規(guī)律。顯見，機構(gòu)的全域剛度滿足約束條件。

表6 3種方案下主動臂、從動臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其質(zhì)量Tab.6 Structural parameters of active link, driven link and mass of limb-body in three cases

圖并聯(lián)機構(gòu)60%工作空間內(nèi)固有頻率分布規(guī)律 (z=100 mm)Fig.12 Distributions of natural frequencies in 60% of workspace (z=100 mm)

圖13 支鏈彈性末端剛度在60%工作空間內(nèi)的分布規(guī)律 (z=100 mm)Fig.13 Distributions of stiffness in 60% of workspace (z=100 mm)

4 結(jié)論

(1)提出了一種基于靜剛度約束的3-RRS并聯(lián)機構(gòu)輕量化設(shè)計方法。該方法基于剛度匹配設(shè)計準(zhǔn)則將末端靜剛度約束分配給兩個子裝配體，在此基礎(chǔ)上，考慮工藝制造及幾何干涉等約束，以各子裝配體的質(zhì)量最小和整機低階固有頻率最高為目標(biāo)完成各子裝配體的輕量化設(shè)計，進而實現(xiàn)了整機的輕量化設(shè)計。

(2)所提出的輕量化設(shè)計方法可在滿足靜剛度約束條件下，使整機質(zhì)量最小，且具有優(yōu)良的動態(tài)特性。

(3)子裝配體間剛度匹配系數(shù)的不同，對應(yīng)的固有頻率也不同，表明剛度匹配系數(shù)是影響機構(gòu)固有頻率的重要因素，為得到輕質(zhì)高剛的機構(gòu)，應(yīng)選取合理的剛度匹配系數(shù)。