■趙玉靜 歐陽亮 孔東華

題型1：求圓的方程

求圓的方程主要有兩種方法,即幾何法和代數(shù)法。幾何法是利用圓的一些常用性質(zhì)和定理求解的;代數(shù)法是由題目給出的條件,列出等式,求出相關(guān)量得解的。

例1已知圓C的圓心在直線x+y=0上,圓C與直線x-y=0相切,且在直線xy-3=0上截得的弦長為6,則圓C的方程為_____。

解：由所求圓的圓心在直線x+y=0上,可設(shè)所求圓的圓心為(a,-a)。

因?yàn)樗髨A與直線x-y=0相切,所以半徑。 又所求圓在直線x-y-3=0 上截得的弦長為6,圓心(a,-a)到直線x-y-3=0 的距離d=,所以,即,解得a=1。 故圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=2。

跟蹤訓(xùn)練1：經(jīng)過三點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圓的面積S=( )。

A.π B.2π

C.3π D.4π

提示：根據(jù)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知圓心在直線x=1 上,設(shè)圓心坐標(biāo)為(1,a),則r= 4+a2= (a-2)2,所以a=0,r=2。故圓的面積S=4π。應(yīng)選D。

題型2：與圓有關(guān)的最值問題

與圓有關(guān)的最值問題是高考的熱點(diǎn),這類問題著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。常見的命題角度有:①斜率型最值問題,即形如的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題;②截距型最值問題,即形如t=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題;③距離型最值問題,即形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題;④建立目標(biāo)函數(shù)求最值問題。

例2圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點(diǎn)到直線x-y= 2 的距離的最大值是( )。

A.1+ 2 B.2

C.1+ 2 2D.2+2 2

解：將圓的方程化為(x-1)2+(y-1)2=1,可知圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x-y=2的距離,故圓上的點(diǎn)到直線x-y=2的距離的最大值為d+1= 2+1。應(yīng)選A。

跟蹤訓(xùn)練2：已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則的最大值為____,最小值為____。

提示：原方程可化為(x-2)2+y2=3,此方程表示以(2,0)為圓心,3為半徑的圓。的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,可設(shè)=k,即y=kx。如圖1所示,當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí),斜率k取得最大值或最小值,此時(shí),解得k=。故的最大值為3,最小值為

圖1

題型3：與圓有關(guān)的軌跡問題

求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí),根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法:①直接法,即根據(jù)題目提供的條件列出方程;②定義法,即根據(jù)圓的定義列出方程;③幾何法,即利用圓的性質(zhì)列出方程;④相關(guān)點(diǎn)代入法,即找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式。

例3點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4 上任意一點(diǎn)連接的線段的中點(diǎn)的軌跡方程為( )。

A.(x-2)2+(y+1)2=1

B.(x-2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4

D.(x+2)2+(y-1)2=1

解：設(shè)中點(diǎn)為A(x,y),圓上的任意一點(diǎn)為B(x',y')。

跟蹤訓(xùn)練3：已知圓x2+y2=4 上一定點(diǎn)A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)。

(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程。

(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程。

提示：(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y)。

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x-2,2y)。

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2=4 上,所 以(2x-2)2+(2y)2=4,故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1。

(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(x,y)。在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|。設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,可得x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4。故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0。

題型4：直線與圓的位置關(guān)系問題

直線與圓的位置關(guān)系的常見判斷方法:①幾何法,即利用d與r的關(guān)系判斷。②代數(shù)法,即聯(lián)立方程利用判別式判斷。③點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法,如若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi),則直線與圓相交。

例4直線mx-y+2=0 與圓x2+y2=9的位置關(guān)系是( )。

A.相交 B.相切

C.相離 D.無法確定

解：已知圓x2+y2=9的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為3,直線mx-y+2=0 恒過定點(diǎn)A(0,2),而02+22=4＜9,所以點(diǎn)A在圓的內(nèi)部,可知直線mx-y+2=0 與圓x2+y2=9相交。應(yīng)選A。

或者,利用圓心到直線的距離,也可以判斷(解略)。

跟蹤訓(xùn)練4：若曲線x2+y2-6x=0(y＞0)與直線y=k(x+2)有公共點(diǎn),則k的取值范圍是( )。

A.[-34,0) B.(0 ,34)

C.(0,34] D.[ -34,34]

提示：已知直線過定點(diǎn)(-2,0)。

x2+y2-6x=0(y＞0)可化為(x-3)2+y2=9(y＞0),所以此曲線表示圓心為(3,0),半徑為3的上半圓(圖略),它與直線y=k(x+2)有公共點(diǎn)的等價(jià)條件是圓心(3,0)到直線y=k(x+2)的距離d≤3,且k＞0,所以≤3,且k＞0,解得0＜k≤。應(yīng)選C。

題型5：圓與圓的位置關(guān)系問題

判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法,即用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系,一般不采用代數(shù)法。當(dāng)兩圓相交時(shí),求公共弦所在的直線方程或公共弦長,只需把兩圓的方程相減就是公共弦所在的直線方程,再根據(jù)其中一個(gè)圓和這條直線即可求出公共弦長。

例5 若圓C1:x2+y2=m2(m＞0)內(nèi)切于圓C2:x2+y2+6x-8y-11=0,則m=____。

解：由x2+y2=m2(m＞0),可得圓心C1(0,0),半徑r1=m。圓C2的方程可化為(x+3)2+(y-4)2=36,則圓心C2(-3,4),半徑r2=6。 因?yàn)閳AC1內(nèi)切于圓C2,所以|C1C2|=6-m。 又因?yàn)閨C1C2|=5,所以m=1。

跟蹤訓(xùn)練5：在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2+y2-4x=0 及點(diǎn)A(-1,0),B(1,2)。在圓C上存在點(diǎn)P,使得|PA|2+|PB|2=12,則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( )。

A.1 B .2

C.3 D .4

提示：設(shè)點(diǎn)P(x,y),圓C的方程可化為(x-2)2+y2=4。由|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,可得x2+(y-1)2=4。因?yàn)樗詧A(x-2)+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交,可知點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2。應(yīng)選B。

題型6：圓的弦長問題

計(jì)算弦長時(shí),要利用半徑、弦心距(圓心到弦所在直線的距離)、半弦長構(gòu)成的直角三角形求解。一般地,圓錐曲線的弦長公式是:或,其中A(x1,y1),B(x2,y2)為弦的兩個(gè)端點(diǎn)。

例6已知直線l:x+y-1=0截圓O:x2+y2=r2(r＞0)所得的弦長為 14,點(diǎn)M,N在圓O上,且直線l':(1+2m)x+(m-1)·y-3m=0過定點(diǎn)P,若PM⊥PN,則|MN|的取值范圍為( )。

A.[2- 2,2+ 3]

B.[2- 2,2+ 2]

C.[6- 2,6+ 3]

D.[6- 2,6+ 2]

解：依題意可得,解得r=2。由直線l':(1+2m)x+(m-1)y-3m=0過定點(diǎn)P,由此可得點(diǎn)P(1,1)。設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q(x,y),則OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化簡可得,所以點(diǎn)Q的軌跡是以為圓心,為半徑的圓。因?yàn)?所以的取值范圍為,則|MN|的取值范圍為[6- 2,6+ 2]。應(yīng)選D。

跟蹤訓(xùn)練6：已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(-4,-3),且被圓(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦長為8,則直線l的方程是____。

提示：由已知條件知圓心為(-1,-2),半徑r=5,弦長m=8。設(shè)弦心距為d,由勾股定理可得r2=d2+,即得d=3。

若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=-4,圓心到直線的距離是3,符合題意。若直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線l的方程為y+3=k(x+4),即kx-y+4k-3=0,可得,即9k2-6k+1=9k2+9,解得k=,可知直線l的方程為4x+3y+25=0。綜上可得,直線l的方程是x+4=0或4x+3y+25=0。

題型7：與圓有關(guān)的定點(diǎn)問題

直線或圓過定點(diǎn)問題(其他曲線過定點(diǎn)太復(fù)雜,高中階段一般不涉及),其實(shí)質(zhì)是:當(dāng)動(dòng)直線或動(dòng)圓變化時(shí),這些直線或圓相交于一點(diǎn),即這些直線或圓繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)。這類問題的解法有兩種,即特殊推理法和直接推理法。

例7已知圓O:x2+y2=1,點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P向圓O引兩條切線PA,PB,A,B為切點(diǎn),則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)( )。

解：因?yàn)辄c(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn),所以設(shè)點(diǎn)P(4-2m,m)。

因?yàn)镻A,PB是圓x2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,所以O(shè)A⊥PA,OB⊥PB,所以點(diǎn)A,B在以O(shè)P為直徑的圓C上,即弦AB是圓O和圓C的公共弦。

因?yàn)閳A心C的坐標(biāo)為,且半徑的平方為,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,而圓O的方程為x2+y2=1,兩方程相減可得(2m-4)x-my+1=0,即公共弦AB所在的直線方程為(2x-y)m+(-4x+1)=0。

跟蹤訓(xùn)練7：在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C與y軸相切,且過點(diǎn)M(1,3),N(1,- 3)。

(1)求圓C的方程。

(2)已知直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且直線OA與直線OB的斜率之積為-2。求證:直線l恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。

提示：(1)因?yàn)閳AC過點(diǎn)M(1,3),N(1,- 3),所以圓心C在線段MN的垂直平分線上,即在x軸上,可設(shè)圓心為C(a,0),易知a＞0。又因?yàn)閳AC與y軸相切,所以圓C的半徑r=a,所以圓C的方程為(x-a)2+y2=a2。因?yàn)辄c(diǎn)M(1,3)在圓C上,所以(1-a)2+(3)2=a2,解得a=2。故圓C的方程為(x-2)2+y2=4。

(2)記直線OA的斜率為k(k≠0),則其方程為y=kx。

由k·kOB=-2,可得kOB=,所以直線OB的方程為y=,在點(diǎn)A的坐標(biāo)中用代換k,可得點(diǎn)

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由,可得k2=2,由此可得直線l的方程為,這時(shí)直線l過定點(diǎn)

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),由,可 得k2≠2,則 直 線l的 斜 率 為,由此可得直線l的方程為,這時(shí)直線l過定點(diǎn)

故直線l恒過定點(diǎn),其定點(diǎn)坐標(biāo)為

編者注：本文系2019年度鄭州市教育科學(xué)規(guī)劃研究項(xiàng)目 “高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用微課程與微課程資源開發(fā)研究”(2019-ZJKYB-S24-002)、2017年河南省教育科學(xué) “十三五”規(guī)劃重點(diǎn)項(xiàng)目 “高中數(shù)學(xué)競賽微課程資源開發(fā)與應(yīng)用研究”(2017-JKGHDHZX-094)、2019年河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)重點(diǎn)研究項(xiàng)目 “基于LFSTM 模式的中學(xué)數(shù)學(xué)解題靶向研究”(JCJYB19030012)的研究成果。